Кирпичёв В.Л. - Беседы о механике (1107612), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

и находвщнеся в равновесии. Пусть соответствующие пм проекции возмозкных перемещений будут' Р Чг ° ° РмЧ~ Тогда условия равновесия будут пмсзь форму: Рр+Ор+Рг+...+Р1Р, +О,д, +Ат,г,+... =О; (2) число их равно числу степеней сист мы. Вообразим себе ~акую новук1 группу внешних сил Р,,О,,КМ..., чго рабюта для возможных перемещений их точек приложения, ~. е.

работа РЕР,+ О.,)з-(-йзгз+..., равна рабе~с спл группы „Оп йп г. е. Поникпм, ч1о супгес~вую~ равсис~ва Рьн +Ю Ч +Л ° +... =Рай,+О,),+Рег,+ .. „(З) удовлетворяк1щиеся для всех агыможных персмещснпй Гругша сил Р.„О, Км... (А) может отличаться о1 спл Ро Я„РМ., как по числу сил в группе, так и ио величинам, направлениям и точкам приложении сил. Единственное гребованис состоит в выполнении условий (д). Очевидно, мы можем в нашей механической системе заменить всю группу сил (В) новой группой (А), н равновесие прн том не нарушится, так как все условии, устаиавлнвае- ПРИМЕРЫ мые началом возмокиых перемещений, Г>удут попрежнему выполнены. Действительно, эти условия имеют форму (2), и такие ураннения будут попрежнему удовлетворены, только в них вместо суммы Р>р>+ с>>У>+й>Г>+...

будет стоя>ь равная ей сумма 2Р2 + ч 222+ )~2Г2 + Итак,две группы спл эквиваленгны на данной системе, если работы пх для всякого возможного перемещения системы одинаковы. Вот вчем состоят общий закон эквиваленп<ости сил для любой механической системы. Из него сейчас же получаются условия, определяющие эквивалентные системы спл для различных частных случаев. 19. Примеры. Начнем со случая свободного тверд о г о 2 е л а. Здесь имеем шесть степеней свободы, т. е. шесть различных неприводимых возможных перемещений трп поступательных перемещения по трем координатным осям и >рн вращения около трех координатных осей Для каждого из этих перемещений лвс эквивалсн>ные системы снл должны даваясь одинаковые работы.

Всего получим шесть условий, разделяя>- шихся на две группы уравнений, по >рп в каждой группе. Возьмем одно пз условий, относящихся к группе поступательных перемещений, например условие для перемещений по оси х, Рабе>а сил для такого перемещения равна величине самого перемещен>ш, умноженной па сумму проекций сил для оси х. Для равенства работ необходимо, чтобы эквивалентные системы спл имели равными суммы проекций иа ось х.

Такие же условия получим и для двух других осей. Переходим к условиям для вращательных перемещений, мапрпмер для вращения около осп х 1>1>я выше 2>оказали ($ 12), ч>о рабо>а вншvнпх сил для >акого перемещения равна произведению из угловой величины перемещения на сумму моментов сил опюс>п ельно осп х. Условие рав.нет ва > акпх работ для двух эквивалентных систем сил требует, чтобы обе системы имели одинаковые суммы морентов относительно оси к. ПодоГ>ные же два уравнения получим для осей у, г. нлчхчо Возможных псгеывг![гний Итак, необходимые.и досгаточныс условия для того, чтобы две спсаемы сил, приложенные к свободному твердому телу, были зквивалентпьпш, заключаются в слсдуизщсм: Этн две спет.мы сил должны иметь одинаковые суммы проскций и одинаковыс суммы момыпов для трех координатных осей.

Возююм один из случаев связанного твердого т е л а. 11усть единственное перемещение, дозволяемое связями, есть вращение около некоторой оси. Эквивалентные системы долакны удовлетворя~ ь только одному условшо. они должны давать одшиковые работы для ззого единственного перемен?ения, Г1озтому необходимо и достаточно, чтобы зти две системы сил имели одинаковые суммы моментов для оси, около которой связи дозсолян)т вращение.

В виде примири приложения обьцсй теории об зквивалентиых системах сил ьюжно разобрать условия, при которых лве пары, ириложенныс к свободному твердел у телу, могут считаться зквнвалснтпьпш. Так же легко вывести условие, при соблаздсиип которого данная система сил, прилоятснных к свободному твердому телу, ьюжет бьп ь ааменспз одной силой. Как известно, зто условие состоит в выполнении уравнения йХ+Л? +ЖЕ- О, гдс Х, ?, Š— сумма проекций длиной системы с~л, а ь, М, Ф вЂ” суммы моментов их для трех координщных осей х, у, л.

Пользуясь той же общей теорией, сейчас докажем, что лара сил пе пожег быть замена олиой равнодействующей силой. В самом деле, рябо~и иьры для всякого поступательного движения равна нулю, а; к к к ргбота одной нз сил, составляющих пару, уни ~тожастся работой лругой силы. Между тем работа равнодействуюгцсй свлы не будет пулем для всякого поступательного движения. Следовательно, пара п сила не могут быть двумя зквшюлензными системами.

