В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 92
Текст из файла (страница 92)
1) Для доказательства теоремы 1 положим 7зг~ — — ц~ (7згя — — 1). Тогда из неравенства (13.25) получим Ру!ды О ПОлОукительными "1леийми (13.28)). л;ш которых действует признак Коши и пе действует признак Даламбера. Носк!от ря на зто, признак Даламбора на практике употробляотся чаше, чем признак Коши. П р и м с р ы. 1) Исследуем вопрос о сходнмостн ряда (13.29) й=! Применим признак Даламбера в предельной форме. Имеем рй = (%)' р... („%чТ)й" й! 1 ~ 1Тй12 '11+ / — й! рй — (й,,)! ( й.,л - й+1~ Б (13.30) На основании (13.30) й,Л2 1шл — = 1ш 1лл.+л 1 / 1 ( 1+- й-лос !» й-лх;%+Т 1, йl 1л йл2 = 1шл 1шл (1+ — ) = 0 хллс! — 0 ( 1л й — лес л/Й, +Т й — лес т.
е. ряд (13.29) сход!тлея. 2) Изучим вопрос о сходимостн ряда Š—," (13.31) й-= ! Применим признак Копш в предельной форме. Имеем йлй= 2 ~й (13.32) На основании (13.32) 1шл ллулй = — 1шл лл1л = — с 1 ). Таким л, 1 . лл- 1 лл — лх 2йчсс 2 образом, признак Коши устанавливает сходнмость ряда (13.31). 4. Интегральный признак Коши — Маклорена. Признаки Да:щмбера н Коши оказываются непригодными для выяснения вопроса о сходимости некоторых часто встречающихся рядов с по:южптельными ч,и!нами.
Так, например, с помощью этих признаков нельзя выяснить вопрос о сходнмостн обобщенного гармопнческого ряда (13.33) (сл — любое вещественное число). ') Д.пл вьлчистопия 1лш яо' слолует протогарифллллроватл выраккопис я йе и применить правило Ловителя, 440 ткогня чис ловых гядон гл. 1з зс «'(к) = «(т) + «'(т, + 1) + «(т+ 2) +... (13.34) И.=~а сходится в том и только в том случае, коееЭа сушеспвует пре- дел пуни п — ~ оо последовательности о ао = «(х) дх, ть (13.
35) Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть к — любон номер, удовлстворяюший ус;ювию Й > т+ 1, а:г, --. л1обос значение аргумента из сегмента й — 1 < х < в:. Так как по условию функция «(х) нс возрастаст на указанном сегменте, то для вссх х из указанного сегмента справедливы неравс истаа (13. 36) «(Эс) < «(х) < «(Э' — 1) Функция «(х), оудучи ограниченной и монотонной, интсгрнру- сма на сегменте Эс — 1 < т < Эс (см. и. 5 э' 4 гл. 10). Более того, из неравенств (13.36) и из свойства 3' (см. и. 1 ~ 6 гл. 10) вытекает. что или «(ь) < «(х) дх < «'(Э; — 1). (13.37) Неравенства (13.37) установлсшя нами для любого Эе > гп, + 1. Запишем эти неравенства для значений й = т ч-1.гп+2,....и, Правда, в конце и.
2 мы установили, что при о < 1 ряд (13.33) расходится, но остается открытым вопрос о сходимости этого ряда прн а > 1. В этом пункте мы установим сгцс один общий признак сходимости ряда с положительными членами, .из которого, в частности, будет вытекать сходнмость ряда (13.33) ирна>1. Теорема 1о. 7 (гаеорема Копли — Маклорена) . Пусть функция «(х) неотрицательна и пе возрастает вс~одЭЭ на ьиь лунрямоа .г, > им где т - любав фиксированнья, номер. Тогда числовой ряд гяды с ноложитильными члкнлми где н любой номер, превосходящий гас т+1 «'(н(, + 1) < «(х) дх < «(1п), гпн-2 «((а+2) < «(х)(1х < «(!г(,+1), т 1-1 «(и) < «'(х) дх < «(н — 1).
