А.И. Ефимова, А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Общий физический практикум (1108777), страница 2
Текст из файла (страница 2)
в Приложении В.-7-2.3. Оценка погрешности при прямых измерениях2.3.1. Оценка погрешности измеренийПусть в результате проведённых в одинаковых условиях прямыхизмерений физической величины x был получен набор из n значенийx1, x2 , ... , xn .Истинное значение измеряемой величины узнать невозможно!Цель обработки результатов измерений заключается в том, чтобыдать оценку истинного значения измеряемой величины с указанием допущенной в эксперименте погрешности.За наилучшую оценку истинного значения (наиболее вероятноезначение) величины x принимается среднее арифметическое значениерезультатов измерений:х1 + х2 + ... + хn 1 n(2)х == ∑ xi .nn i =1Чем больше число измерений, тем ближе среднее арифметическоезначение к истинному.Погрешность измерений Δx изм оценивается следующим образом.1.
Вычисляются частные отклонения отдельных измерений Δxi :Δxi = xi − x .(3)Иногда эту величину также называют абсолютной погрешностью отдельного измерения. Частное отклонение – величина размерная. Средиn значений частных отклонений отдельных измерений обязательновстречаются как положительные, так и отрицательные.2. Оценивается абсолютная погрешность измерений Δx изм :1 nизмΔx = ∑ Δxi .n i =1(4)Стоит подчеркнуть, что усредняются именно модули частных отклонений – среднее арифметическое от самих частных отклонений, конечно же, равно нулю.3. Полезно также определить относительную погрешность измерений ε измx :Δx измизмεx =.(5)x-8-Относительная погрешность ε x – величина безразмерная.Обычно относительная погрешность выражается в процентах.Относительная погрешность наглядно характеризует точностьпроведённых измерений.ПримерДопустим, в результате многократных измерений длины некоторого предмета получено среднее арифметическое значение l = 23,4 сми погрешность измерения Δl изм = 1,4 см.
Знания одной только величиныΔl изм = 1,4 см не достаточно для понимания, большой или маленькойявляется погрешность. Для такого понимания мы сравниваем абсолютную погрешность измерения со средним арифметическим значениемрезультатов измерения. Величина относительной погрешности ε l = 6%даёт нам информацию о качестве измерения без непосредственного указания на значение искомой величины.2.3.2. Оценка приборной погрешностиПравила расчёта приборных погрешностей средств измеренийприводятся в технических паспортах.Приборная погрешность стрелочных электроизмерительныхприборов определяется классом точности.Класс точности ε пркл.т.
большинства приборов равен отношениюмаксимально возможной погрешности прибора к величине верхнегопредела шкалы, выраженному в процентах. На таком приборе значениекласса точности символически указывается на лицевой панели рядом с его шкалой в виде числа, не обведенного в кружок или звездочку, без знака «%». Классы точности ε пркл.т. приборов, используемых вфизическом практикуме, равны 0,05%; 0,1%; 0,2%; 0,5%; 1,0%; 1,5%;2,5%; 4,0%. Абсолютная приборная погрешность в этом случае одинакова при измерениях во всем диапазоне шкалы и равнаε прпрΔx = кл.т. ⋅ xmax .(6)100%Поскольку относительная приборная погрешность равнаΔx прпрεх =,(7)хто она возрастает при уменьшении измеряемой величины x . Следовательно, при измерении вблизи нуля значительно уменьшается точностьизмерения.
Измерения в начальной части шкалы на таких приборах нежелательны.-9-ПримерДопустим, вольтметр имеет класс точности 0,2%, а используемаяшкала имеет предел Vmax = 300 В. У верхнего предела измерений при0,2%= 0,6 В, относительная приборная погрешность ΔV пр = 300 В ⋅100%борная погрешность равна 0,2%. При измерении напряжения V = 50 В0,6 Вотносительная приборная погрешность, равная εVпр =⋅ 100 % , воз50 Врастает в 6 раз до величины 1,2%.При определении приборной погрешности некоторых «простейших» приборов, не имеющих паспорта, можно ориентироваться на ценунаименьшего деления шкалы: она обычно согласована с классом точности прибора.
