А.И. Ефимова, А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Общий физический практикум (1108777), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(Применимы оба способа оценки погрешностиизмерений)Пусть для определения плотности вещества несколько раз измеряются масса и объём одного и того же однородного тела. Проведённые прямые измерения дали результаты, представленные в таблице 4.- 15 -Таблица 4Δmi, мм Vi, см3ΔVi, см3 ρi , г/см3 Δρi , г/см3Imi , г12,7450,0002,4– 0,031,1440,01322,746– 0,0012,3– 0,101,1940,06332,7440,0012,60,171,055– 0,076Средниезначения2,7450,00072,430,111,1310,051Способ А1. Вычисляется значение косвенно измеряемой величины ξ длякаждого опыта в отдельности:ξ1 = f (x, y, z, ...), ξ2 = f (x2, y2, z2, ...), ..., ξn = f (xn, yn, zn, ...).2.
Вычисляется среднее арифметическое значение величины ξ:ξ + ξ + ... + ξ nξ = 1 2.nТакое усреднение имеет смысл, поскольку проводится для результатов измерений одной и той же величины, различающихся лишь из-запогрешностей, допущенных при измерениях.3. Проводится оценка погрешности величины ξ, вносимой приборами.Для оценки погрешности величины ξ = f (x, y, z, ...), вносимойприборами, выводится расчётная формула на основании общего выражения (11) или выражения (12) (или таблицы 2). В качестве погрешностей Δx, Δy, Δz, ... подставляются значения приборных погрешностейΔxпр, Δyпр, Δzпр, … , а в качестве величин x, y, z, ... – любые промежуточные (не минимальные и не максимальные) значения непосредственно измеренных величин.4. Оценивается погрешность измерений величины ξ .Δξизм1 n= ∑ Δξ i .n i =1- 16 -ЗамечаниеВ способе А погрешность измерений косвенно измеренной величины ξ оценивается по такому же алгоритму, как и в случае прямыхизмерений (п.
2.3.1).5. Вычисляется полная погрешность эксперимента:Δξ = Δξ изм + Δξ пр .6. Проводится оценка относительной погрешности экспериментадля величины ξ:Δξ.εξ =ξ7. Окончательно результат записывается в стандартной форме:ξ = ( ξ ± Δξ) ед. измерения ( ε ξ , %).В рассматриваемом примере1. ρ1 = 1,144 г / см 3 ; ρ2 = 1,194 г / см 3 ; ρ3 = 1,055 г / см 3 .2.
ρ = 1,131 г / см 3 .m пр Δm пр ΔV пр+; Δm пр = 0,001 г, ΔV пр = 0,1 см3.3. ρ = ; ε ρ =VmVερпр0,001 г 0,1 см3=+= 0,0004 + 0,041 = 0,041.2,745 г 2,43 см3Δρпр = ερ ⋅ ρ = 0,041 ⋅ 1,131 г / см 3 = 0,046 г / см 3 .4. Δρизм1 n0,013 г / см 3 + 0,063 г / см 3 + 0,076 г / см 3= 0,051 г / см 3 .= ∑ Δρ i =3n i =15. Δρ = Δρ пр + Δρизм = 0,046 г / см 3 + 0,051 г / см 3 = 0,097 г / см 3 .6–7. ρ = (1,13 ± 0,10) г / см 3(9%).- 17 -Способ Б1.
Вычисляются для каждой прямо измеренной величины x, y, z, ...среднее арифметическое значение x , y , z , ... , погрешность измерений Δxизм, Δyизм, Δzизм, ... и определяется приборная погрешность Δxпр,yпр, Δzпр, ... .2. Вычисляется среднее значение косвенно измеряемой величиныξ подстановкой в расчётную формулу ξ = f (x, y, z, ....) средних арифметических значений x , y , z ,... прямо измеренных величин:ξ = f ( x , y , z ,...) .3. Для оценки погрешности, вносимой приборами выводитсярасчётная формула на основании общего выражения (11) или выражения (12) (или таблицы 2). В полученное выражение в качестве величинΔx, Δy, Δz, ... подставляются значения приборных погрешностей Δxпр,Δyпр, Δzпр, ..., а в качестве величин x, y, z, ...
