В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Отсюда следует. что дробь в правой части (12.16) положительна и, кроме того, не превосходит единицы (ибо (6 — с)«'(~х) + (с — х»)«'((с>) ~ )((6 — с) + (с — сги)~)«(~») = (6 — х„)«'((В)). Ст>ло быть. О < сг,„зг — х„< с — х„, т. е. х„<х„Ы <х. 3 В м е ч а н и с. 1. Мы рассмотрели сгучай, когти «'(сх) не убывает н положительна на [а„6]. Возможны еще три случая: 1) ~'(сг>) не во:>растает и отрицательна на (аз 6); 2) «'(х) не возрастает и !гол!>жигсгльна на (а, 6): 3) «'(:х) не ) бывает и отри!сит!;лг на, НВ )а, 1>1 Этг! три сггучая аналошгчны рассмотренному выше. В с"гучае 1) уравнение «(х) = О, так же как и выше, заменяется уравненис м (12.14) и в качестве пулевого приближения берется хо = а (при этом пошпссовательность (х„) гакже оксгзьгвается нсубывгюгцсй).
В схгучаях 2) и 3) уравггсггггс «(х) = О замсняется нс; уравнс'пнем (12.14), а уравнением х = 6'(х), где (а — х)«(х) «(а) — «(х) и в качестве нулевого приближения берется точка хо = 6 (при ЭТОМ ПОС-ГСДОВВТС=ГЫГОСТЬ (Хв) ОКВЗЫВВЕТСЯ ГП!ВОЗРВСТВК>ЩЕЙ). 3 а меч а ни е 2. Укажем, что дсгя метода хорд справедлива та же самая О!!сика (12.13) Отклонения:х, От корня с:, что и для метода кас:Втс льных, пгпклижшшык мктоды ГЛ.
Га 3 а м е ч а н и е 3. Нг! практике часто игпользун>т комбинированный метод, заклю шющийся в поочередном прнмененигг метода хорд н метода юн:а- тельных. Ради определенности предположим, что ~'(х) пе убывает и положительна на сегменте [О,!>] «рис. 12.6). Опрсдс.>им хг по х!столу касательных, взяв:)а нулевое щ)нОлижс'.Ии!1 точку !>. Пог:и! '-)тоХ2 Х4 го определим т:>, применяя меС ХЗ Хг год хорд, но не к сегменту «ач6], и к сегмептб [гл,хг]. ДаА л()е, Ощи)делим х) по методу касателытых, исходя пз уже Рис.
12.С найденного х!, .а х) по методу хорд., применяя !То к сегменту [хя, хз]. Указанный процесс иллюстрируется на рнг. 12.6. Преимущества комбинированного метода состоят в !меду!они)м: во-нерв!>х, Он дги)т более бьн;труа) сходимосг>ч чем к!Игод хорд, и, во-вторых, поскольку последовательные приближения хн п х„гг комбинированного метода с разных сторон приближан>тся к корню, то разность «!г.„гг — гг„! дает оценку погрешности этого метода.
Если за приближенное значение корня взять х, = "" ""+, то для погрешности получим оценку а т,„ж и„+! )х„— с«( ~' "+ к 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 1. Вводные замечания. При решегшн ряда актуальных фи')ическнх п технических за;1ач вст1х!!ак)тся Опреде.1ю!Ньк' 1пгтегралы от функций., нервообразнь!е которых не нь!рози~ионная через элементарные функцшг,. Крохкг того, в щ>иложегшях приходится иметь дело с опре)деленными интегралами. сами г!одь!г!теяральгняе функции которых не,явля>отел элементарными.
Это приводит к необходимости ра)работки щ>нближенных методов вычисления определенных интегралов 1) В этом параграфе мы познакомимся с тремя наиболее употребительнымп приближенными методами вычи!меняя опреде- ) Заагетиаг, по приближенными методами часто иользуюгся н тля интегралов, выражаюганхся через злснентарные функции. ВЫ~1ИС7!Е1!ИЕ О~РЕИЕЛЕННЬ!Х ИНТЕ!"ВАЛОВ 415 ленных интегралов; месводом нряморгольнииоо, лсеспссс)ом трапеций и ллеспсес1ом парабол,, Основная идея этих методов заклю сается в замене; подынтсгральной функции г'(х) функшсей более простой природы многочленом, сювпадаинпнм с 1 (х) в некоторых точках.