Так, например, при измерениях длины отрезков линейкойс «миллиметровой шкалой» приборную погрешность принимают равной 1 мм.В таблице 1 приведены приборные погрешности, которые необходимо учитывать при использовании часто встречающихся в лабораториях физического практикума средств измерения.Таблица 1. Приборная погрешность1.Миллиметровые линейки1 мм2.Штангенциркули (с числом делений нониуса – 10)0,1 мм3.Штангенциркули (с числом делений нониуса – 20)0,05 мм4.Микрометры0,01 мм5.Технические весы с нагрузкой до 5 кг0,1 г6.Лабораторные ртутные термометры1°С7.Секундомеры механические0,1 сКак правило, точность прибора ниже точности «отсчёта на глаз»по шкале прибора. Например, если мы измеряем длину линейкой с миллиметровой шкалой, легко отсчитать на глаз десятые доли миллиметра, но линейка не обеспечивает такую точность.
Сколько бы размы ни повторяли измерения, точность полученного нами результата непревысит точности линейки.- 10 -2.3.3. Оценка полной погрешности экспериментаПри многократных измерениях для определения доверительногоинтервала необходимо учесть как случайную погрешность измерения,так и погрешность, вносимую приборами. Результирующую погрешность будем называть полной погрешностью эксперимента Δx эксп .Будем обозначать её для краткости так: Δх ≡ Δx эксп , а результат измерения записывать (как было уже сказано) в виде доверительного интервала:х = ( х ± Δх ) ед. измерения.(8)Для оценки полной погрешности эксперимента при прямыхизмерениях складывают погрешности измерений и приборные погрешности2):Δх = Δх изм + Δх пр .(9)При однократном измерении некоторой физической величины дляопределения границ доверительного интервала приходится учитыватьтолько приборную погрешность.2.4.
Оценка погрешности при косвенных измеренияхПусть интересующая нас величина ξ (кси) вычисляется по некоторой расчётной формуле, требующей знания ряда непосредственно (прямо) измеряемых величин x, y, z, ...:ξ = f (x, y, z, ...).(10)Чтобы найти погрешность косвенно измеряемой величины ξ = f (x,y, z, ...), учтём, что чаще всего погрешности прямых измерений значительно меньше измеряемых величин, составляя несколько процентов именее от них, то есть Δx << x , Δy << y , Δz << z ... Тогда формальнопогрешность можно считать малым приращением измеряемой величины, заменить символы: Δx ≈ dx, Δy ≈ dy, Δz ≈ dz, ..., Δξ ≈ dξ – и для нахождения погрешности Δξ использовать математический аппарат дифференциального исчисления:∂f∂f∂f(11)Δξ =⋅ Δx +⋅ Δy +⋅ Δz + ...∂x∂y∂z∂f, … – частные производные функции ξ = f (x, y, z, ...) поЗдесь∂xсоответствующим переменным. Они вычисляются по обычным правилам дифференцирования при условии, однако, что все остальныеаргументы функции f (x, y, z, ...) (кроме той переменной, по которой2)Подробнее о сложении погрешностей см.
Приложение В.- 11 -выполняется дифференцирование) следует считать постоянными иравными их средним арифметическим значениям.∂f⋅ Δx соответствует погрешности, вносимойСлагаемое Δξ x =∂xв полную погрешность Δξ неточностью измерения только величины x.Аналогичный смысл имеют все остальные слагаемые.В таблице 2 приведены выражения для оценки погрешности косвенно измеряемых величин, вычисляемых по некоторым простым расчётным формулам.Таблица 2Расчётнаяформула длявеличины ξАбсолютнаяпогрешностьвеличины ξξ = f ( x, y )Δξx+ уΔx + Δ уx− yΔx + Δ уΔ x + Δух − уx⋅ yx ⋅ Δy + y ⋅ Δ xΔx Δy+= εx + ε yxyxyx ⋅ Δ y + y ⋅ Δxxny2nn⋅ xn −1x1⋅ xn1−1n ΔxΔxОтносительнаяпогрешностьвеличины ξΔξεξ =ξΔx + Δух + уΔx Δy+= εx + ε yxyn⋅Δx= n ⋅ εxx1 Δx 1⋅= ⋅ εxn xnЗамечанияОбратим внимание читателя на некоторые важные моменты в таблице:1) Величины Δx и Δy в таблице – это величины погрешностей,которые всегда положительны.- 12 -2) При сложении и при вычитании измеренных величин их погрешности складываются.3) При вычитании двух величин относительная погрешность содержит в знаменателе разность двух величин.
