В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 84
Текст из файла (страница 84)
2Ь е 1 — ег) 2*. Найдем плошаль Р поверхности, образованной вращением вокруг оси б).г, пиклоиды, определяемой параметрическими уравпе~иями х = а(!— — гйв !), у = а(1 — соэ !), 0 < ! < 2т. По формуле (11.35) имеем г=( ) э(((("'(( е((1(( =2 2 . )(~ —: е' 3 о 9 4. Некоторые физические приложения определенного интеграла 1. Масса и центр тяжести неоднородного стержня. Рассмотрим неоднородный стержень, расположенный на ссгмсн- 3 а м е ч а и и е 1.
Квадрирусмость повсрхпости врашеиия можно доказать при более слабых ус говиях. Достаточпо потребовать, чтобы фупкния 1'(х) была опрелелсва и интегрируема иа сегменте [о, Ь). Из это((: ( '( ((' (л(('г допол(щвие 1 к гл. 10).,'(альпейшие рассуждения пичем ие отличаются от рассуэкдепий, проведеппых при доказательстве утвсрждеиия этого пункта. 3 а м с ч а и и с 2. Если поверхность П получаетс» посредством вращения вокруг оси Оа кривой 1, определяемой парах» тричоскими уравяепиями х = ээ(!), у = б((1), а < 1 < !1, то осушсствля» замепу псремсппых под злаком опроделеппо(о интеграла в формуле (11.33), получим следу»в шое выражение для плошади Р этой поверхности 397 ДОПОЛИГЛ1ИЕ то по формуле (11.37) найдем приближенное выражение для ко- ОРДИНатЫ;1;с ЦЕНтРа тЯжсетн НЕОДНОРОДНОГО СтЕРЛСНЯ Е бр(б.)Ья.
ЛХ (11.38) Выражение, стоящее в числителе правой части соотногпения (11.38), представляет собой 1пгтегральнуго сумму для функции хр(х) на сегменте [11,11). В соответствии с проведенными расСУэклениЯми мы опРеДелим кооРДинатУ хс центРа тажести нео,1- породного стержня по формуле Х яр(х) 4х хс ь )' р(т) 4х (11.39) А = Г(х) 11х. (11 АО) , 1ОПОЛНЕНИЕ ПРИМЕР НЕКВАДРИРа'ЕМОЙ ФИГ"а'РЫ Е Будем называть нолуегвкрьнпмм ~ггрсраольннкем множество точек треугольника, из гранины ) которого удалены точки двух его сторон и двух ы вершин, прилегаюших к этим сторонам.
Рассмотрим построение кривой Г, которая будет частью гранины неквадрируемой фигуры сГ. Это построение производится путем посте.говательпых удалопий определенных полуоткрытых треугольников из некоторого данного равнобедренного прямоуго, ~ьного о ) Гранина троугольника — множество точек его сторон и вершин. 2. Работа переменной силы.
Пусть материальная точка перемещается из точки а осн Ох в точку Ь этой оси под действием силы г', паралле.льпой оси Ох. Будем считать, что зта сила является функцией от х. определенной на сегменте [а. Ь). Пусть Т разбиение сегмента [ае Ь| точкаьпл а =:го < х1 « ... ха =- =- Ь. Выберем на каж;1ом частичном сегменте [х, 1,.т,] точку С; н будем считать приближенным значением работы А переменной н силы Г(х) на сегменте [а,11) выРажение 2 Рф)Ьхг,ь СогласУ- г=1 ясь с этими п11едварителы1ь!а1и 1зассуждениями, мы оп1эеднлиы РаботУ А пейеменной силы Р''(х) на сегъ1енте [неЬ) как интегРал ь [ Ь'(гг) дх.
