В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Если кривая Х спрям.ляема, пгс> дл?гна 7 ее дуги не зависит от п?17>аме?п7>?лзгл?1?л?л пиит" ?,роост. 2'. Если спрямляемая хрээлия Л разбэипа ?17>?л ?лл>мо!л!?э. кг>печногоо 'шсло, тючхк ЛХв, ЛХ1, .... ЛХв2) на коне:чное алело кри,— вых Хч, ?по касясдая ?иэ;этллх ьривью Хо спрямляема и суллма дллэ;н, 7,, всех кривыс Х? рлита дли,не 7 кри?эо?3 Х 3'. Пусть кривая Х, зглдана парами?пр?гчесьчл ?17клвнен?лям?л (11.3), Обо;тач?ллл 7(Ь) дмпп1 дуги у!глотка Ал кривой А, точк?л которогв определя?огпся всеми значениями парил!стра из сегмен?>ыл, )лт, Ь]. Функц?ля 7(т) яалятпся возрастаю?йей и, непрерьтной функцией пауклллегп7>а 1, Эту функцию 7 = 7(1) будем называть переменноГл дугой на кривой Х. 4'.
Переменная дуга, 7 может бы?пь вьлбра?лв, в кочетпве. пара,мет7хл. Этот парики'тр называется ?ла?пяхлль?лылл глл?Хелмс?ц7>ом. Справедливость свойства 4' непосредственно вытекает из свойства 3'. В самом деле, так как переменная ;луга 1 = 1(1) является возраста?ошей и непрерывной функцией параметра 1, то и параметр 1 ью>кет быть представлен в виде монотонной и непрерывной функции 1 = Х(7) переменной дуги 7, и поэтому плц>лпюнная л>га 7 мо>кл.т оыть выбрана в качесэвл> п;П>аметра. Показательство свойств 1' 3'. 1'. Пусть имеются две параметризации кривой Е, а 1 и е параметры этих параметризаций, определенные соответственно па сегментах )о. Н) и )о. Ь). Так как 1 представляет собой строго мопотоццу>о и цепрорывпую фупкцию от е, а в — строго моцотоипую и непрерывную фуцкпию от Л, то каждоыу разбиению Т сегмента )с>.
Р) соответгтвует определенное разбиение Р сегмента )и. Ь) и паоборот. Очевидно. что вписанные в Е ломаные, отвечающие соответствующим ра >биениям ?егмептов )ц. 3) и )о. Ь). тождественны, и поэтому их длины Г б) и 1(з,) равны. Следовательно, множества (1(1,)) и (1(е,)) тождественны. Отск>да вьпекает, что длипа,луги кривой це .>ависил от >юрам»ризации мой кривой. 2'. Очевидно, свойство 2" дос таточка юказать для случая, когда кривая Е разбив точкой С ца две кривые Е> и Е . Обозпачим ! значение параметра 1, которому отвечает точка С. Тогча точки кривой 7.> соответствуют значениям параметра Л из сегмента [ц, !), а точки кривой Е? соответствуют значениям параметра 1 из сегмеита (>,1)).
Пусть Т и Т произвольные разбиения указанных сегментов. а Т вЂ”. разбиение сегмента )с>. В). получен- 1> > Этот > еометрический факт легко может быть дока>а?э чисто аналитическим способом. ") При этом точки Ьуа. 7г|э, ...ЛХ„соответствуют зпачепиям ?е,лэ, параметра ?, удовлетворщощим условиям и — — Ле < Лэ « ... 1„= УЬ дпинй ду1 и кги1зой 375 и обьвдииением разбиений Тъ и Тг.
Если !ъ(1,), 1г(1,) и 1(1,) — длины ломаных. вписапиых в кривые 2 д. Тг и Л и отвечакъщих разбиениям Тп Тг и Т указанных выше сегментов, то очевидно 1ъ(1,) -> !г(1 ) = !(1.) (11. 7) Поскольку чигла Уг(1 ), 1 (1 ) и 1(1 ) положительны, то из равепг тва (11 7) и спрямляемости кривой ь сзедует, что хиюжества (!ъ(1)) и (!г(1)) длин вписанных в кривые Тп и бъ ломаных, отвечающих всевозможныы разбиениям ссгмептов ]и, у] и ]ч. 8], ограничены.
