В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Рассмотрим квадрат Я, сторона которого равна 2. На каялдой стороне это~о квадрата построим равнобедренные прямо»гольпые треугольники Тз, Тм Тл, Тл, в результате ыы получи»» квадрат ГХ со стороной 2»/2 [рис. 11.21). Затом из каждого такого»роугольпика произведем удаление полуоткрытьлх треугольников так, как это описано вьпве, в п. 1. В результате мы получим фил уру ГХ, ограпичсипунз замкнутой кривой„состояшшл из четьцн'х кривых, кошруэптпых ') кривой Х [см. и. !). Докажем, что полученная фигура Я пеква- ) То, что различным ! отвечают различные точки»шожества ЛХ, очевидно из построения кривой Е.
) Отметим, что каждому такоыу трслтольпику отвечает только один ссг- ГР Р+!1 ыепт [ —,— [2" ' 2" ! з) Пусть ! . любая точка сел.мента [О. Ц и и - любое целое положит» льпоо число. Тогда, очевидно, точка ! принадлсясит некоторому слтыепту Р Х11 —, — ), причем каждый такой сегмент, отвечающий воыеру и + 1, со- 2" ' 2' держится в сел менте, который отвечает помору и,. ' ) Гбножества А и В называются колирущ»пп»ымнл если опи могут быть совмещены движением. .,(Оп()1!НВНИВ дрируема. Рассмотрим две спепиальпьзе последовательности многоугольпиков (О ) и Щ„), первая из которых состоит и з вписанных в фзигуру 14 многоугольников, а вторая из описшшых вокруг (1 многоугольников. Послсдователькость (бд ) получается посре.зством прв- з з соединения к квадрату Я псыуоткрьзгых Я треуголыплков, удаляемых из треугольников Тн 1з, Тз, Тз на каждом нечетном шаго гзрозгесза, ошлсаниого в п.
1. Последовате:п Ность (сз„) гзо, з)"заезсв ззос)зедством Т Я т удаления из квадрата О полуоз крыл ых треугольников, удаляемых из треугольников Тз, Тм Тз, Тз па каждом четном шаге процесса, описанного в и. 1. Очевидно, Тз что лкзбой вписанный в фигуру 14 многозтольпвк содержится в каком-пибудь многоугольнике 1) ., а лкзбой описанный вокруг фигуры бу' к|ног оугольпик содержит какой- Рис. 11.21 нибудь многоугольник О,. Поэтому предел последовательности (Я,) площадей многоугольников 11 равен низкзнвй нлозлади Р фигуры 1), а предел последовательности (5'„) площадей мцогозтолызиков бз)„равезз верхней 1 алвзз)адзз Р фш.УРы бз). Легко УбодитьсЯ, что л„=- 4-(- 2,, а Я„= 8— ,(г — 1 ' — — ). Псытому Р = 1зш л„= 16,(3, а Р = !шз л„= 22/3. Так как 2 ь, 4ь Р ф Р, го зззиг ура (г ззсквадрируема.
Отметим, что разность Р— Р = 2. Таким образом, граница рассматриваемой фигуры 11 имеет плошадь, равную 2. 3. Покажем, что лзвбал часть кривой 1, вграззи"ютзал двумл равличнъг ми точками, несерллытсма. Локаасекз сначаза, что такая часть 1' кривой Е имеет отличпукз от пуля площадь, з. е. любой мпогозтольпик, покрывакзший 1 '. вмеет площадь, большткз некоторого положительного числа.
Заззетим, что 1' содержит часть 1ь, отвочаюпзую точкам некоторозо сегмента р р+ 11 и Г р р+ 11 — ), и поэтому 1 содержзпся в треуголызике Т [ —, ( и может [2" ' 2" быть получена посредством удаления из этого треугольника определенных полуоткрытых троуго.зьпиков (см. п. 1 пастояпюго пополнения)..1егко подсчитать, что сумма л' п.ющадей всех удаляемых полуоткрыл ых треуголыш- р.,— 11 ков мепыпе п.юшади лз треуго.зьпика Т[ —, ).