Таким образом, а ь 398 п1 1471сзукйния оп1 кд8711сииото иитйп йий Руб « треугольника Т, козорый для удобства да;и нейппих рассуждений мы обо- значим Т[0, Ц. Координаты вершин етого троугольника равны (О, 0)., (1, 1), (2, 0) (рис. 11.15). Опишем теперь пропесс последовате.нных удалений из треугольника Т[0, Ц опре,1елснных полуоткрытых трезто.зьников: (2,0) х (2,0) х (0,0) (0,0) Рис.
11.15 Рис. 11.16 (0,0) (О,О) 7[0,1/4] (2,0) х 1/8,1/4] Т]3/4,7/8] 7]7/8,Ц х Рнс. 11.18 Рис. 11.17 3. Из каждого указанного треугольника удаляется по одному треугольнику, сумма ла н.юща,гей которых равна 1/16. Полученная в розу„п,тате фигура изображена па рис. 11.18. Она состоит нз восьми треугольников: Т[0, 1/8], Т[1/8, 1/4], Т[1/4,, 3/8], Т[3/8. 1/2],, Т[1/2, 5/8], Т~[5/8.3/4]. Т[3/4, 7/8], Т[7/8, Ц, площади которых равны друг дрзч у. 4. Из каждого ука запного треугольника удаляется по одному треуго.
и— пику. сумма 5з плснпадей которых равна 1/32. Полученная в результате фи- 1. Удаляется полуоткрытый троугольпик, одна вершина которого имеет координаты (1, 1), а две дрзтие расположены на оси Ов. Площадь Я~ удаляекюго треугольника равна 1/4. Полученная в результате фигура изображена па рнс. ! 1.16. Она состопт из двух з рс1тольпиков Т[0, 1/2] и Т[1/2. Ц, площади которых равны друг пруту. 2. Из тре5тольников Т[0, 1/2] и Т[1/2, Ц удаляется но одному треугольнику, сумма ле площадей которых равна 1/8. Полученная в результате фигура изобрагкепа на рис. 11.17. Опа состоит из четырех треугольников: Т[О, 1/4], Т(1/4.
1/2]. Т[1/2,3/4], Т[3/4, Ц, площади которых равны друг Д1)УГУ. ПОПОГШКНИП гура изображена на риг. 11.19. Опа состоит из шесчкадцати треба ольггиков равной плошади. Каждый из этих троугольпиков мы обозначим символом Т~ — о ° —,]; 1э=о 1,15. Да.гьпейший процесс удаления требто.пинков очовидеа. Перейдем теперь у+ 11 к опрггэо;Гению кривой П Треугольники Т! —, ! Гр и и лнэбые !2'' 2 неотрицательные целые числа, у.товлет- Гэ < 2"). описанном выше процессе, обладают гле- )1 1) Г Р1 Рг + 11 дунпцим свойсч вам: пусть Т ! —... ] л л Г Рг Рг + 11 и Т ! †, ! два треугольника та- !2"г 2"г ! Р, рг Р,-Е 1 Р, + 1 ких, что — « — < 2"г 2"г 2"г Тогда второй из этих гречтольпиков со- гб 0) 12,0) х держится в первом.
Отметим также слсдугоише очевидпое свойство треугольпи- Гр у+11 ков Т! —, ): при п — э оо их диаметры ) стромятся к иулго. Пусть !2" ' 2" ! (~ .и Грг Рг Э 111 Т! —, ! г, Л, '=- 1,2....., . стягиаа1ощаяся система пйюуголыгакоо 2о (это означает, что треугольник, отвеча|оший индексу рм содержит треугольпик, отвечающий ипдексу й -1- 1, и при к -э оо диаметры треугольников стремятся к пулкэ). Каждая такая сгягивакэщаяся сислпсма треугольпикоо имешп роагш одпу общую гпо гку ). Рассмотрим всевсоможпые стягиванэщиеся системы указанных выше треугольников. Криауго Е мы определим как млголсщгпао 1М) есеьооэлэоэклгглг: то'нт, камсдал иг которые предстаоляелп собой общую гпочку ткоторой стягиоаюи сйся системы укаэагтыя р Э-11 омиш треугольпикоа Т! —, !2" 2" Отметим, что множеству )М) )кривой Ь) прихадгожат верппшы всех Г р Р~-11 гречко.гьников Т! —, — !.
