В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Длл того чтобы ряд с полоэссиспелысьсмсс членалнс с:годилсл, необходимо и достато"нсо, чтобьс, послсдопатеяьппсспь частичны ь! сумм этого ряда была огроссссчссса. Н е о б х о д и м о с т ь следует пз того, что всякая сходящаяся пос тс)довс!тес!внес)ть является ограниченной (в силу теоремы 3.8). 1 о с т а т о ч н о с т ь вытекает из того, что последовательность частичных сумм ссе убывает и. стало быть, для сходимости этой пос педовательности достаточно, чтобы она была ограничена (в силу теоремь! 3.15).
2. Признаки сравнения. В этом пункте мы установим ряд признаков, псыво)сяющпх сделать закли) п)нне о сходпмостп (или расходимостн) рассматриваемого ряда посредством гусс!с!се!с!!я 433 гяды с положиткльными члинлми его с другим рядом, сходимость (или росхос)имоспсь) которого из нес пи са. Теорема 13.о. Пусть 2 рь и ~; р' доо, ряда с ссолознлся=! спсльным слшсамп,. Пусть, долю... для осех номероо Й сссйхссседлиео !!грос!снсспссс! с рь ~ ря. (13.14) I Рь ~~ с!1эь; (13.15) где с — любая полозюителъная постоянная.
В самом де.се, в Ж силу и. 3 3 1, вопрос о сходимости ряда 2 рс! эквивалентен я=! вопросу о сходнмости ряда 2,(ср,':,,). Прп этом, конечно, мажь —.! но требовать, чтобы неравенство (13.15) было выполнено, лишь начиная с нском>рого достаточно болыпого номера й. Тогда сходимость ряда 2 р~~ оленет зсс собой с!ходимос:сссь ряда ь=! 2 ру,,; рааходимос:ть ряда 2 рь олечет за собой рисходилсаспсь ь.= ! ь=! ря,да 2 я †! До к а пател ь с т в о. Обозна шм н-е частичнь~ суммы рядов 2„рь н 2„р' соответственно псрез Яп и Я„'с 11з неравенства -=! (13.14) заключаем, что Я„< Я,'г Последнее неравенство означает, что ограниченность пос ледовательности частичных сумм (о„') влечет .га собой ограниченность посследовательностп частичных сумм фп) и, наоборот, пеограпичеппск;ть последовательности частичных сумм 1Яс,) влечет за собой нс.огранн сонность последовательности частичных сумм (Я,'Д.
В силу теоремы 13.2 теорема 13.3 соссагана. 3 а м е ч а н и е 1. В условии теоремы 13.3 можно требовать, чтобы неравенство с13.14) было выпо„псено не для всех номеров сз а лишь но;чиная с некоторого пол!ори lс. В самом деле, в сплу и. 3 3 1, отбрасывание конечного числа ч.левов не влияет на сходнмость ряс!а.
3 а м е ч а н сл е 2. Тесэрема 13.3 оспсаньчпся спраоедлиоой, если о условии отой спсоремы,заменить не1аоенсспссо (13.14) с!ледусоцим нераосссстоом: твогия нис ловых Рядов ГЛ. 13 Следствие ия теоремы 13.3. Если 2'рй рлд с нолозсси- й=1 тельными члел!ами, 2 рй рлд со старого с!с!лозсстлтег!ьтсыми й=1 члтсами и если суще!!таует коне'смый, тсредел 1нн 7 — с+ Л. й — !ос Р!. то сходимость ряда 2; рсй, ас!ечетп, за, собой сходимость рядсл ,=1 рс,! расходилссйсть 7зяда 2,' рй олечет за собой 7йасхос)имогть й=! й=! рлда 2, рсй. й:-1 Доказательство. Таккак 11ш —,"' =Л,то,ио Р! й-сьс Р!.
онределениго нредес!а., для нс!которого е > 0 найдется номер с17 такой. что при 7г > Х 7 — Е( —, (Ь+Е. Р', Рй-';~ ( 7'1, ! Р! Р! 113.16) Тогда сходимость ряда 2 рсс, олечет за собой сходня!ость ряда й=1 2„рй: расходимосзнь ряда, 2 7!1, але сети за собой расходи,масть 1.=1 й —...! ряда 2, р„. й=! Д о к а з а т е л ь с т в о. Занишеь! неравенство 113.16) для 1г = 1,2.....7! — 1, где и ллобой номер. Будем иметь Рс Р! Р Рс' Р!» ( РР— ! Р„ Стало быть, ври 1г > Х енрааедлнво неравенство рй ( !А+ е)рсс. Последнее неравс.нство совпадает с неравенством !13.15) прн с— = Л+ е.