– средние значения непосредственно измеренных величин.4. Для оценки случайной погрешности измерений величиныξ = f (x, y, z, ...) используется полученное в п. 3 выражение, в которое вкачестве величин Δx, Δy, Δz, ... подставляются значения погрешностейизмерений Δxизм, Δyизм, Δzизм, ..., а в качестве величин x, y, z, ... такжеподставляются средние значения непосредственно измеренных величин.ЗамечаниеСпособ Б оценки погрешности измерений величины ξ применим тогда, когда каждая из физически одинаковых величин x, y, z (например,масса или размеры тела в рассматриваемом примере) измеряется многократно в одинаковых условиях. Тогда экспериментатор имеет наборы измеренных значений х1 , х2 ,..., хn , y1, y2 ..., yn , z1 , z2 ..., zn , каждое изкоторых отличается от своего неизменного истинного значения тольков силу наличия случайных ошибок.5.
Вычисляется полная погрешность эксперимента:Δξ = Δξ изм + Δξ пр .6. Проводится оценка относительной погрешности эксперимента:Δξεξ =.ξ7. Окончательно результат записывается в стандартной форме:ξ = ( ξ ± Δξ) ед. измерения ( ε ξ , %).- 18 -В рассматриваемом примере1. m = 2,745 г,V = 2,43 см3,Δm изм = 0,0007 г,Δm пр = 0,001 г .ΔV изм = 0,11 см3,ΔV пр = 0,1 см3.2. ρ = 1,13 г/см3 .0,001 г 0,1 см 33.=+= 0,041 .
(4 %)32,745 г 2,43 смΔρпр = 0,041 ⋅ 1,13 г / см 3 = 0,046 г / см 3.ε ρпр4.ε ρизм0,0007 г 0,11 см 3=+= 0,00026 + 0,0453 = 0,04152,745 г 2,43 см 3(4 %).Δρизм = 0,0415 ⋅ 1,13 = 0,047 г / см 3 .5. Δρ = Δρ пр + Δρизм = 0,046 г / см 3 + 0,047 г / см 3 = 0,093 г / см 3 .6–7. ρ = (1,13 ± 0,09) г / см 3(8%).Замечания1) В рассматриваемом примере как случайная погрешность измерения массы, так и приборная, гораздо меньше погрешностей при измеренииобъема. Поэтому имеет смысл повышать точность измерения объема –провести больше измерений («набрать статистику»), выбрать другой прибор, а вот массы – не стоит.2) Хорошего совпадения значений Δρизм , полученных первым ивторым способами, можно ожидать лишь при достаточно большом количестве измерений и малых ошибках округления.
Однако и в рассматриваемом примере оценочные значения погрешности измерений отличаются незначительно.ПРИМЕР 2. (Применим только один способ оценки погрешности измерений)Пусть для определения плотности вещества проведены однократные измерения массы и объёма различных тел, сделанных изодного и того же материала. Проведённые прямые измерения дали результаты, представленные в таблице 5.- 19 -Таблица 5imi , гVi, см3ρi , г/см3 Δρi , г/см312,7452,41,144– 0,02128,80315,71,1940,02935,1374,41,157– 0,008Средниезначениянетнет1,1650,019В рассматриваемом примере при оценке погрешности косвенноизмеренной величины плотности ρ , вносимой приборами, в полученноевыражение в качестве величин Δx, Δy, Δz, ...