т. е. кривые бъ и Тг спрямляемы. Отметим, что из равенства (11.7) и из определения длипы,ъуги кривой следует, что длины 1н 1г и 1 яуг кривых Т м Ьз и Л удовлетворягот неравенству ) 11 + 12 (11.8) Предположим. сто 1~ -1-!г < 1. Тогда число 1 — (П+!г) = .
(11.9) положительно. Из определения длины 1 дъти кривой А вытекает, что для положительного числа в можно указать такое разбиение Т* сегмента ]съ. В]. что длина 1 (1,) ломаной, вписанной в кривую А и отвечающей этому ра и з биепию, удовлетворяет неравенству 1 — 1 (1,) < е. Добавим к разбиецикъТ го ъку ъ и обозначим получешъое разбиепие через Т. Тогда, в силу леымы этого параграфа, длила !(1,,) ломаной. отвечающей разбиению Т, удовлетворяет перавепству ! — !(1,) < г. Так как разбиение Т сегмегпа ]о, й] образовано обьедипецием некоторых разбиений Т~ и Тг сегмептов [о .,] и ] у. 8], то длины !ъ(1,) и !г(1,) поганых, отвечающих этим разбиениям, удовлетворяют соотношению (11.7). Поэтому с праведливо неравенство 1 — ]!ъ (1,) + 1г(1,)] < < е.
Так как 1д(1,) + 4(1,,) < 1ъ -Ь 4, то тем более справедливо пераве~ство 1 — (1~ -1-1г) < е. Е!о это ~еравеш:тво противоречит равенству (11.9). Поэтоъгу предположение, что !ъ -Ь !з < 1, веверпо, а следовательно, в силу (11.8). 1~ -~- !г = 1. Справсдзъивость свойства 2' усзаповлепа. 3'. Пз свойсз ва 2' и замечщшя 1 чтото пункта следуезь по перс..неннпя дуга! = 1(1) леляепия строго возростпюшей полозкительной дъункцией1 тшрамеъпрп. 1. Для доказатаъьства пспрсрывиости функции 1(1) восъюльзуемся птедующиъгъз угеерждепиями.' 1) Пусъпь = любое фиксироеаътое нолозюипгельное число. 1 . гъуъпизвольнпл точка сегмента ]и,, 8], о М вЂ” соопъветсзлвуюшпл то~ко кривой б. Сушестьует такал ломакоя, вписанная е кривую Л.
наторел имеет, ълоъку М своей веригиной и длине коъаорпй отличавшем пт длины кривой Т меньиъе и:.н на е/2. 2) Указанная ломаная люсзсет бить внбрпнп, июк, ппо длина кплюдого ее звена будега ментис е,12. 3) Пусть ломания выбрано. ток. кок указано в упнюрзсдекилх 1) и 2). Тогдп часть крапе!! Т. сзпягиваемая любьм звеном, рассъмптриваемой ломаной, имешп длину меньше г. Убъедиъзся, что из сформулированных утверждений и мопотопиости функции 1(1) вытекает ее пепрерывпость в любой фиксированной точке 1 ') Из равенства (11.7) вытекает, что для любых разбиений Т) и Т. сегмеитое ]о,-1] и ]9. д] справедливо неравенство !ъ(1 ) +1г(1 ) < 1.
Отсюда и из определения точной верхней грани получим неравенство (11.8). 376 Н!»!!1!ОЖЕНИ!! ОН1'ЕДЕЛЕ11НОГО ИНТЕГРАЛ А Г21 ! ! этого сегмента (в точках о и 3 функция 1(1) непрерывна соотвегстве»шо справа и слева). 11ам нужно доказать, что для люГ>ого в > О можно указать такое д > О. что цри (»л»( < Л выполцяетгя перавонство (1(1-1- »х1) — 1(1)( < в. Рассмотрим то разбиение Т сегмента [и. 3(, которому отвечает ломаная, обладающая перечне»еппыми в утверждениях 1) и 2) гвойствами. Обозначим через д минимальную из длин двух частичных сегментов [1»,,1»(.
