Кирпичёв В.Л. - Беседы о механике (1107612), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. в центры, имеющие букву г в своел1 названии н принадлежащие телу 1. Слагающая 1„1„идущая в неподвижную точку тела 1, дает возможную работу, равную нулю, н 68 гавноввсив плоских мвханизмов остается только работа слагающей Я, для перемещения точки аг, принадлежавшей телу г. Применяя теперь начало возможных перемещений, мы должны написать, что для рзвнозесия необходимо и достаточно, чтобы сумма работ сил Р, и 9, для перемещений точек их приложения была равна нулю. Но мы вели построение так, что оставшиеся слагающие Р, и ф могут быть рассматриваемы как приложенные к точке а1, т. е.
к общей точке звеньев а и ~. Каково бы ни было перемещение втой точки, оно остается одно и то же как в случае, когда мы рассматризаемточкугтпринадлежащей телу а, так и в случае, когда мы рассматриваем ее принадлежащей телу 1. Следовательно, для равновесия необходимо и достаточно, чтобы слагающие Я, н Р, были численно равны между собою и направлены одна противоположно другой. Тогда сумма работ их будет равна нулю. Таким образом, пользуясь нашим построением, всегда можем узнать, уравновешиваются ли наши силы Р, Я или нет, а также можем, зная силу Р, приложенную к звену г, найти, какая сила ~ должна быть приложена к звену а, чтобы уравновесить силу Р. Соверщенно ясно, что здесь вовсе не требуется и не нужно, чтобы самые силы Р и Я были равны и прямо противоположны.
Это было бы необходимо, сели бы обе они были приложены к одному и тому же твердому телу. В нашем же случае необходимо и достаточно, чтобы были разны и противоположны слагающие Рп ф, идущие з общую для обоих звеньев точку И. При этом разложение сил должно быть так сделано, чтобы другие слагающие Р„9, проходилк через центры вращений тех тел, к которым этп слагающие приложены. 29.
Замена силы, действующей на одно звено механизма, силой, приложенной к какому-нибудь другому звену. Теперь мы легко найдем, как должна быть сделана такая ззмена, чтобы при этом равновесие не нарушилось. Пусть имеем механизм, находящийси в равновесии. Из всех сил, к нему приложенных, выберем одну Р, действующую на звено а. Мы желаем заменить силу Р другой силой, приложенной к звену 1. Длк нахождения этой заменяющей силы сначала найдем с помощью построения предыдущего параграфа такую силу ф, ОБЩЕЕ УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ 69 которая, будучи приложена к звену 1, уравновешивает силу Р. Очевидно, равновесие нашего механизма не изменится, если к числу снл его прибавим две равные и противоположные силы О,— ©, действующяе на олно и то же звено г.
Но, рассматривая теперь совокупность сил Р, О, — О, видим, что две из них, Р н О, взаимно уравновешиваются и могут быть отброшены. Остается одна сила — Я, действующая на звено г'. Оиа заменила первоначально данную силу Р, приложенную к лругому звену у, причем равновесие не нарушилось, Итак, мы решили задачу, поставленную в заглавии этого параграфа. В учении о равновесии механизмов она соответствует такой задаче статики твердого тела: силу, действующую в точке А тела, перенести в точку В без нарушения равновесия. 30. Общее условие равновесия произвольного числа сил, действующих на звенья механизма. Эту задачу всего лучше решить следующим образам. Выберем олно произвольное звено мехайпзма и перенесем на него без нарушения равновесия, как талька что было показано, все силы, действу~ощне на все звенья механизма.
Тогда будем иметь совокупность снл, действующих на одно и то же звено, т. е. на одно н то же твердое тело. Равновесие механизма этим путем приводится к более простой и знакомой нам задаче: равновесию сил, действующих на одно и то же тело. По правилам статики твердого тела заменим все эти силы олной равнодействующей. Но условиями равновесия твердого тела, ичсющега возможность вращаться вокруг одной оси, будет равенство нулю моментов внешних сил относительно этой оси. Следовательно, для равновесия механизма необходимо и достаточно, чтобы найденная равнодействующая проходила через мгновенный центр того звена, к которому она приложена. В этом и заключается общее решение вопроса о. равновесии плоских механизмов, Особенно простая и изящная форма условна равновесия сил, приложенных к точкам плоского механизма, дана Н. Е.
Жуковским н известна под названием рычага Жуковского. Она основана на построении так называемого плана скоростей точек механизма. Если, зная закрепленное звено, задаются скоростью одной из точек механизма, направляя ее перпендикулярно к радиусу, то РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ соединяющему эту точку с центром вращения звена, на котором она лежит, то можно последовательно построить скорости всех точек, так как направления нх будут перпендикулярны к радиусу, соединяюсцему эти точки с центром вращения соответствующего звена, а величины лля точек одного и того же звена пропорциональны Р длине этого радиуса. Перенося построенные таким способом.скоас а рости в одну точку О, называеа' а мую полюсом, получим план скоростей точек механизма.