Для уяс- 6 пения этой идеи рассасотрим при хсемсых 6 интеграл ( 1(х) с1хэ -6 представляющий собой площадь узко!с криволинейной трапе.- ции., лежащей под графиком функции у = Г(х) на сегменте ( — 6,, 1!) (рис. 12.7). Заменим функцспо с (х) многочленом нулевого порядка, а 6 именно константой 7(0). Прп этом интеграл / ((х)с!х приблп— 6 женно заменится с! и>шасйио ссрямос1асмеьниисй заштрихованного на рнс.
12.8. Ниже мь! покажем, что прн определенных требованиях на 1'(х) ошибка, совершаемая при такой замене, имеет — Ь 0 6 х — 6 О 6 х Рис. 12.8 Рис. 12.7 Рис. 12.9 порядок 6 . Заменим. да сее. функцию 1(х) много шеном первого порядка, а имесшо линейной функ!!ней р = Йх + 6, совпада- 6, ющей с !(х) в .кочках — 6 н 6. При этом интеграл / 2(х)с1х — 6 приближенно заменится гслощас1ью ссрямслсссснесйесос1 гпрагсес1иеь заштрихованной на рис. 12.9. Ниже мы покажем, что при определенных требованиях на 7" (сг) ошибка, совершаемая при такой 416 гл. 12 ПГИНЛИжШШЫН МИТОДЫ заъшнс',, также имеет порядок 1Г . Зам)'.ним, наконий функцию ф(,с) многочленом второго порядка, т.
е. параболой у = А:гг + + Вх + С., совпадающей с 1(х) в точках — 1)ч О и 11. При этом Ь интеграл ],1'(х) 7(х приб:шженно заменится -Ь 7)лощад).)о ф))гура~о лес)со)цей )юд )н1)аболой и заштрихованной иа рис. 12.10. 11иже мы покажем, что прн определенных требованиях на функцию 7"(х) ошибка, соверппп)мйя нри тйкой )йм1'.не, имеет порядок /)Г. Ь Если требуется вычислить иптс грал ] 7"(х) 71х по любомУ сегментУ [онй], то естественно этсп сетки)нт рйзоить нй достйтош)о больше)1 шсь)о хилых сегментов и к каждому из этих се) ментов применить изложенные вь)ше рассуждения. При этом мы и придем к методам прямоуголь- -1) О Ь х ников, трапеций и парабол в их общем виде.
Детальное и:шожение каждого пз этих трех Р с 12 Ш метоДов Деетса ниже. ЗДесь же мы сДелаем олпо важное.' для да'1ьнейпв!ГО заме 1ан!и. 3 а и е ч а н и е. Лусть функция 1(х) непрерывно, ни, сегМГНтг, ]Оч 1)], а, Х1, тг,..., Хп . НтОШГ)рЬ)ЬЕ Н)ОЧКи СегМСНта ~а, У]. Тгт1а, па этом сегменте найде)пса, точка с, )покоя) ппо среднее 7(х)) + 1(х ) -1- .. + 7(х„) ирпфме)плсчсское равно ф(с). 7! В самом деле, обсыначн и через )п н Л) точнь)е )рани функции 1'(Г) на сегх|енте (а, Ь].
Тогда для любо)-о номера к справедливы неравенства Гп < 7(хь) < М (17 = 1,2,...,и). Просуммировав эти неравенства по всем номерам 17 = 1,2,....,и, и поделив результат на пч получим . 1(х)) Ч- 7(хг) -Г... -1-1(х„) гн < и, "1ак как непрерывная функция принимает .побое промежуточное ')вй Гение, зйк„!х) 1еннО1'. Ь!ежду" 7п и М., то на сеГыен'Ге (а.
1)] найдется точка ~ такая, что ф(с) У( ')) + 1(х)) +. + ) (х ) (12.17) и 2. Метод прямоугольников. Пусть требуется вычислить интеграл Ь (12.18) ) (х) 71х, 417 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГ!та ЗОВ Разобьем сегвннт [сьЬ) на и равных частей при помощи точек о =- хо < х2 « ... хеп = Ь. Обозначим через хгь 1 греднюкз точку сегмента (х21 2, Х21) (рпс. 12.11). Метод прямоугсиьников заклнптается в замене интегра„са (12.18) суммой 11 (Х1) + С (ХЗ) + . + У(Х2п — 1)) площадей прямоусольников с высотами, соответственно равны- Ь вЂ” а, ми 1(:г21. 1), и основаниями, равными хгу — хзь 2 = — ' (этн прямоуголышки заштрихованы па рис.