[1»,1»ь»( разбиения Т. примыкающих к точке 1 = 1»„, сегмшпа [о. 3(. Пусть приращение .А1 аргумента удовлетворяет условию (л1( < Л. Ради определенности будем считать,что .А1 > О. Так как 1 < 1-~-»31 < 1-1-д < 1»»».то в силу строгого возрастания функции 1(1) справедливы неравенства 1(1) < 1(1 Э- »31) < 1(! ~- б) < 1(1» т» ). В силь утверждения 3 справедливо неравенство 1(1 ) — 1(1) < =-. Отсюда н из предыдущих неравенств вытекает. что прн О < М < Л справедливо неравенство 1(1 -Е »Л1) — 1[1) < С.
Случай .х» < О расгматривается аналогично. Перейдем теперь к доказательству утверждений 1). 2) и 3). Д о к а з а т е л ь с г в о г т в е р ж д е п и я !). Пусть е — любое фиксированное положительное число. Гак как длина 1(3) всей кривой Ь. определяемой параметрическими уравнениями (1!.3).является точной верхней гранью длин вписанных в эцс кривую ломаных. отвечающих всевозможным разбиениям сегмента [о, 3(, то для дашюго е > О можно указать такое разбиение Т сегмента [о. 3(. лля которого длина соответствующей ломаной, вписанной в кривую То отличается от 1(3) меньше чем на -/2.
Добавим к разбиению Т*" точку 1. В силу леь»мы этого параграфа и определения длины дуги длина ломаной. отвечающей полученному разбиению Т* сегмента (о. 3(. отличается от 1(3) меньше чем па еХ2, и зта ломаная имеет своей верши»юй »очку ЛХ кривой, которая соответствует точке 1 сегмента [о, 3(. Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е п и я 2). Так как непрерывные ца сегменте [о, 3( функции ".(1) и м(1) равномерно непрерывны иа этом сегменте. то»ю заданному е > О можно указать такое д > О, ччо для любого разбиения Т ссгмепча [и, 3( с длипаыя части шых сегментов [1, целыми»»и д, выполняются неравенства (ьэ(1,) — Р(1, »)( < —, (с»[1,)— 2ул2 — е'.(1, »)( < —. Поскольку длина 1, звена ломаной.
отвечающей,»ацно2ь»2 му разбиению, равна [ьэ(1,) — у[1, »)(ч + [»Э(1,) — О(1, »)(ч. чо, о к»видно, 1, < е,»2. Расс:мотрим теперь любое фиксированное разбиение Т' сстмепта [о, 3] с длинами частичных сегментов, меньшими Л. и с»обавим к цену точки разбиения Т' (см, доказателы:тво утверхсдения !). В результате мы получим разбиение Т, которому отвечает ломаная. вписшшая в кривую Е и уловлетворяющая всем углов»»ям утверждения 2). Доказательство утверждения 3). Пугтьломаная ЛХоЛХ» ... ЛХ»»ЛХ»ЛХ з.»...
ЛХ„удовлетворяет условиям утверждений 1) и 2). Убедимся, что длина как»пой части кривой Хэ стягиваемой любым звеном расгматрнваемой ломаной, меньше е. В самом, теле, иуг:гь 1», длина »асти ЛХ», »ЛХ», ,кривой Е. а 1» длина звена ЛХ»»ЛХ» ломаной. Тогда, в длнпй дхти кривой 377 силу условий утверждения !), вынолняегся неравенство 2 (!а — )а) < -72.
?;=? Поскольку каждое слагаемое !е — 1а иос ге,нгей суммы цеотрицательно, то ()а — 1а) < с??2. Ото?ода и яз неравенства 1? < е??2 и вытекает требуемое неравенство й < е. Понятие длины дуги пространственной кривой, заданной пар!!к(етри нк)к!!к(и урггвненггггыи (11.5), вводится в по:гной аналогии с понятием длины дуги плоской к1)иной. Рассматриваются длины 1((() ломаных, вписанных в кривую Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