Слс.зовательпо, часть [2 ' 2" 1а имеет плаща.згч равную лз — 5 ) (). В у 2 этой главы при доказательстве квадрирусмости фигурьз, ограцичогпюй сирам,шомай кривой, мы докжзаззгз. что площадь сирам. зяемой кривой равна пулю (сирам.зягмую кривукз можззо покрьзтз кпзогоз го зьпикоч сгсо зз з годно ззатсзй ззлошади). Почтамт касаи Аа кривой А, а <шедовательпо, и часть 1', содержащая 1", песпрямляема. 3 а м е ч а и и е. Каждая пз построенных фушсций р(1) и с,(() нс имссга прои,твдяай ни в одной точке сегмента [О, 1). ) Эти формулы легко получиттч ес;ш учосзь. что суммы п.юшадей треугольников, удаляемых па нечетных шагах процесса, образуют геометричз'- скую преп.рессию 1, 1з4,..., а суммы плошадеи треуз.о.зьпиков, удаляемых па четных гаазах процесса, — геометрическукз прогресспкз 1(2, 1)'8....
ГПАВЛ Г2 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫт1ИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ и'РАВНЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ В этой главе рассматриваготся прглближенные методы нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений и вычисления определенных интегралов. 'й 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений В этом параграфе мы займемся приближенным вычислением одного из корней уравнения г [ж) = О, где р = 1(ж) некоторая непрерывная или дифференцпруемая функция. Будем считать, что интересугощий нас корень с этого уравнения изолирован на некотором сегменте [а, б], т, е, будем с ш гать, что этот корень является внутренней точкой сегмента [а, 6], не содержащего других корней рассматриваемого уравнения.
Па практике обычно путем грубой прикидки определяют рзззгеры указанного сегмента [а, Ь] ). 1. Метод «вилки». Начнем с метода, который часто используется для прпблпзкенного вычисления корней на современных бысгродегйствучоггвгх матеагазнческпх машинах. Пусть пнтересукпцийг нас корень с уравнения г(ж) = О изолирован на некотором сегменте [а, Ь]. Относительно функции ) (ж) мы предположим. гто она непрерывна на сегменте [а, б] и имеет на концах этого сегмента значения разных знаков.
В да;гьнейгпем для краткостгл мы будем называть «вилкой» всякий сегмент, на концах которого у(ж) имеет значения разных знаков. Перейдем к описанию метода отыскания корня уравнения 1(га) = О, называемого мстггодом «вили»вы 11 ) При этом может быть использована вытекакггпая из физического содержания задачи „гополиитсльная глпфорыаггия о распозоягении корпя. вычислкиик когвкй лч явикиий Ради определенности будем считать, 1то «(и) < О, «(6) > О. Разделим сегмент [11, 11) пополам. При этом может представиться два случая: 1) значение функции в середине сегмента [и, 11) равно нулю (в этом случае искомый корень найден); 2) указанное значение нс равно нулю. В этом случае одна пз половин сегмента [п, 6) является вилкой.
Эту половину мы обозначим [и1, 61). Очевидно, что «(и1) < О, «(61) > О. С с1тментом [111.61[ поступим точно так же, как с сегментом [и., !1), т. е, разде зим сегмент [и1., 61) попо.,1ам. Продолжая ана.1огичные рассуждения далее, мы будем иметь две возможности: 1) либо описанный вылив процесс оборвется вследствие того, что значение функции в середине некоторого из сегментов окажется равным нулю (в этом случае искомый корень найден); 2) л1лбо описанный процесс люжно продолжать неогранп инно, и мы получим стягивающуюся систел!у ССГМЕНтОВ-ВИЛОК [а1.