12.11). Таким образом, справедлива формула Г )'(х) с1х = — ()'(Х1) + ~(хз) +... + )'(Хзп 1)) + Л., (12.19) и Л = (,) г'с~1(11). (12.20) 24 ля С этой пелью оценим сна- -~- 6 гала / 1(х) Нх, с ппая, что (хс) — а Хо Хс Х2Ь-2наг-сяае Х2п сруннссстл, 1'(х) имеет нс1 сегменте ( — 6, +11) нгпрерыстную вторую прсзстзвосьную. Для этого подвергнем двукратгтому интегрированию по частям каждый пз следующих двух интегралов: Рис. 12.11 т! 1 (х)(х+ 11) с1х, 22 =- 1 (х)(х — Ь) сгл 14 В.А.
Ильин, Э.Г. Позняк, часть 1 где Л остаточный член. Формула (12.19) называется сборллулой прямоугольников. Докажем, что если функция 1(х) имеет на сегменте (а, Ь) непрерывнуто вторую производную. то на этом сегменте найдется такая точка гй что остаточный член Л в формуле (12.19) Р 1ВЕН 418 пРиБлиженные методы ГЛ. 12 ДО!я первого из этих интгтралов получим У! = 100(х)(х+1з)вг1х = [(х+1з)!)1'(х)) — 2 |'(х)(х+6) гух -Ь -Ь О =- ~'(0)Ь2 — [2(х + Ь,) |(х)) +2 |(х) г1х =— = !"(0)1з~ — 2|(0)6+ 2 |(х) г1х,. ДО!я второго пз интегралов совершенно аналогично получим !г = — У (0)6 — 2 ! (0)6+ 2 ! (х) (х.
О Полусумма полученных для 2! н 22 яы1зажеций приводит к свлессуюшей формуле: Ь | |(х) гух = 2|(0)6+ (12.21) — Ь 0 -~- 1з Оценим величину, применяя к интегралам Уг н 12 фор- 2 мулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций (х + Уз)2 и (х — 6) . Мы шшу шм, что найдутся точка с! на сегменте [ — 6,0) и точка (2 па сстмепте [О, 1!) такие, что О гг |( )(х)(х+ 6)вг1т, + — |~ )(х)(х — 6) г)х = — и О Ь = — —,~! гЯ;) (х+ 6) г!з:+ —,,~(~)(~2) (х — 6) г1х = — Ь О Ьз !3 Ьз ~.гз~(с )+удз(с ) 6' б 3 2 В силу замечания в конце и.
1 на сегменте [ — Ьз+6) найдется точка 0 такая, что |( )(г!) вычислкник ош кдклкнных инткгвллов 641, Поэтому для полусуммы мы получим следующее вы- 2 ра жение: Ь 4- 14 1г' ~(2)(, ) 2 3' Вставляя это выражение в (12.21), получим, что (12.22) Где Л = — ('(21(г1)(26)а ( — 6 < г1 < 6). (12.23) Так как величина 27" (0) 6 представляет собой площадь прямоугольнпкаг заштрихованного на рис. 12.8, то формулы (12.22) и (12.23) доказывшот, что ошибка.
говершаемая при замене ( 7'(х) г(х указанной пльпцадью„имеет порядок 6' . а — Ь Ь Таким образом, формула ( )'(х) а(х — 24'(0)6 тем точнее, — Ь Ь чем,мененге Ь,. Поэтому для вычисления интеграла ( 7(х) <1;г естественно представить этот интеграл в виде суммы достаточно болыпого числа п, интегралов и к каждоы1 из 1казанпых пптег1)2лов пригн.пить ф01>мул1 (12.22). У патывая п1ги этом., гго длина сегмента [хэь 2, хгь] Ь- а, равна ', мгя пшгучим формулу прямоугольников (12.19), а в которой Л = Л1+Л2+...+Ла — — '. ф'1(гн)+~(~1(02)+ +Хбй(41гг)1 = 24гн (ь — а) т~ ~(пг) -~- 7~ ~(эг) + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
