В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Пусть функции х = 1р(1) и д = = )))(1) нк)еют на сегменте [г),,3» непрерывные производные. В этом случае, в силу теоремы 11.1. переменная дуга 1(1) нредгтаВляе)тся 1лг'.Л)'юн11)Й форы)'лОЙ: )(1) = ~р)2(т) +,1)2(т) дт. (11.22) Так как подьштегральная функция в правой части формулы (11.22) непрерывна.
то функция 1(1) дифференцнруема,. причем ГИ) = еРРТ~-Ф'1О 382 НРИ'!ОНСЕНИЯ ОП!'ЕДЕ!!ЕННОГО ИНТЕГ!'Алй ГЛ. 11 (см. и. 1 8 7 гл. 10). Возводя обг сас'ти последнего равснствн в квадрат и умножая затем нн с)12, получим формулу [1'(1) 111] = [ср'(1) с11) + [ф'(1) Н~~. (11.23) Поскольку 1'(1) Ю = с(1. со'(1) Ж = с1х, ф'(1) с(1 = с1у, то из (11.23) найдем 1212+12 (11. 24) 1Лсз формулы (11.24), в .и!отнести, следует, что если зн параметр выбрана переменная дуга 1, т.
е. х = 87(1) и у = Ь(1), то ( — ") + ( — '") = 1. (11.25) Отметим, по при устловии непрерывности производных функпий х = со(1), с) = ус(1) н я =,у(1) для дифференциала с11 дуги прос:транс'твенной кривой, определяемой парнметричес:кими уравнениями (11.5), справедлива формула 11212+12+12 (11.26) 1Ь формулы (11.26) следует, сто если за параметр выбрана, переменная дуга 1, то (й) "('-,"') '($) =' ("' 7. Примеры вьсчислении длины дуги. 1'.
Длина дуги циклоиды1) х = а(1 — вшй). д = а(1 — сов1), 0 < ! < 2!с. В рассматриваемом случае ср' = а(1 — сов!), с)з' = а.вш1. Позтому по формуле (11.10) 2к ят С ~2т а (1 — сов!)2+ в)п21сй = 2а 1 вш-'с11 = — 4асов -'~ = 8а. О О 2'.
Цепсссссл лссссссес1 называется график функции у = а с1з —" 2). Найдем длину учщ:ткн пенной линии, отвечающего сш мни!у [О, се[. Имеем по формуле (11.19) 1(х) = 1+!)с2(б)сК = 1+вйа — сК = Гсй ~сК = анй — '"'. и, н, о ') Цссклеида — п:юская кривая, которую описывает точка окружности радиуса о, катящейся без скольжения но прямой линии. е) Наименование цепная линия связано с тем, что с)юрму рассматриваемой кривой имеет тяжелая цепь, подвешенная за концы. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУ!'Ы Х> 3'. Найдем пеРсменнУю д>тУ эллипса — ", + Уц = 1, а > Ь„от- о' Ь> считываемую от точки >!Хо!0.
Ь). Рассмотрим параметрические уравнения эллипса са = а 8>г>1, у = Ьсое1, О ( 1 ( 2п. По формуле !11.22) имеем 1Я = С»>21т) + >)>>2!т)дт = о о = а 1 — еэ е>и тс1т = оЕ1е,р). О зги' — Ь>' Число е = называется эксцентриситетом эллипса,. яц. цц.. а .ц а !Л вЂ”:'ЙР~>ц цй ц» ц ц» нуль при Х = О, называется эллиптическим интегралом 2-го рода и обозначается Рц>е,1) !ст!.
8 11 гл. 7). 8 2. Площадь плоской фигуры ') 1. Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадь квадрируемой плоской фигуры. Понятие п,лощади плоской фигурь>, яв.>яющейся многоугольником ), и:>вестно из курса элементарной математики. В этом пункте мы введем понятие площади плоской фигуры с> части плоскскти.
ограниченной !!Вестой зааскнутой кривой 1 '). При этоь! кривую А будем называть грюпщей фигуры 1). Мы будем говорить. что многоугольник описан в фигуру сцэ, если каждая точка этого кшогоутольника принадлежит фигуре Я или ее границе. Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоупщьнику, то будем говорить, что указанный ьшогоугольник описан, вокруг фигуры с>. т11>но, что площадь л>обого вписанного н фигуру б> многоугольника не бо:>ьп>е >слспцадп любоп> спщсанного вокруг фигуры С2 зшогоугольника. ПУсть 1Яц) щсловое множество пло>ца>ей вписанных в плоскую с)>игуру 63 многоугольников, а 1л,с) чис>ловов множе- ) Во второй час ги настояще>о курса читатель найдет широкое примепение понятий площади плоской фигуры и произвольного >шожества точек плогкости. ац > 1ц1ного!>го»ьнпкпм мы будем называть часть плоскости, ограниченную простой замкнутой ломаной линией.
