В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 89
Текст из файла (страница 89)
. 4- 1~ (ьм ) (ь — а) г(2Р (1) 24аг И 24аг (Здесь а < гг < Ь. Мы вогпользовались формулой (12.17) для функции ( ( г (х) . ) 14* 420 пгиьли1киииык мктоды ГЛ. 12 3. Метод трапеций. Пусть, как и вылив, требуется вычис— лить ллнтеграл ь 11х) 11х, п [12.18) Разобьем сегмент [а, Ь] на и равных частей при помогци точек а = хо < т) < х2 « ... х„.= Ь [рис.
12.12). Метод трапецшл заключается в замене интеграла 112.18) суммой „, О[хо)+П ))+[У[ )+У[х П+".+й .— )+Х[хаЮ = — у'[а) + )1Ь) + 2 ~) .1[х)ь) Ь вЂ” 1 плогцадей т1лш(еций г основаниями, соответственно равными 6 — а 1[ха 1) и 1[ха), и с высотами, равными хь — хь 1 = — (эти П трапеции заштрихованы на риг.
12.12). Таким образом, справедлива 1[)ормула а У(х„) п — 1 л ~У'1(аь)) л В., (в.И) Х„) Х„ 6=1 а хь х) х2 Л [6- )" У(2)[г) 12пь 112 25) -)-6 Оценим сначала интеграл [ 11х)(1х, слитая, что функция — 6 "[х) имеет, иа сееме)лгпе [ — 11, +11) иег)рерывг(л(и) вторую произ- 1)одг(рло. где й остаточный член.
Формула [12.24) называется формулой' танюг)еций. Докажем, что ел ш функция )'[х) имеет на сегменте [о,д) непрерывную вторую производную. то па этом сегъ(анте яайдется такая точка гб что остаточный ч:лен Л в формуле [12.24) имеет впд ! 2 421 -( 6 Подвергая интеграл | «(21(х)(х2 — 62) (!.:/) двукратному инте— 6 грирова)ппо по частям, получим ВЫЧИСЛЕНИЕ ОНРЕДЕЛЕННЬ!Х ИНТЕГРАЛОВ Г /'"( и*'- ') ° =(/'(*и*'- '))"- |и() '= — 6 — 6 (-6 .) 6 = — 2(«( — 6) + «(+11))1) + 2 «(х) (1х. (12.26) В силу (12.26) приходим к формуле Г «( ) Их =- «( 6) «(/) 26 + К 2 (12.27) гд('. 77 = — — «(21(Н)(26) ( — 6 < Н < 1(). (12.28) «(х)((х+ «(х)(1х+... + «'(х)/1х. ( хо — 1 П1плменяя к каждому пз этих интегралов формулы (12.27) и (12.28), мы и придем к формуле трапеций (12.24) с выраженном для о('тато )ного члена (12.25).
Х( — /() -Ь «(/1). Так как ве.шчина 26 представляет собой площадь трапеции, заштрихованной ца рис. 12.9, то формулы (12.27) и (12.28) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене 6 «(х) ((х указанной п/10п(а/дыО, им()ет 1Н)ряДОк 1)Г . — 6 и Для вычп(шения пнтшрала | «(х) ((х, как и в методе прямо- О угольникоВ, !И)едстаВим этот инт('.тра/1 В Ви/[е с1ммъ) до(татОчно болыпого числа и интегралов 422 ГЛ. 12 ПРИБЛИ7КЕИНЫЕ МЕТОДЫ 4. Метод парабол. Для вьгшслення интеграла з |'(х) г!х (12.18) а снова разобьем сегмеят [а,б] на и ра,нных частей прп помощи точек а, = хо < Х217 — ! < тз « ...
