Г. Кристиан - Аналитическая химия, том 1 (1108737), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Рассмотрим число 92067. Это число имеет пять значащих цифр независимо от того, где стоит запятая. Например, это может быть 92067 мкм, 9,2067 см, 0,92067 дм или 0,092067 м — все эти величины имеют одно и то же число значащих цифр. Они просто представляют разные способы выражения одного и того же результата измерения (в разных единицах). В последнем случае нуль между запятой и цифрой 9 лишь указывает место расположения запятой. Если нуль расположен после запятой, то всегда понятно, является ли он значащей цифрой или просто указывает на положение запятой. Например, в числе 727,0 нуль не является указателем положения запятой и представляет собой значащую часть числа. Но если нуль находится перед запятой, то интерпретация его роли может быть неоднозначной. Нуль, предшествующий запятой, всегда значащий, если он расположен между двумя ненулевыми цифрами (как в приведенном примере с числом 92067).
Однако для числа, записанного как 936600, невозможно определить, является ли один из нулей, или оба, или ни один нз них простым указателем положения (предполагаемой) дробной части либо представляет собой значащую составную часть результата измерения. Поэтому в подобных случаях лучше всего записывать число в экспоненциальной форме, указывая перед показателем степени только значащие цифры.
Например, число, записанное как 9,3660 . 10з имеет пять значащих цифр. В этом случае число 936600 следует считать имеющим шесть значащих цифр. Пример 3.1 Укажите, сколько значащих цифр содержат числа, записанные в приведенной ниже форме. Укажите в них нули, являющиеся значащими. 0,216; 90,7; 800,0; 0,0670 Реиюение 0,216 90,7 800,0 0,0670 три значащие цифры три значащие цифры, нуль значащий четыре значащие цифры, все нули значащие трн значащие цифры, только последний нуль является значащим Значимость последней цифры результата измерения можно проиллюстрировать следующим образом.
Предположим, каждый студент в группе измеряет длину стержня, используя одну и ту же линейку. Линейка отградуирована с це- 3.4. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ: СКОЛЬКО ТРЕБУЕТСЯ ЦИФР? ной деления 1 мм. Можно выполнить измерение, округляя результат до 0,1 мм (считывая показание по положению конца стержня между делениями), но последняя цифра оценочная и потому неточная. Может быть получена, например, следующая серия результатов: 36,4 мм; 36,8 мм; 36,0 мм; 37,0 мм; среднее — 36,6 мм. Умножение и деление: мыслите относительными категориями Для многих измерений в запись результата включают одну цифру, которая является оценочной и потому недостоверна (в последнем примере это десятые доли миллиметра).
Эта цифра представляет собой последнюю значащую цифру числа. Все цифры, следующие за ней, лишены смысла. При умножении и делении неопределенность этой цифры переносится на конечный результат, ограничивая тем самым число его достоверных цифр. Результат умножения или деления содержит, по крайней мере, такую же относительную неопределенность, как и тот сомножитель (делимое, делитель), который обладает наибольшей относительной неопределенностью значения, т. е.
одно из чисел с наименьшим числом значащих цифр. Результат умножения или деления не может быть точнее наименее точного числа участвуюн1его в операции. Будем считать, что это число лимитирует точность результата. Если есть несколько чисел, участвующих в арифметических действиях и имеющих одинаковое и наименьшее число значащих цифр, то лимитирует точность то из них, у которого мантисса (число, состоящее из всех выписанных подряд значащих цифр) является наименьшей по абсолютной величине. Например, из двух чисел, имеющих по 3 значащих цифры — 0,0344 и 5,39, точность лимитирует первое (мантисса 344 меньше, чем 539).
Пример 3.2 В каждой следующей паре чисел найдите то, которое лимитирует точность при операциях умножения и деления: а) 42,67 или 0,0967; б) 100,0 или 0,4570; в) 0,10 или 0,0067. Решение а) 0,0967 (оно имеет три значащие цифры, а 42,67 — четыре). б) 100,0. Оба числа имеют по четыре значащие цифры, но мантисса первого равна 1000, а второго 4570. Соответственно, у первого числа неопределенность значения — 1 часть на 1000, а у второго — 1 часть на 4570. в) 0,10.
Оба числа имеют по две значащие цифры, но неопределенность значения первого — 1 часть на 10 (10;4), а второго — приблизительно 1 часть на 70. ОБРАБОТКА ДАННЫХ И ЭЛЕКТРОННЫЕ ТАБЛИЦЫ Пример 3.3 Приведите результат следующих вычислений с наибольшим возможным числом значащих цифр и укажите, какой из участников арифметических действий лимитирует точность результата. 35,63 0,5481 005300 1000/ 88 547(15780/ 1,1 689 Решение Точность лимитирует число 35,63.
