В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 90
Текст из файла (страница 90)
+ (1'+... = ',1 ' (7Ь-'. 1:.— 1 и-я частичная сумма Я„этого ряда прп (1 ф 1 имеет впд 113.3) е Очевидно, что при ((7( ( 1 последовательность частичных ) В современнон математике, наряду с указанным выше понятием суммы, вводится поняти(" суммы ряда в различных обобщенных смы(.тах. Это позволяез суммировать в обобщенных смыслах многие расходящиеся ряды 1сы, дополнение 3 к втой щ(аве). сумму о', мы можем формально записать равенство В=~ Ь=-1 В супйчие. если 1пп Яв ие суи(сстоует, рлдлвззынаеппл р а, си — (ж тодлшижсл, Подчеркнем, что понятие суммы определено лишь для сходящ(тося ряда и, в отлн ше от понятия коне гной суммы, вводится посредством предельного перехода ). Заметим.
что рассмотрение числовых рядов есть новая форма пз1 и".Пия чи(ьловллх поспедователл.по(той, пбо: 1) каждохлу данн(ьв!у ряду ОднолнячнО ОООтветству(гг по(ледОВаплльность его чщг1и'1ных (1Ь1а1; 2) казкдои д1ннои по(-пдОВН(-11ьно( (п 1ог() Однозначно сООтветству('.т ряд, для которого эта последОВательность является по((ледовательностью его частичных сумм 1достаточно положить члены ряда равными иь = В, — В;, 1 прп лс) 1ии> =Я().
Одной пз главных задач теории чп( ловых рядов является установление признаков. По которым можно релшлть вопрос о сходимости нлн расходимости данного ряда. Примеры числовых рядов. 1. Изучим вопрос о сходимостн ряда 1 — 1 + 1 — 1 +... = ~( ( — 1) ь '. (13.2) Ь=-1 Поскольку последовательность его частичных сумм Ял = 1. Яв = О, ..., Я.в 1 = 1, Язв = О, не имеет пр(*дела, ряд (13.2) расходится.
2. Рассмотрим ряд, составленный нз элементов геометрической прогрессии: 428 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ 1'ЯДОВ ГЛ. 13 1 сумм оп сходится и имеет предел, равный . Таким обра1 — д зом, прн )<1! < 1 рассматриваемый ряд сходится и имеет сумму, 1 равную 1 — 4 При ~д( > 1 из равен<.тва (13.4) о <еввдно, что по<шедовательность оп (а стало быть, и рассматриваемый ряд) расходится. 11)н< (<)! = 1 расходимость ряда (13.3) усматривается непосредственно, В самом деле, при д = +1 о„, = и, расходпмость после,<овательности ло очевидна, а при <7 = — 1 ряд (13.3) переходит в изученный выше ряд (13.2).
3. Пусть и любое фиксированное число. Докажем, что ряд т А — — 1 сходится н имеет сумму, равную е". В п. 2 3' 15 гл. 8 мы получили разложение по формуле Маклорена функции еи е — ! 1+ + + "+( )+Д(): (136) Где. Л (л) = — ',е"' (0<0<1). Из формул (13.6) и (13.7) мы получим (13.7) 1+ — "+ — '+... + ',~ — .'"' < ~"~ е~'~.
(13.8) 1! 2! (и — 1)! и,! Обозначая через Ьп «-ю частичную сумму ряда (13.5), мы можем переписать неравенство (13.8) в виде (13.9) Поскольку прп,побом фша;нрованном и 1ш< — =. О в), и кое о! ') Символом О! мы обозначили число 1. е) См, пример 3 из ~, 3 3 3 гл. 3. то правая часть неравенства (13.9) представляет собой элемент бескон<.чно малой по<:<едоват<.льностп.
Н<з зто и о<зтп<чает, что по<хледовательность (оп) сиодпп<си к '<ислй е". Стало быть, <л ряд (13.5) сходится и имеет сумму е". ПОНЯТИЕ 'П1ОЛОВОГО 1'ЯДА 4. Совершенно аналогично, используя формулу Маклорена для функций вш т. и сов х, можно доказагь7 что ряды 3 1,7 '- 1 1)7 1, лс — г з! вг) 21 ' " 12У вЂ” 1)! Я=-1 и ~бп.с.р — Я„~ < е. В качестве !следствия из этого утверждения мы шглу шм следующую основную теорему. Теорема 13.1 (критерий Коши для ряда). Для того чтобы ряд 2; сля сходился, псобходгсмо тл доститпотсо7 чтобы Ь=т для любого тгюлоэю1птлельтсого чтссли г тсогиегсггя !соме)г лч тпихоп, что для осех номеров тс.