п — ! Складывая почлснно записанные неравенства, получим и — ! Е 1((пр*! 'пав!(1 (1338! М=пп-(-1 и Договоримся обозначать символом Яп !1-ю сумму ряда (13.34)„ равную 5„= '~' «(®). Ь=пп Приняв это обо:значение п учитывая обозначение (13.35), мы можем сх(сдующнм образом переписать неравенства (13.38)( Ьп — «'(га,) < ип < Ьп (13.39) Неравенства (13.39) позволяют без труда доказать теорему. В самом деле, из формулы (13.35) о 1евидно,. (то погщедовательность (ап) является неубывающей.
Стало быть, для сходимости этой последовательности необходих!а и достаточна сс ограниченность. Для сходимосги ряда (13.34) в силу теоремы 13.2 необходима и достаточна ограниченность последовательности (Ьп). Из неравенств (13.39) вытекает,что последовательность (Яп) ограничена тогда и только тогда, когда ограничена пос!сдоватет!ьность (ап„), т, е, тогда и только тогда. когда последовательность (ап) СХОДИТСЯ. ТЕОРСХ!а ДОКазаца.
П р н м е р ы. 1) Прежде всего применим интегральный признак Коши 54ак,юрена для выяснения схолимостн обобщенного гармонического ряда (13.33). Поскольку ряд (13.33) можно 1 рассматривать как ряд вида (13.34) при гн = 1, «'(х) = — и Х" функция «(х) убывает и положительна на полупрямой х ) 1, теория числовых рядов гл. !3 вопрос о сходимости ряда (13.33) эквивалентен вопросу о сходи- мости поп!сдовательнопгн (ап), где й х' х='й и1- — 1 и — дт — 1 гг х — ! 1 Г 1 й 1их~,, =1ип !грп о ~1, при ш = 1. Е.п.
1 й!п«й Ь=2 (13.40) где !л' фиксированное положительное вещественное число. Ряд (13.40) можно рассматривать как ряд инда (13.34) прн гп = 2 и 1 1 (х) = я . ПосколькУ фУнкниЯ 1(ш) неотРицательна и не воз:я !пя х растает на по.!упрямо!4 х > 2. вопрос о сходимости ряда (13.40) эквивалентен вопросу о сходнмостн последовательности (ай), где < 1z ' х 'г з« 1и| в и — 1в' Я 2 1 — д х=2 1 — д !и1их~',' = !и1и ы — !и1и 2 г=.з и 1 ,~ . !пях 2 при д ф- 1. при !з' = 1.
Из вида элементов ай вытекает, что последовательность (ип) сходится при д > 1 и расходится при 13 < 1. Таким образом. ряд (13.40) ся;одгт«ишя нрн, д > 1 и расин«)пгися, г«1ш 13 < 1. б. Признак Раабе. Признаки Далак1бсра и Коши бьыи основаны па сравнении ралхматриваемого ряда с рядом, представл пошли собой сумму геометрической прогре«тии. Естегтвепно, возникаег идея о получении более тонких признаков, основанных па сравнении рассматриваемого ряда с друшлми стандартными рядами, сходяШимигя или расходяшимися «мсдлснпес», чем ряд для геометрической прогрессии. В этом пункте мы установим признак, основанный па сравпспии рассматриваемого ряда с изученным в продьнц1.шем пункте стандартным рядом 1 1 1 — = 1-!- — -!- — -!-... !г 2" 3". я —..
1 113.1Ц Из вида элементов ап вытекает, что последовательность (ап) расходится прн сх < 1 и сходится при гх > 1, причем в пош!однем 1 случае !пи ип = . Таким образом, рлд (13.33) 1шсшодпьчся, й — гх: о — 1 прп ш < 1 !это мы уже установили выше другим способом) и сшодигпся ири гх > 1. В частности, при ш = 2 ряд (13,33) переходит в ряд 113.24), сходимость которого мы теперь можем утверждать. 2) Ис«шедуем вопрос о сходимости ряда РУ1ДЫ С ПОЛОж14ТЕПЫ1ЫМИ "1ЛЕ11А5414 й(1 — ' ) >д>1 ~й(1 — ч ) <1~, (1342) то ряд 2 рь гходится (расходтпгя).