подставляются значенияприборных погрешностей Δxпр, Δyпр, Δzпр, ..., а в качестве величин x, y,z, ... подставляются любые промежуточные (не минимальные и не максимальные) значения непосредственно измеренных величин xi, yi, zi,…Единственно правильным способом оценить погрешность измерений в этом примере является способ А.Оценка погрешности измерений начинается с усреднения трёхзначений плотности – косвенно измеренной величины, – которые отличаются в силу наличия случайных погрешностей при измерениях.Усреднять значения массы или объёма в данном случае нельзя, такое усреднение не имеет никакого физического смысла, так как значения массы и объёма в таблице 5 относятся к принципиально разнымизмеряемым величинам.В рассматриваемом примере1.
ρ1 = 1,144 г/см3; ρ2 = 1,194 г/см3; ρ3 = 1,157 г/см3.2. ρ = 1,165 г/см3.m пр Δm пр ΔV пр+; Δm пр = 0,001 г, ΔV пр = 0,1 см3.3. ρ = ; ε ρ =VmV- 20 -0,001 г 0,1 см 3=+= 0,010 .5г10 см 3Δρпр = ερпр ⋅ ρ = 0,012 г/см3.1 n0,021 г / см 3 + 0,029 г / см 3 + 0,008 г / см 3= 0,019 г / см 3= ∑ Δρ i =3n i =1ε ρпр4. Δρпр.5. Δρ = Δρ пр + Δρизм = 0,012 г / см 3 + 0,019 г / см 3 = 0,031 г / см 3 .6–7. ρ = (1,16 ± 0,03) г / см 3(3%) .2.5.
Окончательное представление результатаОценочное значение полной погрешности эксперимента какпри прямых, так и при косвенных измерениях равнаΔξ = Δξ изм + Δξ пр .Естественно, если одно из слагаемых значительно больше другого,то оно и будет определяющим в оценке. Если при большом количествеизмерений погрешность, вносимая приборами, много больше погрешности измерений, необходимо заменить используемые приборы на более точные. Если же ошибка, вносимая приборами, много меньшеошибки измерений, можно увеличить число измерений для повышенияточности результата.
Если погрешность, вносимая приборами, сравнима с погрешностью измерений, то, очевидно, не имеет смысла значительно увеличивать число измерений или пользоваться другими приборами. Следовательно, целесообразно оценивать погрешность, вносимую приборами, перед проведением измерений.2.5.1. Правила округления погрешности и результатаПосле завершения вычислений при окончательной записи результата в виде доверительного интервала руководствуются следующимиправилами округления.1. При округлении погрешности Δξ оставляют только одну «значащую» цифру3).2.
Результат ξ измерений округляется до того разряда, в кото3)Это округление лучше проводить всегда в большую сторону. Таким образом косвенно учитывается небольшая статистика проведённых измерений в условиях физического практикума.- 21 -ром содержится погрешность.Замечания1) При записи погрешности «значащими» будем условно называть все цифры кроме «0».2) В промежуточных расчётах следует использовать на одну значащую цифру больше («с запасом»).ПримерыПусть при измерениях величины v получено среднее значениеv = 341,862452 м/cи проведена оценка погрешности измерений:Δv = 14,2465 м/c.Окончательная запись результата должна иметь вид:v = (340 ± 20) м/c.4)Допустимо (но вряд ли целесообразно) в данном случае вынести заскобки порядок измеренной величины:v = (3,4 ± 0,2)⋅102 м/c.В случаях, когда полученные результаты измерений имеют видс = 299836241 м/c,Δс = 26465 м/c;λ = 0,00000062452 м,Δλ = 0,0000000004465,вынести за скобки порядок величин необходимо:с = (2,998 ± 0,003)⋅108 м/c.(скорость света)λ = (6,24 ± 0,05) ⋅10-7 м.(длина волны света)В последнем случае ещё лучше использовать соответствующие «дольные»единицы измерения:λ = (624 ± 5) нм.ЗамечаниеЕсли задачей работы является проверка равенства двух величин,для которых могут быть оценены доверительные интервалы, то соответствием теории будем считать пересечение, хотя бы частичное, доверительных интервалов.4)Нетрудно догадаться, что речь идёт об измерениях скорости звука в воздухе.- 22 -2.5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
