А.И. Ефимова, А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Общий физический практикум (1108777), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поэтому можно считать, что в пределах точности проведённых измерений эксперимент демонстрирует корректность теоретических представлений о явлении.Сравнительно большое значение относительной погрешностиэксперимента обусловлено значительной погрешностью измерений.- 30 -ПРИЛОЖЕНИЕ БПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯПри выполнении математических операций над величинами, которые выражаются приближенными числами, заданными с различнойточностью, руководствуются следующими правилами.1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результатесохраняют столько разрядов, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством разрядов.2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством значащих цифр.3.
Результат расчета значений функций x n , n x , lg x некоторогоприближенного числа x должен содержать столько значащих цифр,сколько их имеется в числе x.4. В промежуточных расчетах допускается использовать на однудве значащие цифры больше («с запасом»).Незначащими цифрами приближенного числа называются нули,стоящие слева в начале десятичных дробей, и нули, поставленные вконце числа вместо цифр, отброшенных при округлении. Остальныецифры называются значащими.Например, в числе 0,0123 значащие цифры – 1, 2, 3; в числе508000, полученном при округлении числа 507893, три последних нуля– незначащие.
Для того чтобы не приводить дополнительный комментарий о том, получены ли последние нули в результате округления илинет, можно записать число 508000 как 508⋅103 или 5,08⋅105. Такая записьболее однозначна.Нули, стоящие в последних разрядах и не являющиеся результатом округления, есть значащие цифры. Так, числа 2,86 и 2,86000 неравнозначны по своей точности.- 31 -ПРИЛОЖЕНИЕ ВЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙВ1. Функция распределения.
Нормальное распределение иего характеристикиДопустим, что произведено n измерений некоторой случайной величины x: x1, x2, ... xn – одним и тем же методом и с одинаковой тщательностью. Число dn полученных результатов, которые лежат в некотором достаточно узком интервале от x до x + dx , должно быть пропорционально:– величине интервала dx;– общему числу измерений n.Таким образом,dn = f ( x ) ⋅ n ⋅ dx(14)где f (x) – функция, характеризующая распределение значений случайной величины по разным интервалам.Вероятность dw(x) того, что некоторое значение x лежит в интервале от x до x + dx , определяется следующим образом:dndw( x ) = lim= f ( x )dx .(15)n →∞ nФункция f (x) называется функцией распределения случайной величиныили плотностью вероятности.В качестве постулата теории ошибок принимается, что результатыпрямых измерений, а также их случайные погрешности при n → ∞подчиняются закону нормального распределения (распределения Гаусса).Функция нормального распределения непрерывной случайной величины x имеет следующий вид:⎡ ( x − μ) 2 ⎤1(16)exp ⎢ −f ( x) =⎥,22σ2πσ⎣⎦где σ и μ – параметры распределения.Параметр μ нормального распределения равен среднему значениюx случайной величины, которое при известной функции распределения определяется следующим образом:∞x = ∫ xf ( x ) = μ .(17)0Величина μ является наиболее вероятным значением измеряемой величины x, т.е.
её наилучшей оценкой.- 32 -2Параметр σ нормального распределения равен дисперсии Dслучайной величины, которая в общем случае определяется следующимобразом:∞D = ∫ ( x − μ) 2 f ( x )dx = σ 2 .(18)0Квадратный корень из дисперсии σ = D называется среднеквадратичным (или средним квадратическим) отклонением случайной величины (или стандартным отклонением измерения).Среднее отклонение случайной величины σ определяется с помощью функции распределения следующим образом:∞σ = ∫ x − μ f ( x )dx .(19)0Среднее отклонение измерений σ , вычисленное по функциираспределения Гаусса, соотносится с величиной среднеквадратичногоотклонения σ следующим образом:σ = 0,8 ⋅ σ .(20)Параметры σ и μ связаны между собой через функцию распределения:1.(21)σ=2π f (μ)Последнее выражение позволяет находить среднеквадратичное отклонение σ , если имеется кривая нормального распределения.
Однако в реальных условиях эксперимента функция распределения, как правило, неизвестна. Либо распределение предполагается нормальным, но сами параметры распределения не известны.График функции Гаусса представлен на рисунках А и Б. Функцияf (x) симметрична относительно вертикальной прямой x = μ , имеет максимум в точке x = μ и перегибы при x = μ ± σ . Таким образом, дисперсия характеризует ширину функции распределения, то есть показывает,насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно её истинного значения.
Чем точнее измерения, тем ближе к истинному значению результаты отдельных измерений, т.е. величина σ –меньше. На рисунке A изображена функция f (x) для трех значений σ .Площадь фигуры, ограниченной кривой f ( x ) и вертикальнымипрямыми x = x1 и x = x2 (рис. Б), численно равна вероятности попадания результата измерения в интервал Δx = x1 − x2 , которая называется- 33 -доверительной вероятностью.
