В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 76
Текст из файла (страница 76)
н наобор<>т. Указанная формула называется >рормулой замены перел>еннг>й под знаком огсределенн»го пнтег1х>ла. Рассмотрим некотору>о первообразну>о Ф(х) функции 1'(х). По формуле (10.18) ихик;м (10.21) >" (.'>:) дх' = ф(>> ) — Ф(а). > > з > Так как функции Ф(х) и х = 8 (1) дифференцируемы на соответствующих сегментах, то >ложная функция Ф(8 (1)) дифференцируема на сегменте [о, Д. Поэтому, применяя правило дифференцирования сложной ([>ункции, 1н>лу >их> -"Ф(8(1)) = Ф'( (1))8з(1)., (10.22) причем производная Ф' вычисляется по аргументу х: Ф'(я(1)) = = — Ф'(х), где э> = й(1).
Поскольку Ф'(х) = )'(х), то при х = 8(1) получим Ф'( (1)) = 1(8 (1)), Подставляя это значение Ф'(й (1)) в правую часть равенства (10.22). получим — „,Ф(8 (Я =- Пй(1))8'(1). Слетоватечьно, функция Ф(8(1)), определенная и непрерывная на. сегменте [о, Д, является на этом ссгхп.пте первообразпой для функции >(„(1))8'(1), и поэтому, согласно формуле (10.18), у 1(8(1)М(1) д1 = Ф(8(Р)) — Ф(8( )). о иь щиствовянии пв1 вооивазног1 357 Так как е (13) =- б, а ф(о) =. а„то У(а(2))а'(1) дЬ = Ф(6) — Ф(сс).
Сравнивая последнюю формулу с формулой (10.21) с мы убежда- емся в справедливости формулы (10.20). 72х П р и м е р ы. 1) Рассмотрим интегра,л 1пх —. Положим х = е'. Так как Ь = 0 при х = 1„1 = 1п2 при х = 2, то 1сс 2 Р 72 1п2 1пх — = / Ьду =- — =- — 11722. :с. I 2 в 2 2) Рассмотрим интеграл вшхссх — ". Пусть х = Ь . Тогда дх сх к7,74 х = п2/4 при 1 = п,72, х = пг при Ь = и.
Поэтому сс 7 1 вшхссх —" = 2 / вшЬЙ = — 2сов1~„= 2. дх /' , гус ссс'2 4. Формула интегрирования по частям. Пусть функцпи и(х) и п(х) нмеюсп, непрерсссеньсе тсроизводные на сеглсенте (а, б). Тогда имеет лсеспсо ссяес)сусосссая формула пнпсег177сросссссссся по "састялс для определенссых пнтегрояосс Ь Ь ь ь с ь с э с и(с)о'(х) дх = сссс(ссс)77(х))!~', — 71(х)71,'(ссс) дх. (10.23) л л Так как 777(сг) сух = до и и'(х) дх = ди, то эту формулу яаписывают еще следующим образом: Ь ь с к д =( П,',— (10.24) а а В справедливости этих формул убедиться нетрудно. ДсйствительнО., функспхя 77(Г)п(х) яВлясгтся псг17ВООО1)аэнос! для с))уыкцни ош кдкдкнный интк! ! ял 358 гд.
!о и(х)и'(г) + и(х)и'(х). Поэтому, в силу (10.19): ! с (и(х)и'(и) + и(х)и'(х)) дх = (и(х)п(х)) ! '. х Отслода, исполыуя свойство 3' определенных интегралов (см. 8 5), мы и получим формулы (10.23) и (10.24), П р и м е р ы. 1) !пхдх = х1пх( — / х — (х1пх — х1( = 21п2 — 1, ! .. ! ! ! 2 г 2) хек дт, =- хег, ( ехдх = е" (х — 1) = ег, / ! ! ! ! хдх 3) а!'сийг,дх = !г,атаках — / о / !Ьхг = ~хасс!йх — — 1п(1+х )1 = — — 1пЛ. 2 ! о 4 5. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме. Применим формулу (10.23) для вывода формулы Тейлора функ!!ии 1(х) с остаточным членол! в интегральной форме. Пусть функция !(х) имеет в некоторой е-окрестности точки а непре1>ывную !0)оизводную (н + 1)-го гк!рядка> и пусгь х — любая данная точка из этой г-окрестности.