Пусть к точкам А, В„С ме- ханизма приложены силы Р, сс', сс. Построим иа плане ско- О 6 ростей скорости этих точек в виде отрезков Оа, ОСс, Ос В (фиг. 42). Приложим силы Р, с Я, Я в точках а, Сс, с. Обо- у значнв углы этих сил с напраВг Я влениями Оа, ОЬ, Ос через а, получим для проекций Фяг. 42. Р, д, г перечещеннй точек А, В, С иа направления сил величины, пропорциональные Ол соз а, ОВ соз р, О соэ у. Следовательно, по началу возможных перемещений уравнение равновесии механизма иапишегся в виде; РВ1 соз и+ ~чпэ сОБ Р+Й7УО сОБУ вЂ” О. Если силы Р, О, Р повернем вокруг точек а, Ь, с в Одном и том же направлении нэ прямой угол, не меняя нх величин, то для повернутых сил Р', т„г, К произведения Ртл соз а = Р' Оа Б! и а', ЯОВ соз ~ = <7 Об яп ~', стас сОБ ~ = сс Ос Б!п '~' представят моменты сил относительно центра О.
Следовательно, условие равновесия выражает равенство нулю суммы моментов сил Р', О', Г относительно центра О Если будем рассматривать план скоростей Опас как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса О, то условием его равновесия под и евшие головин гхвновисия и требуется определить силу 1,1, приложенную к ползуну В, направленную вдоль рейки, по которой он скользит, и удержи- 'В а вающую механизм в ра- Фиг. 43. вновесни.
Так как скорость пл пальца А направлена перпендикулярно" к криво- шипу, з скорость ползуна  — вдоль рейки хх, то центр вращения К шатуна В найдется на пересечении продолжения крввошипа ОА и перпендикуляра к рейке в точке В. Так как скорости пл и пв пропорциональны КА и КВ, то на плане скоростей (фиг. 44) треугольник Оаб будет подобен треугольнику КАВ и с~прона а)У будет перпендикулярна АВ. Следовательно, задавшись произвольной величиной отрезка Оа, легко построим отрезок ОУ, изображающий скорость точки В.
Построив повернутые силы Р' и Д', видим, что для рзв- ') См. Лой панский Л. Г. я Лурье А. И., Курс теоретической механики, ч. 11, стр. 255. Гостехизхат, 1948, (/Урим. рад.] действием сил Р', О', Я' и будет равенство нулю суммы их моментов около центра О. Отсюда и получается вывод: Условия равновесия механизма, находящегося под действием некоторой системы спл, эквивалентны, условиям равновесия плана скоростей точек приложения спл, рассматриваемого как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса и находящийся под действием системы спл, повернутых по отношению к данным на прямой угол с сохранением их величины и приложенных к точкам плана, соот- /1 ветствующнм точкам / приложения сил на ме- / ханпзме ').
/ Пусть, например, дзн кривошипно-шатунный механизм (фиг. ~х ФЗ), к пальну А криво- шипа которого приложена данная сила Р, ГАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ новесия рычага Оаб резкция Р' Опоры О должна проходить через точку пересечения линий действия сил Р' и Я'. Сле- довательно, по данной силе Р' и лир~ нпям действия сил Я' и Я' без труда можем построить замкнутый силовой й' треугольник (фнг, 45), из которого и находится сила О', равная по величине искомой силе О. :я Читатель видит, что в этой беседе а' для плоских механизмов выведены пра- вила перенесения спл, правила сложеФиг.
44. ння и разложения нх, условия равновесия, н все этп вопросы решены в том же духе и в,той же ролноте, как 0' это давно было сделано для твердого ч тела. Предлагаем читателю в качестве Фиг. 45. упражнения решить следу|ощие задачи: 1. Найти условия равновесня сил Р, Я (фиг. 46), дейсгвующпх нз звенья а, с шарнирного четырехугольника. Фнг. 47. Фиг.
46. 2. Найти условия равновесия сил Р, ь> (фиг. 47) ва ннверсоре Липкина. ТРЕТЬЯ БЕСЕДА ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ ЗЕ Применение начала возможных перемещений. В первой беседе мы видели, что если для составления условий раннонесия применять начало возможных перемещений, то нсе силы связи исключаются, и мы можем совершенно игнорировать их; для условий равновесия они не нужны.
Но иногда бывает необходимо знать силы связи для других целей. В техническом деле, при построении машин н мостов, силы связи часто определяют дзвления на опоры, и их нужно знать для расчета прочности и устойчивости опор. В машинах силы связи, проявляющиеся в форме давлений на валы и другие подвижные части, вызывают трение, величина которого иногда зависит от величины давления. Поэтому нужно знать силы связи, чтобы вычислить величину трения н определить степень полезного действия машины. Но и в тех случаях, когда нужно знать силы связи, нельзя сказать, что исключение сил связи, произведенное с помощью начала возможных перемещений, было бесполезно.
Напротив того, оно и здесь приносит большую пользу, а именно тем, что рааделяет сложный вопрос на два вопроса, решаемые отдельно: а) на определение условий равновесия, т. е. нахожление таких активных сил, которые уравновешиваются в системе, б) на определение сил связи. Если бы мы решалн оба эти вопроса сразу без разделения, то имели бы задачу с большим числом связанных между собою неизвестных. А известно, что математические трудности сильно возрастают с увеличением числа неизвестных, связанных межлу собою. Всякое разделение неизвестных на две или большее число независимых групп влечет за собою значительное облегчение вопроса.