В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 12
Текст из файла (страница 12)
оч;';'"шака РО,;0ОНположителен,ю.если0;1е;;· шетисходноечислоIpI01.'1,01.Что ;;)епревосходитединицу, и отрицателен в противном случае.Да'Ш'е оченидно, ';то ;;0.';; ';е;юе ндесятичной мантиссой ql0. ЦИФ1)ЫеЗ;Ш.тате ум;ю;;)еш;i; ';исло1,, ... ,009б; )·тдесятичной мантиссы ql01()ОП1)е';,е шются после,n:ова;;' ;ьно пул М умно)кен;я наи вы,n:е.Ш·НИЯ пелойчасти.2Ш()ЛНЕНИЕОБ ОШИБКАХ ВОКРУГ ЛЕНИИ ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХСЧИСЛЕНИЯ С ЧЕТНЫМ И НЕЧЕТНЫМ ОСНОВАНИЯМИlр;,лпо.'ЮЖИ:\I, что вы ';ис.';и;ельная :\!ашина l)або;ае; с tраЗIШ ';ДЫМИчислами в системе счисления с основаниемности,мо)кносчитать,';тоимеют видX(L)ч? 2.Тогда, не уменьшая оС щ-;сла= аlр- 1а;р- 2+...atpгде коэф;j:ициен;ы а, (i1,2, ...
, t) могу; принимать :~начения 0.1 ....... , (р - ). Сонер "е;;но ztс;ю, ';то такие 0;;(1)ации, ка;; с.'Ю;;,;·НИ;,·, ;;ножение или деление. С;удучи прои:ведены надtра:~рядными числами, могут дать н р;,'зультате числа, со;; l))кащи:' более че)'естественно возникае;раЗ1ШЮ",t;ю':)то) уне ;С;ходимос;ъ В ОК1)углении указанных чисел доtразрядов.Расс.;ютр;;гс юсобомлапростеii,,; юопера ;ию-о;;р;; .ш·ни:·О) рюрядов, до чисел, содержащих(где г;;1tоиз;юди,'юс;, ок,,;г;е ;ие содер;;)ащего,1)ез; ;;,тато)' ок";г,';е ;;'ш';ИС;';,содер;;)а;;;;,;ра;рядов.
Каким бы(tг) l)азр"дон чис-ю';;;)но б;.IТ;. t-раЗ1Шюе число.)тсю;авы ;ека;' ';;0 ошибка OK1)yr';eH ;я числа x(t+r) (обознаЧIНI ');у ошибку символом ~ (; t+r»)) И:\lе;" сле,n:ующий ви,n::3,n:eCb iз:\1O)кет ПРИНIН!аТЬ знач;,,'НИЯ;а';е;;;,ш ;юс.Ш'д;отi,Г l)азр"дон числапринима;;;щая целочисленныеспос ;С;а ОК1)угления.1, ...,р"а отm(i) -1в зависимости о;;екотора" ф; ;кци;;шачения и :~ависящая от выС;ранного"СЕ'iiаибош'"Шj)ююiicp'ДНi'e шачениен'jИС jитеш'СТИМЫМИСТИijоiixjjpa jT"l')тттибjjИЮ)jОРj)jj 'ШРj'деЛЯjjjСЯjjoTapaiiстоит су\сс:начениZLМ чиселMjj, аIOjKатттибаjjнГ'jеjjjШzШЛИ"ТСZLеедробьсаатнетстн> ющих нсе\'сс:наменатеЛt;-КUJlичестнu·юп)-такихчи-сел x(t+/·).П1)е·jдала)ким. что.
вс.' paCCMaj иваемые числа X(t+r) у,n:авлетваРЯЮjjCTHa\' О ::;;< 1. ТOi ja, аче,jР 1О. ка jИ'jест,ю n jt +r ) ,jcex Чiiселбу,n:ет равна pt+r, и мы паЛУ'.j):\! пасш' нес южных ВЫЧИ(;'jений, 'на2:1-'" -('+~:"'у:\!ма2: m(i),р ~ р -(Н,) {'~' m(i) _ p'~,m( i) . -']стаящая па,n: знака:\! фигурнай скабю,. заВИСИjнага нами спасаба акругления. на в ш )Сюм случае эчисленнаЙ. Втарай член подja.шакам фигурнай скобки}aj выб1)ансумма будет цела), - 1--2--при ш )Сюме та м р не бj Н'Т целы\'iаjjИМ аб1)аза\j, 'jpii любам четнам аСj1ОванииС1)едняя ')шиС кане ")авна нулю.