Поэтому результат надо представить как 88,55',4, а производить вычисления более, чем с пятью значащими цифрами (одну цифру оставляем в качестве запасной и затем округляем), смысла не имеет. Обратите внимание, что число 100'.4 служит только для перемещения позиции запятой и, следовательно, является точной величиной (можно сказать, что оно содержит «бескоиечно много» значащих цифр). Заметьте также, что число, лимитирующее точность, характеризуется относительной неопределенностью не менее чем 1 часть на 3600, поэтому и результат будет иметь относительную неопределенность в лучшем случае 1 часть на 3600, или порядка 2,5 на 8900. Таким образом, при выполнении вычислений следует не только правильно представить результат (с точностью до последней значащей цифры), но и оценить величину его неопределенности.
Конечный результат должен состоять только из значащих цифр. При выполнении измерений следует стремиться к тому, чтобы все результаты, используемые для расчетов, характеризовались приблизительно одной и той же относительной неопределенностью значений. Если мантисса конечного результата по абсолютной величине меныие мантиссы числа, лимитирующего точность вычислений, то к результату вычислений следует дописать еще одну цифру для того, чтобы не снизить неопределенность его значения. Эту цифру пишут в виде нижнего индекса, чтобы подчеркнуть, что она менее надежна.
Пример 3.4 Приведите результат следующих вычислений с максимальным числом знача- щих цифр. Укажите число, лимитирующее точность вычислений. 42,68 891 132,6 0,5247 Решение Лимитирует точность число 891. Поскольку мантисса результата меньше, чем мантисса этого числа, представим результат как 546чи Последняя цифра записа- 3.4. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ: СКОЛЬКО ТРЕБУЕТСЯ ЦИФР? на в виде нижнего индекса, чтобы показать, что она менее надежна.
Лимитирую- щее точность число имеет относительную неопределенность порядка 1 части на 900, а результат — не менее 6 частей на 5500 (0,6 части на 550). В ходе операций умножения и деления допускается округлять результат до соответствующего числа значащих цифр на каждом этапе вычислений. Однако для промежуточных результатов все же лучше сохранять по одной запасной цифре и затем округлить конечный результат до нужного числа значащих цифр. Сложение и вычитание: мыслите абсолютными категориями При сложении и вычитании с цифрами обращаются иначе, чем при умножении и делении.
Здесь мы имеем дело не с относительными, а с абсолютными неопределенностями. В этом случае число значащих цифр результата зависит от того, где расположены десятичные запятые в записи исходных величин. Число десятичных знаков результата сложения или вычитания равно наименьшему их числу среди участников этих арифлзетических действий. Предположим, мы рассчитываем молярную массу вещества АйзМоО4 из относительных атомных масс составляющих его элементов: Атомная масса молибдена известна лишь с точностью до 0,01 а.е.м.
Поэтому молярная масса любого соединения, содержащего молибден, не может быть известна с более высокой точностью. Следовательно, максимальная точность, с которой мы можем представить значение малярной массы АйзМоО4, — 375,68. Перед сложением или вычитанием все слагаемые (уменьшаемое, вычитаемое) можно округлить в соответствии с числом десятичных знаков наименее точно известной величины. Но, как и в случае умножения или деления, лучше оставить по одной запасной цифре и по окончании вычислений округлить ее.
Подводя итог обсуждению значащих цифр, отметим два момента. Первый: с какой точностью вам нужно знать конечный результат? Если, к примеру, вам необходимо знать только, содержит проба: 12 или же 1388 определяемого компонента, то все требуемые измерения (и вычисления) достаточно проводить с двумя значащими цифрами. Если масса навески составляет около 2 г, нет необходимости взвешивать ее точнее, чем до 0,1 г. И второй: с какой точностью вы А8 А8 Мо О О О О 107,87 ~ 0 107,87,' 0 95,94 15,99 ~ 94 15,99, 94 15,99 ', 94 15,99 ~ 94 375,67 , '76 ОБРАБОТКАДАННЫХ И ЭЛЕКТРОННЫЕ ТАБЛИЦЫ можете проводить измерения? Очевидно, что, если вы можете измерить значения оптической плотности окрашенного раствора лишь с тремя значащими цифрами (например, значение А = 0,447), то нет смысла измерять массу навески точнее, чем до трех значащих цифр (например, б,б7 г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
