В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Пугть теперь з' и хо — .,побью точки сегмента [а, Ь], удовлетворяю>иве условию ]хл — хг[ < б, и з' . центр того интервала (х — б'/2, х+б'772). Ь < б'/2, системы Б, который покрывает точку х'. Так как ]т' — т[ < б'/2 < б' и ]то — х[ < а'. то ]1(х') — 1(х)[ < е>72 и [1(хо) — 1(х)[ < е>72 и поэтап> [1(х ) — 1(з> )] < [1(х ) — 1(х)] ж [1(х ) — 1(х)[ < е12-Ь е>72 = е. Итак. для любого заданного ' > О мы указали такое б > О, что для .пооых точек х и х сегмента [а, Ь], тдовлстворяющих условию ]х — х [ < б.
выполпястгя неравенство [1(зз~) — 1(х~)[ < е. следовагельпо, л]>унял>ия !(х) равномерно непрерывна па сегменте [а. Ь]. Теорема доказана. 3. Интегрируемость непрерывных функций. Докажем сзгезсуюгг(ую ос>>гон>луиз теорему. Теорема 10.Я Нсзгз)ИЬ>ьле>гсля на сеглге>гзас [а, Ь] с[>углтсцнл, 1" (х) тлнлегрнрг)сма ни зудом сегме>л>7>е. Д о к а з а т е .л ь с т в о. Пусть дано любое е > О.
В силу равномерной непрерывности функции ) (х) на сегменте [о,. Ь] для положите.льного числа е>7(Ь вЂ” а) можно указать такое б > О. что при разбиении Т сегмента [и, 6] нз частичные сегменты [х; 1. х,] 7 д>пины ллхг которых меныпе б, колебание а>,; функции 1'[х) на к>нссдом такО~ >асти >ном сс>гмс;нтс; ббдут мснг.пн> е,л(Ь вЂ” 77) (см. следствие нз теоремы 10.2). Поэтому д„-пл таких разбиений Т и и я — з =- >> О> Ьсе < э> Ьх =- г — 7 г — г с17>едовзтельно. ддя нлэпрсгрывнОЙ нз сл>Гьп'.нтс', [а, Ь] функции 7" (х) Выпол>н>>гы достзто пгые услоВия иггтсзгрируеьгости. ) Слг.
замечание в прсдылущем пункте. >) Мы берем интервалы (х — б'/2, х -7- б'/2) в>исто (х — а', х -7- 6') „тля удобства дальнсшннх рассу>кдспий. оппкдклкнный ннткгглл ГД. |О 4. Интегрируемость некоторых разрывных функций. Л)ы будем н>варить, что точка х покрыта интервалом, если эта тон~а принад,к>жит ука>апному интс>рвал>л Дока?к|>м с|еду|О- п|ую теорему. Теорема 10.4. Если ЕХ>ее>еке!ил Х(х) опрвделепи и огра>еи есина. па сегменте [а,(>) и вс?е|е длч л>обс>го полоэеситслыи>го числа в ма|испо уха>ив|>в канев"о|ос число и>нпсрввлов, покръевию|целх все то"екее риэръеви этой ЕХ>у>еьтеии и имеющих общук> сумму длин мс>анис в. то Х(ес) иптегрирусми >еи стггмее>енес [и, Е>).
Доказательство. Пустьда>солюбоег>О.Покроем точки разрыва функции Х(х) конечным числом интервь'юв, Е сумма дл|ш которых мс>пьшс> . Гдсг ЛХ и гп, "|очньн> 2( >ЕХ вЂ” >и) верхняя и нилсняя грани ! (и) на сегмсгнтс'. [и,, (>) (со|уний ЛХ = уп можно исключить, гак как тогда Х(х ) = с = сопя!). Точки сегмента, не принадлежащие указанным интервалам, образуют множество„состоящее из конечного |псла непересекакнцихся сегментОв.
На ка?кдом из них функция Х (.'с) непрерывн?е и |юэ'Гому равномерно непрерывна. Разобьем каждый такой се|а|опт так„ чтооы кодс>бани|. и» функции Х(х) на лк>бом |астичном сх>гм|>нте разбиения было меныне . Объединяя эти разбиения и 2(Ъ вЂ” а) интервалы, покрыва|ощис точки разрыва фу|пи|ни Х(х), мы получим разбиение Т всего сегмента [а, Л]. Для этого разбиения слагаемые суммы Л и>ЕЛх, (равной Š— г) разделяк>тся на две >,=1 группы ~ и>1>ле:> и 2 и>>е.|х„п)?и*>с>м в первую гру|шу входят все слагаемые, отвечакнцие |астям разбиения Т, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а во втору|о ОетаЛЬНЫЕ СЛа|.аЕМЫЕ.