Это ашачает, что при ЛЮС")мфиксираваннам спасаб.' акругления, апре,n:еляема:\! лишь атбрасывае!ы:\!Иразрядами, ашиСнш ат акругления да меньшего. числа разрядав будет иметьсистематическае смещение при любай системе счисления с четным аснавадр,ста1ЮjjЫ ..Ш'Гjjа 'jра,jеlJИТj" 'па абj,гmае «ТТТКО'jj jюе»jaj.округления в л).)СюЙ системе с нечетным аснаванием приваДИjшы\·'j1ани.'ю«несмеа пибjjа\j.Симвал2:есть симвал суммирования тех слагаемых, катарые taписаза ':)тим срjb! ,j(;'jeта записьчениямк'i'Ю'Ю\j. Еслиjjазаjjj·leслагаеМj,lе за ШСZLТ атHa\je1)aабазначает, что. нужна праизвести суммиравание па всем знадо П.Г л АА3ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ01\НОЙ ИЗ основных операций математичеСКОIО анализа является операт~ия пре,;18ЛЬНОIО переХО,;lа. Эта операт~ия встречаетсяllнашг,с13ра',ШIЧНi,IХГJllШСа'Гри-вается простейrrrая форма операции пре,;18ЛЬНОIО переХО1\а, оснона П;,НЯ'ГИllrlрi'ДС'lа так на',i,Шlli \IOn ЧllС;'ЮlЮn П;'iЛСДi'вательности.
Понятие пре1\ела ЧИс'ТIOвой ПОс'ТIе;ювательности поЗВО'lИт Нl1М В Дсl lЬнсйшсм i'ПрСЩ' lИть И д))угисi,псраlЩИпре1\ельного переХО1\а.§ 1.1МИ.ЧК'Iсловые RIОСЛСДОН.i:RТi .ilI.IIОСТИЧИс.JIО!iI.Iе IIОi·ле,I\О!i.i:Rте.JII.IIОi·ТИзJJHpCaJJlСМСН'ГlЧ)НОГi'01IерациичнтаТСJli,Jlрi'ДС гаЕчисловых после1\овательностях. Примерами числовых после1\О-15 а'Г С'1'015 аРИфМСТllвательностьll'ГЬ:периметровДl1НННЮ ОКРУЖНОС'ГЬ,;ТЗ = 1.41 ...ПОСJl{ДО13а:п' ",но!чсской JlрогрСССll1)правильных15ССХ JJli'Mi Н2) П;'iЛСДО-n-УIОЛЬНИКОВ.3) JЮСIСДО15а'Г i 'i,IX ',НlIЧС JllЙ 'lИСJlаXIвписанных= 1,;Т2 =-/2.1, ,Ml"Iначнем с уточнения понятия числовой после1\овательности.ЕслиЧi JЛУ n 1luтураЛЬ1l0?Осоответствиеn.
. . .торое ве ijeCrnae'J-l'J-lое числоn.чисел1, 2....... ,оnр; Jiеле1l [о,му 8и'КО1lУто .M.'J-lО:JICеСrnво 8ан !.MepoвaHHыxвеlцесrnв; !i1lыx чисел11lП ii;j.Jiа!ЛЬ iiUC..!.O iОЙилисто nоследоватеЛЬ'J-lостью.Числа :Т n f;y;18M называть элеме'J-lтами или чле'J-lами после1\ОваТС'lЬНiiСТИ (3.1). Сокращснно П ii iЛСДОВl1ТСJlЬНОСТЬ1) бндсмоf;означать символом {:Т n }.ак, например, символом 1/n J будсм оБО,НllЧlПi iОiJlСДО13атсш,ность 1.
