В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 80
Текст из файла (страница 80)
причем очевидно, что ?? 1(2!) =~ [р(2') — р(2 ))]2+ И!') — Ю! !)]2+ ([Х(2 ) -Х(2, !)]2 ? — -! Пространственная кривая Л? определяемая уравнениями (11.5), называется гирям?гяемо(1, если множество (1(то)) длин .юманых, вписанных в»(3 кривую? ог12аничено.
Точи?)я ве1)хи!!я г12ань этого множа( тва нтгывается длиной дуги кривой Х. Отметим, что простргшственпьи'. спрямляет)ые кривьи. обладают поречисленными в этот! пункте свойствами 1', 2', 3' и 4'. Доказательство этих свойств проводится совершенно аналогично дока:гательству для плоских кривых. 6. Достаточные условия спрямляемости кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой. Теорема 11.1. Если (рунный(гг(, гв = ((2(Х) и д = ф(2) г(менгт на, ссгменгпе [сг, (3] ггег)рерывные прог!вводные? то крггвая Е?, опрсдс; лягмая паромюпрггческг(лис ур?асгненилми (11.3)? спуя?иляема и да)(на, 1 ее дуги моя?сс?п быть вьгчислвна по формуле.
1 = ??2'2(!) + у)?22(2) дй (11.10) Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем снача.?га, что кривая Л спрят(,)яс)ма. Д;(я э~о~о «1юо61тазу(м вы1?атк!)Ни(г (11.6) д:(ины Х(?() ломаной, вписанной в кривую А и (нвечающей произвольному разбиениго Т (егмента [о.)2]. Тгтк как функции ?р(2) и г])(1) имеют на стггмснте [ст, д] производные, то, в силу формулы Лагранжа.
?)2(2?) — (р(2?. )) = (р(т?)!л??з где х! ! < .г, < хг, ь?? = 2?— — 1, (, и ч~~(!!) — ?(2((, !) = ((?~(т,")Ь(,, где Х, ) < т, < !и ПодстаРлЯЯ найленные ВЕЦ)агкгниЯ дг(Я ()2(г?) ((2(2? !) и 'г(?(2?) г(г((? !) в правую часть выражения (11.6)? получим ?? г(?)=2,?(еаа( )-';г?г(;)а?е,. (ни) ?=! По условикг функции (р(!) и у?(!) имеют па сегменте [н,,э] непре12ывны(". Н1)ои(гв(гдные. Следовате:гьно, эти п12оизводнг)е ог1?ани- 378 прнложкния опркдклкнного ннткгрйлй гл.
11 чг.ны, н поэтому сбп1сствбет тако)) ЛХ, .)то для всех Ь из сг;гмг.нта (1>.Х)) сире>неллины неравенства )га'(1)( < ЛХ и (у>~(ь)) < ЛХ. Но тогдг н> 0к>ра>уты (11.11) вь)токае>. что гг О г г)гг) г У', М ~ Мт а ге = МЧ г > Ых = ггг г)З - ). г=1 г=.1 Тахнз) ОбраЗОМ, >ШОжсетВО (1(11)) ДЛИН ВПИСгпШЫХ В КрИЬуЮ Х ломаных, отвечающих всевозможным рв>биениям Т сегмента (о. (>)г огРаничено., т.
е. ьу>ивал, Л спРЯмлгиемш Обозначим через 1 длину этой кривой. Докажем. что длина 1 кривой Л может быть вьгппшена по формуле (11.10). Заметим, что правая часть формулы (11.11) похожа на ингегральнук> сумму в г)чг;) = х гге );) г Е' )ч)аг; )п.гг) --» ггсь г Фг «г- ггг")г)+~'')г), ма Х((в т;) отвг"гает разоиспик> Х 11>гмгента (гт„)>) и данн)>ыу выбору точек т, на частичных сетки'птах (гч 1. Х,;] этого разбиения. ,Х(окнах)ем, что для >г>обого положительного е > 0 можно указать такое б > О. ч)по пргг 1.'1 < б (г."г = шахта>) выполняется не1>с>нанси),вг> ~((б)) — Х~ < г,)2, (11.13) г г = Г ггг')г) г г")г) гг г х .