Убедихгся, что и!ело Д„» = ! |( г!)(1)( — 1) д1- (10. 25) является остаточным членом формулы Тейлора для функции !' (х) с пентром разложения в точке и. Таким обр!гом, формул!! (10.25) дает представление оспгаточнога члена формулы Тей.лора длл функ!!ии !(х) в интегральной форме. Для доказательства зг!хи!там, .что 1(х) = Т(а) + ! (1)д!. К интегралу | |'(1) дк применим формулу (10.23) интегрироваа ния по частям, полагая и(1) = |и(1) и п(1) = — (х — 1) (так как х е ущнствовянин ниввооьч изной фиксировано, то е'сп = М). Имеем .=.
1~(о,)(х — а) + 1~~(г)(х — Р) й1. Подставляя найденное выражение для ) 1ч(г) <й в приведенную О вылов форм;лу для 1(х), получим Х(х) =- И ) + Х'(о)( — о) + ХлЯ(х — 1) 11 и К интегр глу ( 1 "(1)(х — 1) Ж также можно применить формулу й интегрирования по частям, полагая и(г) = 1 (г) и п(г) = — — (х— а — 8)~ (так как х фиксировано, то г'й = (:г — 1) гй).
После несложных преобразований найдем ~ (1)(х 1)Ф вЂ” (. и) + — ~ )(~)(х 1) а, и и поэтому ! ~(х) =~(а)+~(,')(х-а)+ ()(х-а)'+ ' ~®(1)(х ~)зй.. Дальнейшее интегрирование по частям будем производить до тек пор. пока пе придем к формвле П 1(х) = 1(а) + —,(х — а) + ', (х — и) +... + У (4 (, )е + ~ / у(п ьП(~)(х ~)п<ц п! и! / Эта формула показывает, что Й„з.~(х) действительно является остаточным членом формулы Тейлора для функции )(х) с центром разложения в точке а (см.
~ 13 гл. 8). Используя интегральнунэ форму (10.25) остаточного члена формулы Тейлора, ош еделенный интег1 Ал ГЛ. 10 легко ~голу гита остаточныЙ 1лен фо)эмблы 'Тей,ло)эа в фо))ме Ла- гран'ка. Именно по обобщенной форме (10.15) формулы ср1дне- го значения г|олз чим у'" н(О Лнл (х) =- —, Т(а г)(б)(х — 1)пж = У, (ь) (:; — 1)"г)1 = и и у'+ию( — )" ' '' уо'+"а и! (и -1- 1) а (и Ч- Ц! Получегпще выражение и представляет собой остаточный член в форме Лагранжа ') (съем. формулу (8.46) из Ц 14 гл.
8). ДОПОЛНЕНИЕ 1 НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ Св'ММ И ИНТЕГРАЛОВ 1. Вывод одного предварительного неравенства. Пусть А и В любыс неотрицательные числа, а р и р' любые два числа, оба прсвосхо- 1 1 дящие единицу и связанные соотношением — + —, = 1 (такие числа будем Р Р называть сопрлохпп~ыми). Тогда Аг Вг АВ < — -~- —, Р Р (10.26) ,лй х — — < —.
Р Р' Положив в по<лепном неравенстве х = Я"В" е) и умножив обе части этого неравенства на В", получим неравенство (10.26). ) Отметим, что при указанном выводе остаточного члена в форме Лагранжа на производную (и Е 1)-го порядка накладываются несколько большие ограничения. чем в Э 14 гл. 8. Однако, е< чи использовать доказанную в конце гл. 9 теорему Дарбу (о прохождении производной через все промежуточные значения), то получим остато сный ыен в фарго Лагранжа лишь при условии существования и интегрнруемости 10' ' 1(х). е~ ) Здесь мы считаем, что В > О, ибо при В = 0 справедливость неравенства (10.26) не вызывает сомнений. Найдем максимальное значение фушгции 1 (х) = х — х/р на полупрямой х > О. Поскольку ('(х) = — (х '"' — 1)= — (х 2" — 1), го ~'(х) > 0 при р О < х < 1 и 1'(х) < 0 при х > 1.
Поэтому функпня имеет максимум в точке 1 1 х = 1, причем ее максимальное значение ((1) = 1 — — = —,. Итак, для всех Р Р х>0 361 ДОПОЛВКНИ)г) 2. Неравенство Гельдера ') дли сумм. Пусть ос, ию..., а„и Ьг, Ьг,,б„— какие угодно неотрицательные числа. а р и р' имеют тот же слгысл, что и выше. Тогда справедливо следующее неравенство: ,Ь( ~ а", )10.27) которое называется нсракенсгаеом Гсльдера длл срым. Докажем сначала, что ес си Ас, Аг,...., А„; Вг, Вг,..., В„- какие угодно неотрицательные чис ш, удовлетворяющие неравснстваз| )10.28) толля этих чисел справедчиво неравенство А В, < 1.