ТаК Ках КОЛЕОаиия и>, = ЛХ> — та ддя СЛагаемых первой группы удовлетворяют неравенству ыс < ЛХ вЂ” та ТО а>,ХЛх> < (ЛХ вЂ” |и) ~> елхе < (ЛХ вЂ” пе) Для слагаемых второй группы иу < . Поэтому 2(Е> — а) Таким образом, в > и Š— в = ~~ и>,е)Рх, = 2 и>,е.'>х>+ ~ ~и>,,е.'Рх, < в. Итак., для указанной в условии теореыы функции ((ее>) выполнены досгато*|ньн: >славия интс.г)?~>у|>ъ>ости.
'Гс;ерема доказана. никоторыи классы интиг1 ирримых ехнкций 343 Следстпвие. Огрсл!сс!чссинсля нс| ссглин!Н|с [а„Ь] функция ) (сс), имси>сцая лилии коне !Нос "гасло ни>чек разръюас ин!пегрир уел|а иа э!пол| ссг,л!ентс ). В час!|Нюс!пи„ кус:о !но непрерывная иа данном сегменте функция инп!егрируема па;ппо и с>сг.лссите. 3 а ы е ч а н и е. Очевидно, я|О ск|ли функция ! (:с) нпте|рируема на сегменте [а, Ь], а функция 3(х) отличается от функции 1(х) лип!ь в кон!, |ноы |ис!и! точек. ТО флнкция я(с) так ксл интегрнруема на сегменте [а, Ь]с причем [ 1(х) д:11 = ) сг(х) с1х. 11сссв101 ! 11111111[! !1 1 1!1!|В1Н 1 1!1!1! !1 ! ! ! 1111!В! И ! 1!1!1 В| Н 1 1!1!1В1Н 1 !111111!И 1 1!1!а!|н 1 1111!В!и 1 1111!В!и ! 1!1!1! !1 ! ! ! Н |в| 1!1!11 !1 ! ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,1,1! Х1 Н '1 1!1А4, 1 1!1!1В|" 1 1!1!11!1Н 1 ~11!1!11! ! 1!1!11 !1 ! ! 1 1!1!1 в| н ! 1!1!|в1н ! 1!1!1! !1 ! ! ! 1!1!1! !1 ! ! 1 М'"1Н| О||и 1 1!1!и !1 ! ! л л 11 413 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 хо 4 / 1 1 1 на полусегментах [ —,.
], и = 1. 2, (Ои 2и — 11' 1 1 1 Х(:с) = — 1 на полуссгментах ( . — ]. и = 1,2, (,2п, 4 2 251] в тс>чкс! х = О. Указ|1|плат! функция иьн|с!т разрывы 1-го ро;|а во ках хв = 1/и, и = 2,3,... Фиксируем любое е > О. Покроем точку:с = 0 (в любой окрестности чтой точки находится бесконе зное число точек разрыва функции) интервалом ( — е214, ес|4).
В51е з гого !Нггервала находите|| с|и|ив коне |нос; !Нсло р -| точек разрыва функции, каж,чую из которых мы по- Е кроем интервалом длины ьп!ньше —. Сумыа длин интервалов., 2р покрывающих все точки разрыва рассматриваемой функции, л!1|н! Нн|:+1> — ' = е. Следоьатсльнс>, функция 1"(х) интсзгрир1|зьо| 2 2р на сегменте [О, 1]. 1> ) Если р — ч|к"ю точек разрыва. то достаточно иокрь|ть каждую точку разрыва иитсрвазом длинь| ссс2р.
) Это число р зависит, коне шо. от с. Рассмотрим |ц>имер ннтсприруемой функции, имеклпей бесконс"нюе число то |ек разрыва. Пусть на сегменте [0.1] задана функция 2" (х) (рис. 10.4) ош кдклкниый внтк! реа(! гл. го 5. Интегрируемость монотонных ограниченных функций. Теорема 10.о. Миног!(аннан на сегменте [а, 6] фунггц((я 1(х) ингг(егр((рдема на нтггм сегменте ). ,(( До к азат((л ьс ! во. Ра((и Ощ>ед((л((нностп дока!к((м т((ор(!— му для неубывающей на сегменте [а, Ь] функции ! (х).