В силу заме тания 2 к теореме 13.3 следствие доказано. Теорема 13.4. Пусть 2, рс,- и 2 рй даа рядо, го строго й.=1 й.=1 т!олс!зсесстег!ьньсмт! членами. Пусть. далее, длл асах номеров й етц ас!едс!ис!с! нерво енстпао 435 Рл!ДЫ О ПОЛОИСИТНЛЬНЫМИ '1ЛЕПАМИ Перемножая почлснно всс написанные нсравснства, получим Поскольку в последнем нсравснствс величина с = р)г)1)~) прсдставляст собгпл с)влвэюиапсяпи)ую г)глсгпглян))у)гл, нс завасяи)унл ока номера н, то. в силу замсчания 2 к тсорсмс 13.3с тсорсма 13.4 доказана. 3 а и с ч а н и с 3. В ус.ювии тсорсмы 13.4 можно трсбовать, чтобы нсравснство (13.16) бь).)о выполнено нс для всех номсров й.
а лишь начиная с неквпюроав нглме1)гл й (ибо отбрасыванис коночного числа первых члснов нс влияет на сходимость 1)яда). Обо доказанныс в настоящем пунктс теоремы называют касглрсмамп сравнения, или признаками сравнения. Приводом примеры примснспия признаков сравнения. 1.
Исо)сдусм вопрос о сходимости ряда гдс Ь>0. а=1 Если б < 1с то й-й член рассматривасмого ряда нс стремится к нулю при й — ~ ж. Стилю быть, нарушено нсобходпмос условие сходимости ряда и ряд рглгс рглд)лплгся. Ес.)и жс Ь > 1с то, поскольку для любого помора й справсд:п)во неравенство 1 1 <— 3 Ч- Ь' 1)л сс и поскольку ряд 2, — сходится, тсорсма сравнения 13.3 позво),л )с=) лист утвсрждать ггсодимость рассматриваемого ряда. 2. Исслсдусм вопрос о сходимости для любо! о о < 1 гг)сдую- щего ряда: — = 1 + — +... + — +... 113.17) )с =) Этот ряд часто лги )ыиают обвбпгеннмм гг)1)мггн)гчегелсгллс ут)1г)м. Поскольку при о < 1 для любого помора й справедливо нсра)лснс')'Во 1 1 — >— )с й 1 и посколькУ гаРмоничсскнй РЯд 2, — Расходитсл )с то тсоРсма й сравнения 13.3 позволяет утверждать расходпмость ряда (13.17) для любого сл < 1.
') Расхолимость гармоиичоского ри )а устаиоолоии в и. 2 1 1. 436 тногия числовых Рядов '~'1=1+1+1+.. (13.19) Теорема 1о.о (признак Даламбера) '). !. Если для всех номеров а:. лллгл по крайней мере нс»илния с некотороао номере, зз справедмлво зле!к>вез>с>тво Рлт> < 1 2) (Рзт» 1) (13 з20) Рл: ЗР, то ряд 2 рл сходится (1х>с:ходзлтсзя). П.
Если существует, т>1>вдел, !зш 1>+> = А, (13,21) Ь вЂ” зж Рс- то ряд 2; рв схс>дзлтся, прзл Е < 1 гл 1асходзлтся при Е > 1. Теорему П обычно называют >лрпзноквм Даламбера в пре: деленой форме. В атой форме он наиболее часто используется. Д о к а з а т с л ь с т в о, Разборок> отдельно теоремы 1 и П. 1) Для доказательства теоремы ! положим рь — — л)" (рл, — — 1). Тогда — ', = л).
здс >7 < 1 — ', = 1, н мы можем переписать Рлтз Рлт~ Рл, Р, неравенство (13.20) в виде Рз > з < Р>ке> (1>ат> > Ргт> (13.22) Ра Ре З Рл Рз ') Мак Ларси Даламбер фриш>узский математик и философ (1717 1783). гз ) При э>ом, коне шо, ирс,зпо»агаетсзз, что есе члеин ряда 2„' Рг (по краи>..з пей моро начиная с иокоторого номера) строго положите>и пм. 3. Признаки Даламбера и Коши.
К признакам сравнения непосредственно примыкают два весьма употребительных признака сходимости рядов с положительными членами Даламбера и Коши. Признаки Даламбера н Коши основаны на сраззнсныя рассматриваемого ряда с рядом, составленным нз элементов гсомстри леской прогрессии, а именно со сходящимся рядом 1!в = с)+ л7 +л)' +... > ~>7~ < 1. (13Д3) в-1 нли с расходящимся рядом 437 ряды о полоисситнльными сзспслтси 1г (13 г24) Так как Рнд 2 Р>в.