1/2 ..... 1/n. ... а.'волом(-1 } - после1\овательность О. 2.2 ... .+В13СДСМ ПОН5r'Гн' аРИфМС'Гff НТКИХ опс!)ациij'1ИСJlО13i.,ЕiИт ,СJlСДО13а'ГСJl ,НОС'ГЯI, и. П \ С'ГЬ Д IHLI ПР1,ИЗ130Jl ,ныс т ,;ЛСДО13iIтельности :Е1;12,,:Е п ,ит ,;ЛСД' ,13а'ГСJl ,НОС'Г";)С !ММОЙ этих!!1,711,т ,;ЛСДО13iI ГСШ.,НОС'ГЬ(или {:Е" +уп}), разностью,Х n - Уn,{;Т n - Уn}):1:1' 711, :1:2 '712· ...• Х n ' Уn, ...Хl'2хnювательность - , ... ,;Т2 - 712·XI-;Т2ПОс'ТIе;юпостс'доватс'Тьностьу,(или {Хn }).3 а м е ч а н и е. !ри опре.;r8лении чаСТНОIО{ ,r n}нужно требовать. чтоf;ы все элементы у" после;ювательности {Уп} ;ЪiЛи',Т'lИЧНЫ от Н\JlЯ.'ТJlИПi,;ЛСДОВiПСJlЬНОСТИ {Уn}'!иое ЧU; ЛО fле.М' !!!пов, то частнос { Х Пщастся в наль лиШf,можно опре.;r8ЛИТЬ с того номера, начиная с'Гы Уn2.KOTOPOIOвсе элемен-'1НЫ О'Г наJlЯ.ОграничеКIКIR,iенеограничеКiКiR,iеКiоследователк..,-HfiC'R'I'i.Оnреде.ле'/-l,uе1.Поnледоuа пеЛЬUОПi!Ь'!иСЛОэле.ме!{rn!!аЗЫGП' тс,я,(ссвеР:ЕJ\.1{Х n }Хnству Х n ~ М? т)При этом число(число 'т) называется вер:rней'раньюuU:J/cueil граиы;;) ПОС>lсдоват,' lЬНi ,сти {;Т n }, а Нi'paB' н; ТВО;Т n ~ l'v1 (Х n ? т) НiIзьшас'Гся У; Лf Guе"и ОР/1 1!!ич' !!UОПf'т,сле;ювательности сверху (снизу;О'ГМС'ГИl"ность {:Е"Ч'ГОlюбiI5f"гран"C13CPXHт';ЛСД;ШiIТСШ,имеет бесчисленное множество верхнихраней.
Всамом деССJlИ l'v1 - всрхняя ГРiШЬ. то Jlюбос чшш' М*, БОlЬшее М, также является верхнейраНЫ f01l,черкнем, что в условии~Оlраниченности после;ювательности} сверху вкачсств;' l'v1 можст !)iI,тматриваться Jlюбая из в;'рхних рансЙ.Аналогичные замечания можно с;rелать в отно !!ении нижнихгран;'й ограни н'нной СНffЗУ fЮС>н'ДО15а'l'"Последовательность;г!!Орои UЛи просто"CJUона ограUUf{еu пСВ' рХУ,С!с и1У.т.{Х n }.{:Е n J называетсяр"CJUч еuй.;'ущеппnуютчuслаU М та7;;ие, что любой эле.ktенmэтой последоват" п,!!ости У !ОGлетGор,я,е!л !!ерuв' щ·гпnа.М: m ~ ;Т n ~ J\,;1.Это определение ПОЛНОСТЫf, аналогично определеНИ'f' ограниченногоснерху (СННЗ;) М1ю;,;ест"а не"н'стнеНШ,IХ "ИСf. 'Л (см.5 § ,,л.
?).Пf;iЛСЩШ,1 гсл ;НОС1Ъ {:г n } ,;гра Тf1чсна иняя13CCнf1}княя гра тн,Э;Т n Э'ГОТ'1;;;Р:<-J\.1Пf ;iЛСД';13 1'ГСЛ ;но-сти У1\овлетворят;;т неравенству1.1 1 ~гДi; АаЮИI,!аш.;нос(3 2)IMIД15,ХITnl()бра'Гно,все элемен'Гы после;lова'Ге.тrьности {х n } удовле'Гворяют неравенству (3.2) ТО выполняются также неравенства - А ~ х n, С>Н;ДО15а'ГсПf;iЛСДО13,ПСJli;НОС'ГЬ {х n }''''на. Такнмоf;разом, неравенство (3.2) пре1\ставляет соf;ОЙТРУlформуусловия Оlраниченности после1\овательности.