Площадь под всей кривой f ( x ) равнавероятности попадания случайной величины в интервал от 0 до ∞, т.е.∞∫ f ( x )dx = 1 ,(22)0так как вероятность достоверного события равна единице.А2f(x)σ1 = 0,25σ2 = 0,5σ3 = 100μxБf(x)1,51,00,50,0x1 x2x- 34 -Используя нормальное распределение, теория ошибок (погрешностей) ставит и решает две основные задачи. Первая – оценкаточности проведенных измерений. Вторая – оценка точности среднегоарифметического значения результатов измерений.В2. Точность результатов измеренийТочность результатов измерений в теории погрешностей характеризуется доверительным интервалом ( x ± Δx ) w , таким что с доверительной вероятностью, равной w, результат отдельного измерениянаходится внутри этого интервала.Если известно среднее отклонение измерения σ , доверительныйинтервал, записанный в виде ( x ± σ ) w , определен с доверительнойвероятностью w = 0,57.Если известно среднеквадратичное отклонение σ распределениярезультатов измерений, указанный интервал можно записать в виде( x ± twσ) w где tw – коэффициент, зависящий от величины доверительной вероятности и рассчитываемый по распределению Гаусса.Наиболее часто используемые величины Δx = twσ приведены втаблице 6.Таблица 6wΔx0,68σ0,91,7 σ0,952σПодчеркнем еще раз, что на практике при проведении ограниченного числа измерений мы не знаем точного значения среднеквадратичного или среднего отклонения, а можем лишь оценить ихвеличину.Наилучшей оценкой среднего отклонения измерения σ являетсясредняя погрешность измерений1 n(23)σ ≈ Δx = ∑ xi − x .n i =1Наилучшей оценкой среднеквадратичного отклонения измеренияσ является среднеквадратичная погрешность измерений S (в литературе также называется выборочной среднеквадратичной погрешностью для результата отдельного (единичного) измерения, так как зависит от числа измерений или, как принято говорить, объёма выборки):nσ≈S=∑ ( xi − 〈 x〉 )2i =1n −1.Эта величина стремится к σ при n → ∞ .(24)- 35 -Приведённое выражение можно преобразовать к виду2⎛ n ⎞2∑ ( xi ) − ⎜ ∑ xi ⎟ / n⎝ i =1 ⎠,S = i =1n −1n(25)который обычно указан и используется в программах в стандартныхкомпьютерных приложениях, а также в некоторых моделях калькуляторов.Таким образом, мы неизбежно заменяем величину σ в доверительном интервале на её приближенное значение S.
При этом необходимо помнить, что чем меньше число измерений, тем хуже это приближение. Так, теория показывает, например, что для корректного определения доверительного интервала с доверительной вероятностьюw = 0,9 требуется не менее 40 измерений.Например, при 10 измерениях S определяется с погрешностьюоколо 40% по отношению к среднеквадратичному отклонению результатов отдельных измерений.При числе измерений n ≤ 10 ошибка в вычислении погрешностейстановится настолько велика, что указывать доверительную вероятность не имеет смысла.
В связи с этим при малом числе измеренийпри оценке доверительного интервала можно пользоваться любымспособом оценки погрешности измерения.Из оценочного характера вычисляемых величин следует такжепринятое на практике правило: при небольшом числе измерений в погрешности следует оставлять одну значащую цифру, если она больше 2,и две значащие цифры, если первая из них – двойка или единица. Последнее правило позволяет снизить погрешность округления.В косвенных измерениях при полностью независимых погрешностях отдельных прямых измерений среднеквадратичную погрешностьвычисляют по формуле22⎞ ⎛ ∂f ⎞2⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂fSξ = ⎜ S x ⎟ + ⎜ S y ⎟ + ⎜ S z ⎟ + ....⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠(26)где Sx, Sy, Sz, ...
– среднеквадратичные погрешности прямо измеренныхвеличин x, y, z, ….- 36 -В3. Точность среднего арифметического результатов измеренийВыше рассматривалась функция распределения результатов отдельных измерений величины x. Особый интерес представляет распределение среднего арифметического результатов измерений и соответствующие отклонения. Разброс средних арифметических значений измерений также можно охарактеризовать доверительным интервалом( x ± Δx ) w , но в этом интервале с доверительной вероятностью w будут находиться средние арифметические значения измеренной величины, полученные в различных сериях измерений, проведенных при одинаковых условиях.
Можно утверждать, что в этом же интервале с доверительной вероятностью w находится истинное значение физической величины.Если величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ и дисперсией σ2, то и её среднее значение x имеетнормальное распределение с математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2 n . Значит, случайная погрешность среднего арифметическогоменьше, чем погрешность единичного измерения.Для оценки погрешности среднего арифметического значенияприменяется среднеквадратичная погрешность среднего арифметического S x (в литературе также называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического):nSx =Величина SxS=n∑ ( xi −x )2i =1n(n − 1).(27)стремится к нулю при n → ∞ .В теории ошибок доказывается, что при конечной величине n распределение случайной величины перестает быть нормальным5) и переходит в несколько более широкое распределение Стьюдента, вид которого зависит от числа измерений.
Соответственно, в данный доверительный интервал необходимо ввести коэффициент tw,n, называемый коэффициентом Стьюдента. Тогда доверительный интервал принимаетвид ( x ± tw,n ⋅ S x ) w .5)Строго говоря, после проведения измерений необходимо проводитьпроверку их принадлежности нормальному распределению по установленнымкритериям. Согласно ГОСТу при числе измерений n < 15 принадлежность их кнормальному распределению уже не проверяют по причине бессмысленностипроведения этой операции при малом n.- 37 -Чем меньше число n проведенных измерений, тем больше среднеезначение может отклониться от истинного.
Таким образом, при одной итой же доверительной вероятности w коэффициент Стьюдента долженрасти с уменьшением n, как видно из таблицы 7.Таблица 7nw0,92345678910 15 20 100 ∞6,3 2,9 2,4 2,1 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,60,95 12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,1 2,1 2,0 2,0Если функция распределения и дисперсия случайной величинынеизвестны, можно вычислить только ориентировочный доверительныйинтервал, при этом не следует использовать значения доверительнойвероятности близкие к единице, при которых ошибка в оценке резковозрастает. При числе измерений n ≤ 10 ошибка вычисления среднеквадратичной погрешности среднего арифметического по отношению кего среднеквадратичному отклонению превышает 40%, что делает нецелесообразной запись доверительного интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