) Отметим, что простая замкнутая плоская кривая Ь разделяет плоскость на лве части внутреннюю и внешнюю. Э>о утверхсдение было доказано французским математиком Жорданоь> 11838 — 1922). и!'ит!О>кения ОИ1'еде;1еннОГО интеГРА.!А Гл. 11 ство площадей описанных вокруг фигуры Сг многоугольников. Очевидно, множество )Я,,'! ограничено сверху !ил!оп!>сл!ью любо- го описанного вокруг фигуры бч! многоугольника), а множество (Ял) ограничено сни.су (нгпсрихсер, питом нуль). Обозн шим че- рез Р точную верхнюю грань множества )Яс), а через Р " точ- ную нижнюк> грань множества )Яи). Чглсла Р и Р тсслзывотютпся соотпоетстпвентсо тсислстлегл плютцидгио и ссср!пастей п.,лоьйидьнс фигу- !ты, б!.
От>летим, сто нижн>!я плон!аль Р фссгуры Я пе польше верхней плосцади Р ьчой фигуры, т. е. Р < Р. В самом дел!е, предположим, что верно п)тотивоположное неравенство Р ) Р. Р— Р То~да початая — = е ) О и ! титывая оп!».деление то шых граней., мы найдем такой вписанный в фигуру Г) многоуголь- РжР ник, плошадь Чс которого будет больше числя Р— е =— Р Ь Р т. е. — < я,, и такой описанный вокруг фигуры балт много'с; — РжР угольник, площадь Яз которого меньше числ>с. Р+ е =— 2 Р -ь Р т. е. Яи < —, . Сопоставляя полученные два неравенства, няй- 2 дем, что Яг ( Я,, чего не может быть, тяк как площадь Яи лю- бого описан!к>го ьшого! Голь!сика тсе .меньше площади Яс лк>оого вписанного многоугольника.
Введем понятие квадрнрусмостн плоской фигуры. Определение. Плоская фигура бгг тюзывиетсл к в а д р и р у- с лс о й, если верзстсял плсотссидь Р этой фигуры сотгидает с ее талон:сшй тслотл!ис1ьто Р. При эпсолс число Р = Р = Р тюсьывиетса плосцадтпо устлгуры !т. 3 а м е ч а н и е. В дополнении к этой главе будет приведен пример неквадрпруемой фигуры. Справедлива !си!дующая пгоремя, Теорема 11.в. Для того чпсслбьс плоскал фтлгуухл, б! были ьви- дрируемой, необходимо и даст!ипат!о.
чтобы, для лн>бого тхлло- эюитпелглсого числа е мооютсо было укизатпь такотл тсптлсатстсый вокруг фигуры !лс лшогоугольшлк и тикай вписиипьсй в фигуру б! лсногоугольтак, риз!!ость Вг — Я, плон!идя!1 кт»спорых были бьс метсьуле е, Яг — ос ( е. Д о к а з я т е л ь с т в о, !) лл е о б х о д и м о с т ь. П!сть фи!ура С1 квадрирусма, т. е. Р = Р = Р. Так как Р и Р точные верхняя и нижняя грани ьтно>кестсв )Яс) и )ои), то для любого числа е > О можно указать такой вписанный в фигуру с1 многоугольник, площадь Я, которогст отличается от Р = Р меньше тем ня етс2, т.
е. Р— Яс < есс2. Для этого же е > О можно площадь плоской Фигуры 385 указать такой описанный многоуз-ольник, плошадь Яд которого отличается от Р = Р меньше чем на с12з т. е. Яд — Р < сгз2. СКЛаДЫнаЯ ПОЛУЧЕННЫЕ НЕРаВЕНСтВа, НайДЕМ, Чте Яд — Яз < С. 2) Д О С т ЗЗ, т О З НОСТЬ. ПуСтЬ Яд И Яз ПЛОщадв МНОГОУгольников, Дли котоРых Яд — Яз < с. Так как Яз < Р < Р < Ядз то Р— Р < с, В силу произвольности с отшода вытекает, что Р = = Р. Таким образом, фигура квадрируема. Теорема доказана. Мьз будем говорить, что граззззцзз плоской фигуры бьд амесла площадь, равиузо нулю, шли для любого положтггельпого числа с ) О можно указать такой описанный вокрут физ-уры бд ъппзгоугольник и такой вписшшый в фигуру О много- УГОЛЬЯИК, РаЗНОСтЬ Яд — Яз Пдащалсй КОТОРЫХ МЕНЫПЕ С.
ОЧЕ- видно, теорему 11.2 можно также сформулировать зледующим образом. Длл того чтобы папская фигура Ц бьиа коадраруслзой, ззсобзсодимо и достапючззо, чтобы сс граница алзела площадь, равззую нулю. 3 а м е ч а н и е. Во всех приведенных нами рассуждениях вместо плоской фш уры ззовзно рззссмат1зивать произвольное множество точек плоскости.
хггтановим достатв озьщ Шзпзнак хззадрпруемвста плоской фигуры. Теорема 11.3. Если граница Х плоской фигуры Ц првдсзпавллет собой сгйтмллвмую кривую. пзв фигура бд хвадрируема. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1 — длина кривой ь. Будем счи- тать. что кривая А параметризована с помощью натз рального параметра 1. 0 < 1 < 1, причем, поскольку кривая ь 'замкнута, ее граничные точки, отве- чающие значениям 0 и 1~ параметра 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