В следующей беседе мы приведем еще несколько примеров приложения общей теории эквивалентных, т. е, равнодейсгау нищ.х, систем сгл. 20. Устойчивое н неустойчивое равновесие. Простейшим примером устойчивого рарновссия нам послужит тяжелый шарик, находящийся внутри чашки (фиг. 26, /), Нижнги точка чашки устойчиВОе н иеустойчиВОе Равновесие 49 А представляет положение устойчивого равновесия для этого шарика; если мы немного отклоним шарик пз этого положения и затем отпустим его, то шарик будет колебаться около положения А. То же произойдет, если мы сообщим небольшой толчок этому шарику, когда он находится в положении А.

Напротив того, шарик, расположенный, как на фпг. 26, 11, в верхней точке В выпуклой поверхности, находится в неустойчивом положении. Наконец, тяжелый шарик, лежащий иа горизонтальной плоскости, находится в положении безразличного равновесия. 1 11 111 Фиг. 26. Эти общеизвестные понятия о ха р акте ре равновесия нуждаются в некоторых дополнениях. Вместо обыкновенной чашки, как на фиг. 26, предположим, что мы имеем дело с цилиндрической поверхностью; пусть на той же фигуре ВАС представляет направляющую этой поверхности, а образующей ее будет горизонтальная прямая. При отклонении шарика из А по направленшо такой образующей мы не ааметим в нем стремления вернуться к первоначальному своему положению, т.

е. будем иметь случай безразличного равновесия. При отклонении шарика по поверхности цилиндра для всех других направлений мы будем илееть случай устой шзого разновески. Итак, х а р а к т е р р а в и овесия может быть различным для разных наи р а в л е н и й отклонения от равновесного положения. Вообразим себе обыкновенное седло и поместим шарик в средней точке седла.

И здесь характер равновесия будет различный для отклонений разного направления. При некоторых отклонениях шарик повышается; предоставленный самому 4 В. Л. Кврпвчев 50 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ себе, он будет стремиться опускаться и вернуться к первоначальному положению равновесия, — мы будем иметь дело с устойчивым равновесием, При других направлениях отклонения шарик понижается, и тогда равновесие оказывается неустойчивым. Итак, и здесь характе р равновесия разный для различных направлений отклонения от равновесного положения. Положение равновесия вообще называетсн устойчивым, если оно устойчиво при отклонениях во всех возможных направлениях при условии достаточно малой величины этих отклонений п при достаточно малых начальных скоростях.

Иногда характер равновесия изменяется с переменой величины отклонения от равновесного положения. Так, для чашки, имеющей в разрезе форму фпг, 26, УП, положение шарика в А оказывается устойчивым для небольших отклонений или небольших толчков. Если же отклонения нли толчки велики, то шарик будет совсем выброшен из чашки и не вернется к точке А. Подобный случай иногда замечается при рассмотрении устойчивости судов на воде.

Здесь приходится заннматьсн, главным образом, поперечными наклонениями судов и поперечными нх качаниями. Иногда оказывается, ч го судно, которое проявляет хорошую устойчивость при малых углах наклонения, делается совершенно неустойчивым прв больших углах наклоненяя, например при углах, ббльшнх 55е; при отклонении на такой угол судно должно будет перевернуться. Это может получиться при известных условиях для плоскодонных судов. Заметим, что в практических конст рук пнях допустимы только случаи устойчивого равновесна, притом устойчивость должна соблюдаться для всех направлений отклонения.

С технической точки зрения имеется существенное различие между равновесием устойчивым и двумя другими видами равновесии, "эти последние в технике даже и не считаются равновесием. 21. Критерий для определения характера равновесия. Й1ы не будем разбирать вопрос о харакзере равновесна во всей его полноте п общности. Ограничнмсн несколькнмн соображениями, которым не придаем значения строгих доказательств, но онн хотя бы Отчасти разъяснят этот важный вопрос. опевдвлвнив хАРАктеРА РАВноввсия Вернемся к лагранжеву доказательству начала возможных перемещений.

В нем фигурировал груз и, который один заменял и представлял собою все акгивные силы, приложенные к системе. Мы рассматривали бесконечно малые перемещения, дозволяемые связями. В случае равновесия высота груза и не менялась при таких бесконечно малых персмепгеннях. Теперь предположим, что перемещения, — хотя и очень малые, но конечные, Опять мысленно перепробуем все перемещения, дозволяемые связями, начиная с положения равновесия, и будем следить ва грузом и. Предположим, что эта проба покажет следующее положение груза и для равновесного положения есть с а м о е низкое из всех других положений, занимаемых им при наших пробах.

Тогда мы можем утверждать, что это положение равновесия будет устойчивое. Если же при наших пробах окажется, что положение груза и при равновесии есть самое высокое из всех положений, занимаемых им при наших пробах, то тогда, естественно, что это полоигение равновесия неустойчивое. Попрежнему будем называть активные силы через а соответствующие им проекции бесконечно малых возможных перемещений через у, д, г,... Тогда, как мы видели в $ 8, вследствие таких перемещений получится пони кение груза, равное ну+а+..., т. е.

Характеристики

Список файлов книги