Если эти величины близки, то относительная погрешность разности может значительно превышать относительную погрешность каждой величины в отдельности. Воизбежание потери точности по возможности следует избегать такихизмерений.4) При умножении и делении величин складываются относительные погрешности. При возведении в любую степень n относительнаяпогрешность изменяется в n раз.5) Во всех случаях, когда расчетная формула (10) имеет видξ = xα⋅ yβ⋅ zγ⋅...,где α, β, γ – показатели степени, проще и полезнее сначала вычислитьне абсолютную, а относительную погрешность величины ξ .
Нетруднопоказать, что она равнаΔxΔyΔzεξ = α ⋅+β⋅+γ⋅+ ... = α ⋅ ε x + β ⋅ ε y + γ ⋅ ε z + ... (12)xyzАбсолютная погрешность Δξ вычисляется затем простым домножениемε ξ на значение косвенно измеренной величины ξ :Δξ = ε ξ ⋅ ξ .(13)Такая последовательность вычислений позволяет оценить, какаяиз измеренных величин даёт наибольший вклад в погрешность, а такжеснижает вероятность арифметических ошибок, так как уменьшает количество вычислений при оценке величины Δξ .ПримерРассмотрим пример вычисления погрешности величины, заданнойнесколько более сложной расчётной формулой, нежели рассмотренныевыше.
Допустим, что было произведено косвенное измерение перемещения S при равноускоренном движении по прямо измеренным значениям начальной скорости, ускорения и времени движения:at 2.S = v 0t +2at 2Обозначим.S1 = v 0 t и S 2 =2Найдём вначале относительные погрешности составляющих S1 и S2:ε1 =- 13 -ΔS1 Δv 0 Δt=+;v0S1tε2 =ΔS 2 ΔaΔt=+2 ,S2atгде v 0 , t , a – средние значения измеренных величин.ЗатемопределимабсолютныепогрешностисоставляющихΔS1 = ε1 ⋅ S1 и ΔS2 = ε 2 ⋅ S2 . Сложив их, получим искомую погрешностьвеличины S:ΔS = ΔS1 + ΔS2 .2.4.1.
Оценка погрешности косвенно измеренной величиныпри однократных измеренияхЕсли в формулы для расчёта погрешностей косвенных измерений(11–12) подставить погрешности Δx пр , Δy пр , Δz пр , ... приборов, использованных при измерениях величин x, y, z, ..., то мы получим оценкупогрешности, вносимою в результат косвенного измерения приборами.ПримерПусть для определения плотности вещества однократно измеряются масса и размеры некоторого однородного параллелепипеда. Проведённые прямые измерения дали результаты, представленные в таблице 3.Таблица 3m, гa, ммb, ммc, ммρ, г/см34,312,114,316,61,497В этом случае можно определить только погрешность, вносимую приборами.Приборные погрешности весов и штангенциркуля, которыми былипроведены эти измерения, приведены таблице 1: Δmпр = 0,1 г, Δlпр = 0,1мм. Расчётная формула для плотности, очевидно, имеет видρ=m, или ρ = m1 ⋅ a −1 ⋅ b −1 ⋅ c −1 .abc- 14 -В данном случае удобнее сначала найти относительную погрешность, вносимую приборами, используя формулу (12):Δm пр Δa пр Δbпр Δc прпрερ =+++.mabcПодставим численные данные:ερпр =0,1 г 0,1 мм0,1 мм0,1 мм+++= 0,023 + 0,008 + 0,007 + 0,006 = 0,0444,3 г 12,1 мм 14,3 мм 16,6 ммТеперь легко найти и абсолютную погрешность, вносимую приборами:Δρпр = ερ ⋅ ρ = 0,044 ⋅ 1, 497 г / см 3 = 0,0657 г / см 3 .Результат записывается в видеρ = (1,50 ± 0,07) г / см 3 (5%).Правила округления приведены в разделе 2.5.1.2.4.2.
Оценка погрешности косвенно измеренной величиныпри многократных измеренияхИзмерения, проведённые многократно, позволяют оценить вклад впогрешность косвенно измеренной величины не только погрешностиприборов, но и влияния случайных факторов процесса измерений.Обычно в первую очередь вычисляется погрешность величины ξ,вносимая приборами, во вторую – случайная погрешность измерений, в третью – полная погрешность величины ξ (погрешность эксперимента).Провести оценку погрешности измерений можно двумя способами. Чтобы их проиллюстрировать, приведём пример конкретного эксперимента, сопряжённого с косвенными измерениями.ПРИМЕР 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