сумм (11.12). Иными словами. с)окажем. что при достаточно емслкихь разбигнл)ях Т сегменпга (ог(>) длиньг 1(1,;) ломаныхг аг>г>санных в кРив1>к> Х и г>п)вечак>иьих, отим Разбг)еьи)лмг как ргодно .мало отлпчгиотсл, от и>гтсг1юла Х, стоящего в правой части формулы (11.10). Отметим. во-пс'рвыхг гкго ))ю"))чч))ег"Ь*)-~7 ) й)ггг) ) г < (ф(т) ) — у (т,)! < ЛХ; — тч ), (31.14) ') Длгг полу гении неравенств (11.11) мы воспсстьзовались неравенством ! 1)а- "+ Р' — ь ау и Ьг>! < )Ьа -. Ь(, где а" = р" (т ). Ь*' = гр )г,*> и Ь = чг (т ) и неравенствохг )ьм(та) — гс'(т,)( < ЛХ, — т,.
Второе из этих неравенств очевидно, так как разность любых значений фупкпии пе больше разности ее точных граней. Докажеьг первое из указанных неравенств. Имеем мгР+ Ь*з -Ь гуа,'-'+ Ьз ~ь* — б(!ь* -~ б( ~ьа - ьи!ь*! ч- (ЬО >гбаа-ь оба ~>*!+(~( длина дхе и ксивой где лгг и тг точные гРани фУнкции У)'(1) на частичном сегменте (ги 1.1,].
В силу (11.11)г (11.12) и (11.14) справедливы неравенства Д1,) — 1(Ц.т))~ = и = К(~~"м) ЕФ")и)-ггйгг) ) ей")ц))иг г г —.1 и гК ))ггйИ))ЕЕ") ) — г'И"(И)гг--Фг"и'))ИИ) )Иг;г г=-1 < ~(ЫŠ— Н),)ЬЕН = Я вЂ” В, (11.15) ГДЕ Я И В ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ СУММЫ ФУНКЦИИ Уг'(1) ДЛЯ Раэг : « м .» .» ) .)1). Р г ек г г »«ц ~ р' )г.) Е Е' )г) г')г) интегрируемы на сегменте [о. )3] (это вытекает из непрерывности ПРОИЗВОДНЫХ гР'(1) И ф'(1) На СЕГМЕНтв (СЕ.
Р])г тО ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ иптегрируемости и из теоремы 10.1 (см. Ч 1 и Ч 3 гл. 10) вытекает. что для .побого е ) 0 можно укжгать такое д ) О, что при г"Е < б (ЕЛ = ПгаХ ЫЕ) ВЫПОЛНяЮтея НЕРИВЕНСтВа ]1(гг тг) — 1) < е))4 и Ь вЂ” и < е/4. (11.16) Поэтому при Ь < бг в силу (11.15) и (11.16)г справедливы неравенства ]1(1.;) — Е~ = !Е(Х;) — Ц1,„т,~ + 1~11г ТЕ) — Т! < !1(1,)— — 1(гггт1)] + )г'(гггт;) — 1~ < е/4+ е/4 = е/2. Таким образом. справедливость неравенства (11.13) доказана.
Докажем теперь, что среди всевозимооюных яожаньгхг длины 1(1;) хопгоРых УдовлствоРиот неРавенствУ (11.13)г имеюп)сЯ ломггегыеи д1тны кгипоРых отпинсиотсЯ огп длины 1 дУегг кРивой Х мент)ге чем на е(2. ТаК КаК 1 тОЧНаЯ ВЕРХНЯЯ ГРаПЬ МНОжЕСтВа (У(ги)) ДЛИН ломаных, вписанных в кривую 1 и отвечюопЕих весно гможным разбиениям сегмента (ог 11]. то найдется такое разбиение Т" этого сегмента, что длина Г(1,) соответствуюшей ломаной удовлетВОряет егеравенства.'1 0 < 1 — Г (11) < ее)2.
(11.17) Разгебьетг тепеРь кажлый иг частичных сегментов (ги 1,1,] РазОигя1ия Т на стО11ь ыелкиг) '1асти. '1тООы максималы1ая длие1а гл разбиения Т сегмента (сег,д]. полученного объединением указанных разоисний, была меныпе д, Ь < б. Очевидно, что длина 38() нри'!Оике1!ия ОИ1'еделеннОГО интеГРАл А Гг1 11 1(Х,) ломе)ной, спвечаюгнс'.Й !эвзбис)нию Т, удовлетво!)яет не)эввенству (11.13). Так квк вершины ломаной, огвечвютей разбишнсю Т*.
Иплякэтся тик!ко вс))!псинами ломвноЙ. Отвспсвсогис)Й разбиению Т. то в силу леммы этого параграфа, длина 1(Хэ) улор р, О<1 (Х)<1(Х)<1 . ув с у неравенства (11.17) выполняется неравенство О < 1 — 1(Х,) < е,(2. (11.18) И)в)к, мы дОкъъэьм!и, что с)эсэди ЛОманых. длины 1(Хс) кото)эых удовлетворяют неравенству (11.13), имеются ломаные, длины 1(Хэ) которых удовлетворяют неравенству (11.18).