хг„=- Ь п обо- значим чере:1 хгл ! серели- Риг. 12.13 ну сегмента [хгл г7хзл] Метод парабол заключается в 1амене интеграла (12,18) суммой ([7'(11!о) + 4У(т1) + У(хз)] + [г'(хг) + 4|(хз) + У(х14)] +... .. + [У(х271-2) + 4Х(х21 — 1) + У(хзв)]) = 71,— ! и.— 1 = Ь 1( ) +у(ь) + 2 у 1(хгЛ) +4Еу(хгг 1) Ь вЂ”.1 ь —..о площадей фигур7 заштрихованных на рис. 12.13 и представляющих гобой криволинейные трапеции. лежагпие под параболами, проходящ!Еии через три гочки графика функция ф(х) с абсциссахп! Т21 2. х2л 1 И тгл.
). Таким образом, справедлива формула | в — 1 в--1 |(х) 12х = — |(и) + )'(Ь) + 2 ~ |(хгл) + 4~ тягле ~) +Л !7=1 !=О (12.29) где Л остаточный член. Формула (12.29) называется формулой пирабол или формулой Сом!ге!гни Докажем, что !кззп функция ф(х) имеет на сегменте "!и, Ь] непрерывнук1 четвг7ртунз производную, то на чтом сегм! нтг найдется такая точка 97 что остаточный член Л в формул. (12.29) равен (12.30) 1 Ь вЂ” а ) Из примера 2 п.
4 Ь' 2 гл. 11 вытекает, что выражение (Л(хгг . ) -1- бв Ь вЂ” о гя — хзл 4-47 (хвг 1) 4-7 (хег)) г учетом того, что =, пре„гсгавляет бп, б собой и гонга„гь, лежащую под параболой, проко Гящей через три точки графика функции Л(х) с абсцисгами хм 1, аггг 1 и х л. пгиьлижинныьс мктоды ГЛ. 12 Мы получим, что найдутся точка ~< на сегменте [ — 1<, О] и точка 62 на, сегменте [0<+1<] такие, что Г +1 24 24 о <'"« <1<а — с)г('--") с,— -6 -~ ' Х<'0(8 ) -ь Уео(Ы 00 ),1, У( — М -Ь 41(0) -Ь У(М 21, + Д и и 0 ь (12.35) где (12.
36) У( — 6) -~- 41(0) -Ь 1(6)) 'рак как величина (~ ') 1( ~~ ) 26 претставляет собой площадь фигуры, л< >кащей< под параболой и заштрихованной на рис. 12.10. то формулы (12.35) и (12.36) док<шывают, что опшбка, 6 совершаемая прп замене ] 1(и) <1и указанной площадью, имеет — 6 порядок 1<Ь. Ь Для вычи<шения ннтограл / 1(;г) <си, так же как и в хн'тодах о прямоугольников и т1<ап<ьпий, п1<едставим зтот нпт«г1оал в в«де суммы и интегралов <с с< ко 1 (и) <4г, + 1(я) Ии +...
+ 1" (;г) Йт. <сО :!: Применяя к каждому нз зтих интегралов формулы (12.35) и (12.36), мы и придем к формуле Симпсона (12.29) с вь<ражениеь< для остаточного члена (12.30). Сравнивая остаточный тлен (12.30) с остаточными членами (12.20) и (12,25)< мы убеждает<си в том, что формула Симпсо- Снова используя замечание в конце и. 1, мы получим, что на сегкюпте [ — 16+6] най<д<отся точка 0 такая, что б ж го -6с Г,(.<)» (12.34) 24 00 Из (12,33) и (12,34) окончательно получим 6 Вы'1ис:1ение ОН1'едк, !еннь!х интег!'АЛОВ 425 на дает ббльшукз точность, !см формулы прямоугольников и трапепий. В качестве нллю<трашлп применения формулы Симпсона о'о обрати.лся к вычи<леншо интеграла «[;го) = / с " <4л'), ограо ничиваясь д:!я пр<сстоты и!а*!внииа!и т<! Из «1!тип!тт! 0 ( л:0 ~ (1.