П. Если срщссгпвуегп предел 11гп (1 — ) = 1, рь-~-~ ь рь (13.43) то ряд 2 рь гходиглся ори Е > 1 и расходится при Е < 1. Теорему П обычно называкэт признаком Раабс в предельной форме. Д о к а з а т е л ь с т в о. Разберем отдельно теоремы 1 и П. Ц Для локазатольства теоремы 1 перепишем иеравспсз во (13.42) в пиле <1 — — )1 —— (13А4) рл й 1 рь Так как д ) 1, то найдется пскоторос чисто и, удовлстворяюпссс неравспсз вам д > и > 1. Разложио функцию (1 4- х) по формуле 54аклорспа с осзаточным членом в форме Пеапо (см. и.
2 5 15 гл. 8), будем изшть (1-~ х)а = 1 4- ох -~-8(х). Полагая в последней формуле т, = — 11'й, получим (13.45) Поскольку пог гсдовазст носов являезся бесконечно малой, то ва- 8%й) 1,й чивая с некоторого помора йо, справодливо неравенство 8(1/й) (13.4б) Сопоставляя (1ЗА5) и (13.45), получим неравенство 1 — — ) ) 1 — — (при 1с > йо).
( Т- (13.47) Срапнсоис неравенств (13.41) и (1ЗА7) дает рьт~ г 1 1 (1п+~ 1) — < 1 — — — > 1 — — (при й > йо). ') Иозеф Лксдвиг Раабс швейцарский математик (1801 1859). ю ) )топочно. при ятом предполагается, что ряд 2 рь, по крайней мере ь 1 начиная с некоторого номера, имеет строги полвэкитгльнмг. вишни. Теорема 1о.д (привнок Раобе) ').!. Если для всех номеров й.
или ао кратшй мере почивая с нскотороео номера й, справедливо нгравгнствое) ГЛ. 13 теория числовых Рядов После,гнив неравенсгва можно переписать в виде 1 1 !м'г я" Рмг~ /г — < — ' > /пргг к. > 1-о). ь!3.48) рь Рг !й — Ц" 1; — 1 Поскольку ряд 113.4!) сходится при о ) 1 и расхо:!ится при о = 1, то неравенства /13.48) и теорема сраввения 13.4 позе«с««ног утверж;ппъ, гго ряд 2 рг сходится (расход«счев).
Теорема 1.!оказана. ь=! 2) То шо так же, как и в признаках Далаыбера и Коши. ыы сведем теореб — 1 му и к теореме 1. Пусчь сначала Т > 1. Положим е =, 2=1-!-е = Т вЂ” е. 2 По определению предела /13.43) для етого е можно указать ноыер /го, наРг» \ чиная с которого lс (1 — — — ! / < е, и, стало быль, справедливо левоо Рг неравенство /13.42). Если же 1, < 1, то мы положим . = 1 — Ь и, испопызоя определение предела !13.43), получим, .гто, начиная с некоторого номера йо, спрагед:шво правое неравенство /1ЗА2). Теореыа 13.8 по.,шестью доказана. 3 а м е ч а и и е.
Отан гиы, что в теореме 13.8 С!) в левом неравенстве /1ЗА2) нельзя гзять й = 1 /при эгоы сходимсюгь ряда может не иметь места). При Ь = 1 теорема 13.8 !П) «не дейсгвуег» !возя|ох«на и сходимостть и расходимость ряда). П р и ы е р. Исгшедовагь вопрос о гходимосги ряда 3 Х: '- 3+г" рг, где рг. =о ч з ь 'г /а =сове! ) О). ь=г Легко проверить, что признаки Даламбера и Коши в применении к этому ряду «не действуют». Примеяпм при гнак !»ааб«ь Легко проверить. что Нетрудно сообразитгн что последняя дробь при й -+ оо стремится к производной фынкгппг о» в точке х = О., т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