удовлетворяющих условию гс > Х й для осгх тситурилютых чисел р тс-'-17 ссл < г. ! — --пэ ! (1 3. 10) Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что вели шна, стоящая под знаком моду.,ля в неравенстве (13.10), равна раЗНОСтИ ЧаСТИЧНЫХ СУММ Япг., — О',7,. ПОдЧЕрКНЕМ.
ЧТО КратЕрИй сходимости Коши представлясст в остновном теоретический интерес. Его ис:пользование для практических потребностей установления сходпмости или расходимости тех или иных конкретных хт л' х ч ( — 1) хт 1 — —,' + — — — '+...=~ 2! 4! 6! (2У вЂ” 2)! тс-..1 при любом фиксированном значении х сходятся и имеют суммы соответственно равные вшх и сов т,.
ЕПредоставгтяеьг чптате„ио самому убедиться в этом.) 2. Критерий Коши сходимости ряда. Так как вопрос о сходимостп ряда. по определению, эквивалентен вопросу о сходимОсти пО( 7!едоватстльиОсти стгО частичных си ыхт. то мы получим необходимое н достато !нос уг:ловие сходимости данного ряда7 сформулировав критерий сходимостп Коши для пос тседовательности его частичных сумм. Ради удобства приведем форМуЛИРОВКу Крвтсрня КОШИ д.,ся ПОСсгЕДОВатЕЛЬНОСТИ. ДЛя тюгО чтобы последовителысосхпь 1'Огст! была сходя!с)етуся7 необходимо и достаточно. чтобы для любоггг полггоя итпельтсоггг числа г ссаилелся, тюлсер Х тпаксгй7 ыпо для осех номеров п„удоолетсорятощих услооито тг, ) Хг и для все е патурильтсых р (р = 17 2. 37... ) 430 ГЛ.
13 ткогия числовых рядов рядов, как правило, сопряжено с трудностями. Поэтому наличие критерия Коши не снимает вопроса об установлении других практически эффективных прллзнаков сходимостн лл рассходллмости рядов. Из теоремы 13.1 легко и:лале'ль два элементарных, по важных слслдствия. Следспсвие 1. Если ряд 2 ив сходгипссй то последоаательссость гп = 'л„иь является бесхосючпо малой. ага+С Принято называть вели лину г„п-м, о с т а сп к о м ряда 2; иы Чтобы доказать с'ледствие 1, достато пло доказать, что в=1 для,;побого е) 0 наидется иохю11 %таков.
лто ~ссп~ ~ (е п1ли сс )Лс. Поссюднее иеравслн:тво непссс1ледственно вытслкас;т из нсл1лавенства (13.10). справедливого для любого р = 1с 2, 3,..., и из теоремы 3.13, Следствие й (пеобходимое условие сходимости ряда). Длл сходимост:и ряда 2; ив пеобходпмос чтобы послсдоеаСс — —. 1 тЕЛЬЛСОСтЬ ЛСлс Плп иэ,... ЧЛЕССОО СППОга ряда яаЛяЛаСЬ бЕСПОССЕЧНО лсалой.
..1остаточно доказать, что для данного сходлпцегося ряда и для любого е > 0 найдется номер сло такой, что прп и ) Ло (лс„) < е. Пусть депо любое е > О. Согласно теореме 13.1 найдется ллссхле1л Ж такси, *сто при сс, ) )ссс лл д„ля лсобоео лсслт11сального р выполняется неравенство (13.10). В частности, прп р = 1 это нс"равсснство ихюет вид ~~С,с+1/ < Е (Прн и, > Х).