Уточним понятиеПf;iЛСДО13а'ГСШ,НОС'Гf1. Посл;'; iовитnел(;! {ост(; {х n }1тсограl т р'}-шзъtваетсл 1-lеогрш-//uче1-l1-l0Й, если длл любо,'о nОЛОJICитеЛЬ1-l0'О числа!f.ailf}en ;·Л!!довлетворлю i,ий 1-lераае1-lсmВf!ко;Т n(liiОЙI:rnl >!;oC,;';ioGUTn;' ((;!f.остnи.Рассмотрим несколь!!рИI; "рО15:1)Пос.ТIеfювательность-, -4.-n...Оlраниченасверху и не Оlраничена снизу. Верхней гранью этой после1\ова'Г"Я13лястся lюб,;Р Ч!!С>Ю. нс ;; ,'ньш,'р -1.2)П';iЛСДО13аlСШ.НОСТЬДействительно, верхней,''Гся 'lюб,;РМ ~ 1,1 1/2 1(: ... , 1/n, ...ПОСIсдоват,' lЬНi;СТЬ3)нс ,;граНf1ЧС Т,1.сам,;'ограни "'на.раны,; этой пос.ТIе.fювательности являн!!жн,'i'! гранью - 'lюб,;Р1, 2, 1, 3, ... , 1, n, 1,дслс, каКО150 быбыло ПОШ;}К!!ТСJli·НОСчис.тIO А, сре1\И элементов этой после1\овательности (с четныминомсрами) найдутся Э'lСМСНТЫ, Прi'В';iХОДЯЩИi' А.Бесконечно большие и бесконечно малые последо3.ва'I'еЛЬНiiС'I'R'!.Оnределенuеб е с.Пос,; ;iOGum;' ((;!f.ocrn(;{;Т n }!f.а;ъtвп"rnслО 1-l е ч 1-l О б О л ь ш О й.
если длл любого nОЛОJICитеЛЬ1-l0ЮчислаА ).МО:J/С1l0У7;;п,miiЬNliimi·oil 2 ),nриn~N7;;этой nоследоватеЛЬ1-l0сти !!довлетворлют нера>А.3а м е ч а н и е. ОчеВИfШО. что ш, ;f;ая бесконечно большая пос lСДО15а'Г,'Я13ля,'тся iff',;граН!!ЧСНiН;Й. !ЮСКО'lЬКУ для>lюбого АО можно указать номер N такой, что при nN всеэле.ме1lтъt х N НЩШЛС'Г130РЯЮ'Г НСР,ШСНС'Г13УА, а СЛСДО13,1nтельно,ЛЯ любогоО наЙ1\ется по крайней мере О.fШН такой шсмснт ;Т n , чтоС Jднаю; Нi'огр,шичснная Пi;iЛСДОIx >I;Tnl >вательность может и не (;ыть бесконечно большой.апример,нсогран!!чснная !ЮС>н ДО ;a'l','1,1, 3, ... , 1 n, ...
н''является бесконечно fЮЛЫiЮЙ, поскольку при АнеравенствоА нссстсста д,;л ш·е;т х n С нсч р ·'·номсра;;Ixnl >1) Сколь бы большим мы его ни в шли.2) Так как номер .N зависит от числа А, ,о иногда пишут .N = .N(A).fOCTff!iобо;,о ffОЛО!!f' UП/,f' !'f;H/i?Oчu;ui1l3)!что nриNнсе!ле,! ,''Н,n/,!,] оп этmi Т!,оследонатеЛ'Ь'Н'осrnifi удонлетноряют Uepii'Heн,cТJ nуlonlЕ!! !lllис1. Докюкем, что последовательность q, q2, q3при I q > 1 является бесконечно большой, а прибссконсчно малой.=•••Iq > 1. Тогда.используя формулу бинома Ньютона, получим I q IN == 1 + ,iN+ "; !f;Жиt;Ш.,НЫf' Ч.,tf".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