Чтобы убедизи си в этом, .заметим, что вер- !2" ' 2" шина каждого такого треугочышка прггпадчежпг стягиванвцойся системе Г2ьр 2ьэч-1чч г Г2ь — 1 2э треугольников (Т[,, ]) гл счлстекге г Т!, " .Чтобы убедглться, что иосч роепное вами множество )ЛГ) яв.чается простой кривогч в смысле определения, лаппо1 о в п. 1 3 1 этап главы, мы должны доказать. Диаметром чреугольпика называется длипа его макгимачьпой стороны.
г) В гл. 3 Гсы. и. 2 3 3) мы доказа.ш, что счягиванппаяся система сегментов ихп ег ровно одну обпгую точку. Проецируя стягивающуюся систему треугошхиков иа оси Ох и Оу, мы Гэо.сгчим стягивающиеся системы сегментов па коордипатпых осях. Пусть х и у . соответственно общие точки указаипых стягивающихся систем сщ ментов па осях Ол и Оу. г1итатель его ко убедится, гго точка М с координатами я и 11 является единсч венной общей точкой рассматриваемой стягиванпцейся системы треугольников. 400 ПРИ!!ОЖЕНИ!! ОН!»ЕДЕХ!ЕНИОГО ИНТЕГРАЛ А ГУ1 11 что все точки мпожества ЛХ определянзтгя параметрическими уравнениями х = И[!), й = Ф[Г).
о < ! < Гз, где»л[Г) и ы[Х) — непрерывные функции ). Г Р' Р.-1-11 Рассмотрим сегмент [О, Ц оси Е Каждому сегменту [ —,, ~, где Р и [2 2- ! и —. любые неотрицательные целые числа. Р < 2", поставим в соответствие Г Р Р -1- ! 1 треугольник Т [ —, — ~ "). На рис. 11.20 изображены сегменты, которым отвечанзт треугольники Т [ —, — ~. Любая точка ! сегмента [О, Ц принадлежит всем сегментам ллекозх»рой стягивающейся системы ( [ —, ~ ) Г [2"» ' 2" » ссз ментов»з).
Поставиы в соответствие этой точке Х общунз точку ЛХ стчги- ГР» Р» Г!11 ванзшейся системы трсулолышков (Т[ —, ~). Таким обра'юм, каж- [2'» ' 2" ». дому зпачешлнз Г из сегмента [О, Ц стащлтся в соответствие два чиг за:г и й— коордипаты точки М. Сле- 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 ! довательпо, х и у являкзт»я функциями параметра Е Убедимся, что эти фупкпии Рис. 11.20 х = Р[Г) и у = нз[Х) непрерывны па согмевте [О, Ц. В самом деле, пусть я — лнзбое данное полол»ительпое число, ! — да»шая точка сегмента [О, Ц и ЛХ вЂ”. точка кривой Ь, определяемая этим значением Г Р» Р» + 11 параметра Х. Из стягивающейся системы (Т[ —., ) ) треугольников, "2"» ' 2'» определяющих точку Л|, выберем трелтолышк, диаметр которого меньше в, Г Р» Р» ! 11 и рассмотрим сегмент [ —, ~ ., козорь»й содержиэ точку Г, оллределянь [2"» ' 2"» щую ЛХ [а следовательно, л,' п у).
Все гочки кривой Е, определяемые значениями ! из этого сш ыеита, расположены в ука.зашюм вьппс трелто.зьпике, и поэтому их коордлплаты отличанпгя от координат точки ЛХ нс более чем иа е. Но это означает, что функции Р[Г) и О[!) пепрерывпы в указанной точке. 2. Перейдем к построению псквадрируемой фигуры Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