=1 )10.29) В самом деле, записывая для всех пар чисел А, и В, неравенства )10.26) и суммируя зти неравенства по всем с,' от 1 до п„получим Тем самыъс неравенство )10.29) доказано. Положим теперь ( 1. [~ а",1 [22 Ьг ~ Из пос гсднего неравенства вытекает неравенство Гельдера 110.27). В а м с ч а и и е. В частном с сучае р = р' = 2 неравенство Гель;сера переходит в следусощее неравенство: аЬ< ~ а' ,=л =. 1 ,.— л )10.30) ' ) Гальдер ) 1859 -1937) — немецкий математик. г) 11ы считаем, что хотя бы одно из чисел а, и хотя бы одно из чисел Ь„ отличны ог нуля, ибо в противном случае формула )10.27) доказательсгва не требует. Легко видеть.
что числа А, и В, удовлетворяют неравенствам )10.28), а поэтому для этих чисел оправе,шива неравенство )10.29), которое в данном сл)"'сае можно зюгисать так: ОШ ВДВПБВВЫВ ИнтВГ1 йл Гтб 10 Неравенсэио (10.30) называется >»»ран»лютне»> Буняк»неко»о ') длл сумм. 3. Неравенство Минковского э) для сумм.
Пусть а>, а>,..., а„: Ьы Ь>,..., ܄— какие у> одно неотрицательные числа, а число р > 1. Тогда справедливо щ>едующее неравенство: ~ (щ-г(л)" < ~ ", -е 2 Ь", (10.31) пгщываемое иероненситом Ми>»конско»»> длл сул»м. Прежде всего преобра- зуем сумму, стоящую в левой части (10.31). Можно записать (а, + Ь )" = ~ а,(а, + Ь )" 4- ~ Ь (а„ + Ь )» »=1 1( калсдой из сумм, стоящих в правой части, применим неравенство р — 1 Гельдера. При этом, так как (р — 1)р' =-.
р и —, =- —, получим р р ,п»р „ з П»' С (а, + Ь,)" < ~ а, ~ ( , -р Ь,)1 ,=1 >/» > г»' э- » ь" ~ ( +ь)"-'"' а," + 2 Ь", 2 (а, -у Ь,)" 1" Поделив обе >асти последнего неравенства на ~ ~ (а, + Ь,)"~, получим , =-1 неравенство Минковского (10.31). 4. Интегрируемость произвольной положительной степени модуля интегрируемой функции. Докажем щюдующую теорему. Теорелэа 10.7. Если ф>дикция 1(х) итлеерируел>а иа сеежентс [а.Ь), то и фу>»кцил [~(х)[', »де г —. л>обо>с т»ало»интел»ион ненйа>тамп»ос "пило, тококс иитсерирус>ма на ссементе [а, Ь) До к аз а т ель с т в о. Достаточно доказать теорему для случая г < 1, ибо если г > 1, то функцию [)>(х) [" можно представить в виде произведения [У(х)[~" ~[У(х)[" ~ "1, где И целая часты, а г — [г[ < 1.
В силу замочания 2 и. 1 8 6 функция [1"(х)[ интегрируема на сегменте [а, Ь[, а поэтому, в силу свойства 3' 8 5, функция [1'(х)[09 интсгрируема на этом сегменте. Но тогда, в силу того >ке свойства и ннтегрируемости функции [1(х)[* р~, функция [г(х)[' также интегрируема на сеть>енте [а. Ь).
Итак, докажем теорему для случая г < 1. Положим г = 1>р и заметим, что р > 1. Так как функция [1(х)[ интегрируема на сегменте [а,Ь), то дчя любого с > 0 найле>ся такое ) Виктор Яковлевич Буняковский (1804- 1889) - . русский математик. ') Герман Минковский (1864 — 1909) — немецкий ма>ематик н физик. ДОПОХ1НЕН11Е 1 разбиение Т этого сеглсента, для которого (Мс — т,)сЛх, < ее(Ь вЂ” а)С (10.32) .-3 Здесь через ЛХ, и сп, обозначены точные грани функции (Х(х)~ на частичном сегменте (х, с, х,). Достаточно доказат~, что сумма л — в = ~ (ЛХнг — гссз С")сЛха (10.33) меньше а Оценим эту суьсссу с помощью неравенства Гельдера (10.27), полагая в нем а, = (ЛХ ~" — сп Сз)( Ъх) С", Ь, = (Лх) с' . Получим (10.34) Доказан теперь,что (М, '' — пзн")' < (М, — т„). (10.35) Последнее неравенство посредством деления на ЛХ, ) сприводится к слесс дующему: В справедливости последнего неравенства легко убедиться, учитывая,что т, 0 « — ' 1, а р ) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