Зададимся щ)оизвольпым полОэкит(и(ьным '(!плох! е и )еазооы(х! О(.'Гъ(епт е [а, Ь] на равные части, длины которых меныпе (слу- Х(Ь) — Х((0 чай у (о) = ( (6) можно псклк>читгн так как тогда ! (х) = сопя)). Оценим для этого разбиения разность Я вЂ” и = 2 и((("гх(. Имеем ( — -! и о ~ ' "'1(Ь)-И)~"' Но для неубывающей функции 2 ы, = ("(6) — )'(а), поэтому и-. ! Я вЂ” н < е.
Теорема доказана. й 5. Основные свойства определенного интеграла Докажем справедливость следующих свойств определенного инт(уграла; 1'. Мы оудем считать, что Г а у" (х) дх = О. (10.6) Отметим, что формула (10.6) д(м(жна рассматриваться как соглщпенпе. Ее нужно рассматривать как естественное распространение понятия определенного интеграла на сегмент нулевой длины. 2'.
Мь! будем счптат(ч что прп о, < Ь г г ) (х) (!х = — ) (х) дх. (10.7) Ь е Эта формула также должна рассматриваться как соглашение. Она представляет собой естественное обобщение понятия интеграла на случай, когда сегмент [а, 6) прн а < Ь пробегается ') Отметим, что если функция монотонна на сегменте ]а, Ь], то ее значения эаклю"(ены межлу У(а) и Ь(Ь ). Поэтому определенная на сегменте [и, Ь] монотонная функция ограничена на этом сегменте. ! б ОСНОВНЫЕ СВОВСТВа ОНРЕДЕ;1ЕННО!'О ВНТЕГ1гйла 345 в направлении от Ь к а (в этом случае в и!гт<яральной сумме все разности г)гхг = х, — х, ! имеют отрицательный знак).
3'. Пусть функции ! (х) и 8(х) интегрнруемы на <сгменте [очЬ[. Тогда функции 1(х) +8(х). у(г) — 8(х) и 1(х) ои(<г) также интегрпрусмы на этом сегменте, причем ь ь <г Г [1(х) ~ и(х)) 4х = ('(х) дх ~ и(х) <(х. (10.8) Докажем сначала ннтегрируемость функции / (х) 3: в (х) н справедливость формулы (10.8). При ли!бом разбиении сегмента [а, Ь[ и любом выборе точек (, для интегральных сумм справедливо соотношение п и и [Х(~<) ~йф))<1х< = ~ ~ф)Ьхг ~ ~ 8ф)1-'гх<г г=! г=! г=1 а поэтому из существования предела правой части следует существовани<1 и!геделя левой части. Сл<эдовательно, фугнкция !'(х) ж ж 8 (х) ннтегрнруема и имеет место формула (10.8).
Докажем теперь. что н1э<эизведени< интегрируемых функций является интегрируемой функци<эй. Так как функции !'(х) н 8 (х) инт<'.три!<уев!ы на сегьп нт<'. [а, Ь1, то они н от!гани н ны на этом сегменте (см. утверждение и. 1 ~ 1), так что [1'(х)[ < А и [и(х)[ < В. 1эассмотрим любое заданное разбиение Т сегмента [ач Ь[. Пусть х' и хв произвольные точки частичного сегмента [х; <,х<). Имеем тожде<гт'во й я)8(хи) — Пх')а(х') = = [1 (х ) — !г(<г ))а (х ) + [8 (х ) — о (х )1!г(<г ), Так как [Х(хв)И ( '") — Х(х')8М)[ <».г У(хи) — У(хр)[ < ыг, [8(') — 8(х')[< <, где оэ„аг, оэг -- соответственно колебания функций у"(х) я(х), 1(<г)г е (х) на сегменте [х, <,.г;[, то, согласно указанному тожде- ству )г оэг < 1М+Аоэ; Поэтомуг ог,;11<к; < В'~ оэ;Ьх<+ А <э аг;11,хь г — -! ) В этом тождестве гочки .г' и х" можно выбрать такг что левая часть будет как угодно мало отличаться от <э,.
ош кдклкнный интип лл гл. )о Пос:кольку с (сс)) и ~~ (т) интс)грщ)уеасы на сегап нтс! [а, Ь]. Для лн)- бого заданного е > О можно указать тако) разбиение Т этого в и С)С)та)С)ит)т., Чта 2; а))2)ХС < — ' П 2; а)СС.'6ХС <:. СЛЕдеаатЕЛЬИО, в;) 1 -с для этого разбис.ния Я вЂ” а = ~~а),с".)х, < В=+ А — = е. 2В 2А ~=1 Поэтохсу произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией. 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