61), [1Ла, 11Э), ..., [Пло Ьо[,..., ПРИЧЕМ ддя ЛЮ- бого номеРа 11 «(па) < О, «(6а) > О. Укаланпан стагиваЮЩаЯОЯ система сегментов имеет одну общую точку с, к которой сходит- сЯ кажДаи из послеДовательностей (11а) и (Ьа) (см. слеДствие из теоремы 3.15). Докажем, что с и является искомым корнем. т. е. «(с) = О. Поскольку функция «(я) пег1рерывна в 1о 1ке с. то каждая из последовательностей («(а,„)) и («(6а)) сходится к «(с). Но тогда пз условий «(па) < О, «(Ьо) > О, в силу теоремы 3.13 и заме 1ания к этой теореме, получим. что одновременно справедливы неравенства «(с) < О и «(с) > О, т. е. «(с) = О. Проведенные вьппе рассуждения дают алгоритм отыскания искол!ого корня с.
За приближенное значение этого корня можно а„-Ь 6„ ВЗятЬ тОЧКу " ". т. Е. СЕрЕдИНу СЕГЛ1ЕНта [По,(1,). ПОСКОЛЬКУ 2 Б — а, а„-!- Ь„ Длина сегмента [пап(1„,] Равна ', то плсло " " оншчаетсЯ 2" '2 6 — а ог точного значения корня не более чем на . Таким образом, Описанный выпю процесс пос'1с![Ова гельн01 О деления сс1 мснтогвилок пополам позволяет вычислить искомый корень с с любой наперед заданной степенью точности.
Так как описанный пропесс приво,лиг к мнолократному повтор!"ншо одноли11г1И11а! вычислительных операцллй, он особенно удобен для проведения вычислении на быстродействующих математи леских маппшах. 2. Метод касательных ). Метод касательных является од- 11 ним из самых эффективных приближенных методов вычисления корней! у1)анне'.Иия «(х) = О. Пусть искомый корень с уравнения «(;г) =- О изолирован на сегменте [О.,Ь).
Перейдем к описанило метода касательных. Ие выясняя пока ус;1овпй, при которых применим этот метод. ) Этот метод наамвак1т такжо .методом Нь1атаиа. принлижкннык мктоды Г21. 12 Обратимся к ра<'смотрению графика функции 1(х) на с<)гменте (а,()] (рнс. 12.1). Возьмем за нулевое приближенн<' искомого корня некоторое значешле:го из сегмента (и..'и) н обозначим ВО точку графика функции с абсциссой (го.
Пров<длил через точкУ Ло касательнУю к гРафикУ фУнкЦии и возьмем за и<'Р- вог приближение нскомо<о корня абсциссу хл точки пересечения этой касатцпьной с осью Ох)). Далее проведем касат<)льную к графику функции через точку Вл с абсцнссой х) н возьмем:ла второе приближение абсциссу х) точки пересечения этой касательной г осью Ох. Продолжая этот процес( неограии 1< нно, мы построим по<:и довательно<ть хо, хл...., <х„, .,, приближенных значений искомого корня.
В практн неких целях удобно полу пнь рекуррентную формулу. выражающую хны нрсз хп. Для этого возьмем уравне- ниР У ) (хп ) — ) ( хп ) (х х и) ка( атРЛЬНОЙ к ГРа<1)ик) ())Ункдии Р тоЧК< Ли И ВЫЧИ(ЛИМ абгл<ИС- в 1 то лкн )п ресеч<лння э)ОЙ касательной с осью Ох. При этом получим <Рорхлула (12.1) определяет алгоритм метода касательных. А Таким образом, метод каса- т()льных пр("дставля('т РОООЙ Рис. 12.1 м( тод по<ледоваз Рльных при- блнжиний (нли, как говорят.
метод итераций), которые строятся при помощи рекуррентной формулы (12.1). Нашей дальнейшей:)адачей явля<-тся обоснование метода касательных. В п. 5 мы выясним болония, прн которых по<)д('донат()явность значений:хп, Определи<)мых формулой (12.1). сходится к искоклокл) кОрн1О с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