совпадающий с РЯдом (13.18) ((13.19)), схоь=! дится (расходи!ся), то неравенство (13.22) на основании теоремы сравнения 13.4 гарантирует сходикюгть ?рас>ходиыость) ряда р>, Теорема 1 доказана. ь=! 2) >,окажем теперь теорему П. Если А < 1, то найдется полкж.напольное пк и е такое, что Л = 1 — 2е и Л+ е = 1 — е. По определению предела последовательности д.тя указанного е найдется помер Х такой, что при Й ) Лс Л вЂ” с<Рв '"' <А+с=1 — е. (13.23) >л Число А + е = 1 — е играет роль с! в теореме 1. Ряд сходится.
Если >ко ь ) 1, то найде>си с!алов>си>пель>сое чисо>о е >акое, что Л = 1+ е и Л вЂ” е = 1. В этом с' >учао на основании левого из неравенств (13.23) получим "" ) Л вЂ” е = 1 (прг! Й ) Х). Р!; Ряд расходится на основании теоремы 1. Теорема 13.5 полное гью доказана. Замечания к теореме 135.
1)Обратиывпиманиена то. что в теореме 13.5 (?) неравенство ьы < с? < 1 (д>>я всех Й,. Р с. начиная с некоторого) нельзя зал!спит:ь на — ' < 1. Р!.+с Р! В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (13.12) рассходится„но для этого ряда — ' =- — < 1 (для всех номер!+! Й ря Й-ь ! ров Й).
2) Если в условиях теоремы 13.5 ?П) Ь = 1. то нельзя сказать ничего определенного о сходимости ряда (тс е, при А =- 1 признак ,'?аламбера, «не действустя). В самом деле. для гармонического ряда (13.12) Л = 1, причс>м этот ряд. как мы знаем, расходится. Вместе с тем для ряда Й=! также Ь = 1, во этот ряд, как будет показано в слсдующеь! пунк>с, сход>лтся. Тео?>ема 13.6 (признак Касаи).
1. Если для осях >сомерг>о Й, или по крайней мере начиная с некс>торс>го номе!а Й, справедливо неро,венство И~ < с? < 1 («с,>Рв в) 1), (13.25) то ряд 2, р!, .схс>дится ?расходится). ь=! ткория числовых рядов ГЛ. 13 П. Если глушестврет, предел (13.26) 1(гп ььг?зя = Л. я —,х 7зь < )зг (ря ) ре) (13.27) '1ак как ряд 2; р', совпадающий с рядом (13.18) ((13.19)), схоь дится (расходится), то неравенство (13.2?) на основании теоремы сравнения 13.3 гарантирует гходимость (расходимость) )»да 2 7я Я-1 Теорема 13.6 (1) доказана. 2) Для доказательства теоремы 13.6 (П) следует дословно повторить схему доказательства теоремы 13.5 (П), заменив во всех рассуждениях + на игры р~ Теорема 13.6 1юлностью доказана.
Замечания к теореме 136. 1)Какивпредыдущсй теореме, в теореме 13.6 (1) неравенство "'/7зя < с) < 1 нельзя заменить на,се?оь < 1. 2) При Л = 1 признак Коши в предельной форме «не дсйствустгс Можно сослаться на два примера. указанные в соответсгвующсм замечании к признаку Даламбера.
3) Возникает вопрос о том, какой из двух признвков, Двлвмборв или Коши, является более сильным. Проанализируем зтот вопрос в отношении признаков Двлвмборв и Коши. взятых в игзсдслгика форме. пожив доквзать, что из существования предела (13.21) въинеяав а сищссщвсвонис предела (13.26) и факт равенства э1пих пределов. (Доказательство приведено в доно:шепни 1 к зшй глава.) Обратное паперно. В сизым доло, легко убелиться в том.
что для 1щдв ~- (-1)ь+ 3 2ьы (13. 28) продел (13.26) существует и рввоп 1/2, в то время квк предел (13.21) вообще пс существует. Таким образом, признак Коши является более сищ пым, чем признак Даламбера, ибо всякий риз. когда дайс« вуот признак Двлвмборв, дсяствуот я признак Коши и вместо с том сущосзвушт ряды (пвпримср, ряд пю ряд 2 тря сходится при А < 1 и, ршходится при Ь ) 1. Я=1 Теорему П обычно называют признаком Коши о п7зедельной форме. Д о к а 3 а т с л ь с т в о, Разберем отдельно теоремы 1 и П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