Т10лагая «[Г) = е " и Ры'п1спяя п1зоизводц110 «<'![л) = 4[4х — 12<ге + 3)е "", без труда убедимся в том, что для всех л из с< гме~та 0 ( л ( ло ( 1 во всяком случае ] «И![я)] ( 20. Исходы из оценки [12.30), можем УтвеРж,!атсч что ]с!] ( . Ста.н! 1447<< быть. разбив сегмент [О, ло] всего па пять равных частей и заменив !за<к:мат1зиваемый инт<.с!зал с! мной, с!Оясцей в !донной !асти формулы Симпсона, мы вы пп лим этот интеграл с точностью до 1 ! 144 5' 90 000 б. Заключительные замечания.
Еаждый из изложенных в этой главе методов вычи<лешия корней уравнений п определенных интегралов < о<серяк!<с<с! четко сфоряс!!ас ср<с<за!с!се<<1 плгор<спсяс для проведения вычислений. Другой особенностьи! изложенных методов является стсрсот<свссость !ех вычшлительных операций, которые приходится проводить па каждом отд< „сьпом шаге. Эти две особенности обеспечивают широко<' применение изложенных методов для проведения вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах. Выше для пр!<бди>к<!нного вычшленпя интеграла [12.18) от функции «с1:и) мы исходили из 1зазбиения ~~~~~~~~~ сегашита [а, 6] на достаточно большое число и р а в н ы х частичных сегментов одинаковой длины 6 п из последующей замены функции «[х) на каждом частичном с<шмснте а<ногочтн',ноя соответственно нулевого.
первого илп второго порядка. Пег!я!и!иост!а во:!ника!о!цая при ~а~о~ подход<, ~~~а~ »<. 1"пстывает индивидуа.сьных свойств функпии «[л), Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного с<!гасе!<та [а< 6] и выборе для каждой фиксированной функции «[л) !якого оптимального 1зазби<ни!! Основного ссгапнса [а, Ь] на сс„вообще говоря, не равных друг другу гастичпых ссгхсентов. которо<1 Обеспешвато бы мипихпп!ьну!О ве.и!п!Иу погрешности данной приближенной формулы. В Дополнении к гл.
14 мы <х:тановпмся на реализации ука:занной идеи, принадлежащей Л.Н. Тихонову и С.С. Гайсаряну. ') Рассматрпваемьш интеграл н< выражае*ся через элементарные функции. Этот интеграл снироко применяется в статистической физике. теории т епдопроводности и диффузии. глйил зз ТЕОРИЯ х1ИСЛОВЫХ РЯДОВ Еще в элементарном курсе приходилось сталкиватьс:я с суммами, содержащими бескоис сисе число сюагаеъзых (ззапример, с суммой бесконечного чис за элементов геометрической прогрессии). Такого рода суммы, называемые рядами, и пзучгнотся в настоящей главе.
Мы установим, что при некоторых условиях ряды обладают свойствами, аналогичными свойствам конечных сумаз. й 1. Понятие числового ряда 1. Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Рассмотрим бесконе сную числовую последовательность из. иа,..., иь.... и формально образуем ззз элементов этой последовательности выражегпле вида из+из+,,.+ссь+... = ~с иь, ь. (13.1) Выражение (13.1) принято называть числовым рядом или просто рлдолз.
Отдельные элементы изо из которых обре:зовапо выражение с13.1), принято называть члююми дазсиого ряди. Как правило, мы будем пользоваться для обозначения ряда символом суммы ~ . Сумму первых и члсзсвв датсого рлда будем зссззьсвапзь и-й ч а с т и ч и о й с у м м о й дазсивгв рада и обоз>зачать симова лом асс. Итак, о„= из+и„+.,.+иа = ~ иы Ряд(131) зсазьюаь=з ется с х в д,я щ и м с л. если сходится пвследовательивспсь 1осс) часгпзсчзсьсх с умм этого улда. Прсз:этом ззредсл о' иоследвввтельзсвспга чхютичиых срмм 1оа) зсвзываеснсл с У и м в й дсисиого ряда. Таким образом, для сходящегося ряда, имеющего 427 понятия пьолового гядй 1+ д + (12 +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