(13.11) Если теперь положить номер Ха равным Хв = сл" + 1, то при и ) СЛсСС В ССЛСЛ1 НСРаВЕНСтВа (13,11) ПОЛУЧПМ (ССсс! < Е, Чта И тРС- бовалось доказать. По другому следствие 2 можно сформулировать так: для сходимости ряда 2 ссь пеобходимсс, чпсобьс 11ш пв = О. Таким об- Ь вЂ” с асс рсшом, при исследовании на сходимость данного ряда следует прежде всего посмотреть, стремится лп лс ллулю й-й член этого ряда прп Й вЂ” л эо. Если это не так, то ряд заведохис расходится. Так, например, ряд 431 нсгнятин ик:лоного гядя заведомо расходится, ибо 1пп иь = 1пп, = —. ф О.
уг 1 ь †, в-э,. зуг -'; зову э Аналоги'сно 1гасходнмоссь угкс! гыу я!нного Вы!!се 1ггсда 2 ( — 1) ь-! ь=! вытекает нз того. что 1пп ( — 1) ' не еущеетвуеш !с в — гсс Подчеркнем. однако, что стремление к н1лю К-го члена ряда при )с — г оо яв.'сгсетс!г! лисаь необходимым, но не доетатошсым условием еходимоети ряда. В качестве примера рассмотрим ряд (13.12) я вЂ~ Этот ряд обычно называсот горл!отеческим рядом.
Очевидно, что для н!1гыопичеекого ряда выполнено необходимое ус!тонне еходимоети. иоо 1ш! — = О. Докагкеьс, однако, что этот ряд рас!с-гж у ходится. Вос:пользуемся критерием Коши. Докажем, что для положгвгельного числа е = 12!2 не еущеетеует, такого номера Х, что при н ) Х для лнгбого натурального р (13.13) я †! В гамом деле, если взять р = н,то для еколь угодно больисого и 2п Е 1 1 1 — > — и=-.
У 2а 2 ь=н-~! (Мы уч.тп, что в поп седней сумме н слагаемых и что наименьшее из этих слагаемых равно 1!!2!!.) Итак. неравенство (13.13) оказывается невыполпсгнныьс, каким бы бо„гьшнм мы ни взяли номер Х. В силу критерия Копш ряд (13.12) расходится. 3. Два свойства, связанные со сходимостью ряда. 1". С2снб2гаеыеание к!!меч!с!гас! игала члшшв ряда (ил!и добавление к ряду коне а!!ого число, членов) не агпсяеп! на еходимоеть или раеходимоспсь этого рядо,. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметитсь что в результате указанного отбрасывания (и.си добавления) членов, вее чаетнчные суммы этого ряда, начиная е некоторого номера, изменятся на одну и ту же постоянную величину.
432 Г21. 13 ТЕОРИЯ ЧНС''!ОВЫХ Р51ДОВ 2'. Если с оспличная осп нуля постол!исая, исс, —— — сит пи) ряд ~, сс~ с:ходится тогда и сси)лько тогда, когда схс)дссгсс— й-.! ся рлд 2 иы ь=-! Если обозначить п-е части !ные суммы рассматриваемых рядов соответственно через о и эсс. то очевидно, что э, = сэп. Из последнего равенства вытекает, что 1пп Я,', существует тогда и и — с э« тс)лько тесла, к()гда сУЩОГ! ВУс)!' 1)ш Оп. с), 3 2.
Ряды с положительными членами 1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами. В этом параграфе мы рассмотрим ряды, асс члессы которыа ссеотрицатсльпы. Следуя установившейся традиции, мы будем называть такие ряды рлдами с полоспсительтыми члсссими (хотя правильнее было бы употреблять термин «ряды с неотрицательными членами»). Что же касается рядов, все члены которых строго больше нуля, то такие ряды мы будем нж)ывать рлдалнс со строго ссолоэсссстелысъсмсс членами.
Ряды с положптслы!ыми члс;нами сами по себе часто встреча!отся в пр!сложениях. Кроме того, их предварительное изучение облегчит изучен!се рядов с членахш любого знака. В дв.чьнейпсем, чтобы подчеркнуть, что речь идет о ряде с положительными членами, мы часто будем обозначать члены такого ряда символом рс, вместо иы Мы ыожс',ы сразу жс', Отхн)тись ОсновнОс) характерпстичес:кОс! свойство ряда с по. п)жительными членами; ссоследоеательпость тсспичных сумм спакого ряда,япллхяпся ссеубыпающш1. Э!'о позволяет нам доказать следующее утверждение. Теорема гэ.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