Сопоставляя неравенства (11.13) и (11.18), получим следующее неравенство: ]1 — Т] < е. В с:илу ссроизвольнос:ти е оенюда вытекает, что! = Т. Теорема доказана. 3 а м е ч а и и е 1. Если 4уссъщии р(С) и О(!) имелот на сеэменапв ]ос д] вервниненяые ороивввдюле. гао кривая Е, овределлелюл уравнени ми (11.1), спрлмллема. В с:амом деле. в процесс:е догсазательства теоремы (11.1) мы установили, что при условии ограпичещюсти производных с]эункций,р(С) и иэ(С) „э.щвы ((С,) ломапых, вписанных в кривусо Е и отвечающих всевозъюжцым разбиениям Т сегмевта ]о.
В]. ограничены. 3 а м е ч а и и е 2. Фо!элсула, (11.1О) длл вы сислених длинъэ дуги справедлива, если ороизввдньсе Ээ'(С) и ср()) внределггсы и интеврирусллы на, сегменте ]о, 8]. В самом леле. из иптегрируемости этих производпых слелует их ограниченность и поэтому. в силу замечания 1, спрямляеъюсть кривой Е. Заънтим далее. что для вывода перавоцств (!1.14), (1!.15) и (11.16), а следовательно, и иеравепства (11.13),гостато*эссо лишь существования и иптегрируемости производных р (С) и ы (С), так как отскэда, согласно до!. с»* ..* ° '.» ..
*.Ф « °,ФРГ~етс Все остальные ращ:ужвеция такие же, как в в доказательстве теоремы 11.1. 3 в м е ч а н и е 3. Еелп нрссвссл, 1 яеляетея, г!къс)]ссксэм функцсссс у = ) (х). !смею!с!ес! На сегме)сте (а,(э] непре!)асс!)сунэ проссзаодную Х' (х), то к]псвал Е сп!зямляема п, длина 1 дуглс Х лсожет бисти найдена по (]]о)эллуле а 1 = 1+ (сэ(х) дх. (11.19) а Для доказательства заметим, что график рассматриваемой функ)(ии представляет собой криву!о, определяемую парвметрическиънл уравнениями х = — Х, у =- Т(Х), а < Х < (э и )сри этом, очевидно.
выполнены все условия те;орсмы 11.1. Поэтому, полагая в формуле (11.10) ~ср(Х) = Х, сг(Х) = !'(Х) и заменяя персменнук) интстрирования Х на х, мы получим формулу (11.19). Отметим длинл дтги кривой такьк., что 1)гли кривая 1 оцредезя1тгся нолярнызг уравнением г = г(0), 01 < О < 02 и функция г(0) имеет на сегменте [01,02» непрерывную производную, то кривая Т снрямляема и длина 1 дуги 1, мо)к1)т 61,)тг найдена по фора)у.»1 ат 1 = г2(0) + г)2(О)дО. (11.20) о) Д:1я дока)агельства ВОС»ольз)'емся й)Ормулами 1»)рехОда От »О- лярных координат к декартовым х =- г(О) соаО.
й = г(0) вшО. Таким сора)ом, мы видим, что кривая А Определяется наракютрическими уравнениями. причем функции 1о = г(0) совО и ))) = = г(0) вшО удовлетворяют уг»)вияк) теоремы 11.1. Подставляя в (11.10) уют)Явные значения 1)) и 1)). мы получим формулу (11.26). Сформулируем достаточные условия спрямляемости пространственной кривой. Если 1[)йнкции р(1), г[)(1) а у(1) имеют на сегменте [омй» иепрерыоные производные, то кривая Т. определяемая, йро,имениями (11.5). спрямллема и длина! ее дуги меже)п О)ь)гпь найдена по фо))ллуле <Н,. (11.21) Доказательство аналогично доказательству теоремы 11.1.
3 а м е ч а и и е 4. Если функции Й(1), )Ь(1) и 1 (1) имеют ограниченные па гегмепте [о, О) производные. то кривая А, определяемая уравнениями (11.5). спрямляема. Если )три атом произво,)пые указанных функций ивтегрируемы па сегмепте [и. 3). то длина 1 луги кривой б может быть вычиглепа по формуле (11.21) (см. замечапия 1 и 2). 6. Дифференциал дуги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
