Кирпичёв В.Л. - Беседы о механике (1107612), страница 15
Текст из файла (страница 15)
50) Фвг. 50. нужно 'разрезать четыре бруска Е, 2, 3, 4 н заменить их силами, которые причислить к внешним силам. Если начнем с узла А и будем последовательно отрезать узлы в порядке букв А, В, С, П, Е,..., то в каждом узле будем иметь только две неизвестные силы связи. Пусть К (фнг. 51) †од из узлов; Р, Я, )с — известные силы, Х, г' — неизвестные. Для нахождения пх рассмотрим Фнг. 51. следующие перемещения, возможные для узла К, который сделался свободным вследствие уничтожения связей.
Чтобы найти неизвестную силу Х, вообразим для узла К перемещение по направлению х, перпендикулярному к другой 5О ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ неизвестной сале у. другими словами, напишем, что сумма проекций всех спл на ось х равна нулю. В это уравнение не войдет сила г'; она исключится во время составления уравнения, которое будет содержать только одну неизвестную Х. Чтобы найти неизвестную У, вообразим себе, что точка К получила перемещение по направлению у, перпендикулярному к другой неизвестной Х.
Эта последняя исключается во время составления уравнения равновесия, и опять получим уравнение, содержащее только одну неизвестную. 4. Имеем шарнирную систему (фиг. 52) АВСВИ шарниры А н В соединены с неподвижным устоем. К звеньям ВС, ВС приложены силы Р, Я, уравновешпвающнеся на этом механизме. Мы желаем определить силу связи Х, действующую по бруску АВ. Уничтожим эту связь, разрезав брусок АВ, и заменим ее силой Х, С уничтожением связи в системе оказываются но- вые возможные перемещения, которые Р прежде не дозволялись.
Например, тед перь возможно врагцение бруска ВС около точки С при неподвижности брус- Ф ка Сст. Вот к этому перемеигению и д применим начало возможных перемеще- ний. Это приведет к составлению уравФиг. 52. пения равновесии рычага ВС, имеющего опору в С и подверженного действию внешних снл, включая Х в их число. Отсюда найдем Х.
Силу Х можно найти и другим приемом. С уничтожением связи АВ мы получаем для нашей системы еще следующее возможное перемещение. бруски ВС и СО могут, не изменяя своего взаимного расположения, поворачиваться около оси Е>. Применим начало возможных переиещений к этому движению; другими словами, напишем уравнение равновесия рычага ВСЮ, для которого Й есть ось вращения и к которому приложены внешние силы со включением Х в их число. Из этого уравнения найдем Х. 5.
Рассмотрим ворот с зубчатой передачей (фнг. 53). Сила Р, действующая на рукоятку Е, уравновешивает груз Я, под. вешенный к барабану ворота; между осью рукоятки и осью ворота имеется зубчатая передача. Ранее (стр. 29) иы видели, 81 ПРИМЕРЫ что для этой системы получается условие равновесия, содержащее только силы Р и Я, а все давления опор на осп вращения и все давления мс кду зубьями сцепленных колес исключаются.
Теперь желаеч найти давление Х, которое передается от зубьев больного колеса на зубья среднего колеса. Фнг. 53, Для этого унпчтоягим связь между этимп колесачп, т. е. мысленно представим себе, что зубья среднего колеса сломаны. Вследствие этого делается возможным некоторое переисщенис, которое прежде не дозволялось, а именно. теперь возне кпо вращение осей у и 2 прн неподвижности оси 3. Применяя начало возможных перемещений к этому движению, получим искомую силу Х. 6 В.
Л Кирпичвв ЧЕТВЕРТАЯ БЕСЕДА НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА ЗЗ. Доказательство начала Даламбера. Во главу динамики нужно поставить так называемое начало Даламбера— общую теорему, которая указывает, как должны быть составлены уравнения движения для всякой механической системы. Эта теорема была найдена Даламбером, который заметил, что законы движения и уравнения движения похожи на законы равновесия и уравнения равновесия.
Теорема и высказывает, в чем именно состоит это сходство. Мы проще всего придем к ней, если начнем с рассмотрения равновесия и движения одной свободной (несвязанной) материальной точки. Все касающееся одной точки получится с наибольшим удобством, если мы введем три координатные оси х, у, г и будем разлагать по этим осям как силы, так и движение. Сначала предположим, что точка находится в равновесии; необходимые и достаточные условия для равновесия заключаются в том, что суммы проекций сил, приложенных к ней, должны быть равны нулю для каждой из координатных осей. Обозначая суммирование знаком Х, получим эти условия в форме: ХХ=О, Х) =О, ЕЛ=В.
Перейдем теперь к движению, которое разложим на три движения по трем осям координат. Назовем массу точки через ла, а переменные координаты ее — через х,у, г. Их изменения будут представлять перемещения для трех составляющих движений, направленных по осям. Вторые производные пах Лая Лая этих координат, взятые по времени т. е. — — — булга ' лаа ' лга доклзлтхльство нлчллл длллмввва 83 дут ускорениями трех составляю1цих движений, направленных по координатным осям.
Будем применять ньютоново обозначение, которое очень удобно и состоит в следующем: производная п о в р е м е н и от какой-нибудь величины а будет изображаться точкой, поставленной над а; вторая же произ. водная изобразится двумя точками над той же буквой а. Тогда наши ускорения по координатным осям обозначатся через х, у, г.
(9) Ио мы знаем, что ускорение прямолинейного движения равйо силе, действующей по направлению движения, разделенной на массу точки. Следовательно, ускорения для наших трех прямолинейных движений будут: Приравнивая эти последние величины выражениям (9), изображающим те же ускорения, получим: 1 ч - ! - 1 — ~а Х= х, — л,'г =у, — ~~~Р 2= г, или ~Х вЂ” ах=О, .)'"У вЂ” шу =О, ~ЗŠ— юг=О. (10) Это будут уравнения движения материальной точки. Они похожи на уравнения равновесия (8) и отличаются от ннх лишь прибавочными членами: — глх, — ту, — ии. Условие однородности формул указывает, что эти прибавочные члены должны быть одинаковой размерности с силами; и том жо можно убедиться и рассматривая размерности множителей т и х. Итак, на этн члены можно смотреть как на некоторые силы, конечно, фиктивные, несуществующие; однако введение таких воображаемых сил даст нам большие удобства. Эги силы называются с и л а и и и н е р ц и и.
Можно рассматривать илн отдельно силы инерции для каждой из координатных осей, или полную силу инерции, т. е. результат геометрического сложения трех частных снл инерции, идущих по осям координат. И в том, и в другом случае сила инерции численно равна произведению массы на ускорение, а знак минус указывает, что 84 илчхло дхлхмвевх сила инерции направлена всегда противоположно ускорению движения.
Введя такое поня~не о силах инерции, мы еще более подчеркиваем сходство между уравнею ямп равновесия (8) и уравнениями движения (1О). От (8) переходим к (10), прибавляя к реальным силам еще силы инерции. Итак, у р а в н е н и я движения материальной точки получаются из уравнений равновесия с помощью прибавления сил инерции к реальным силам. Рассмотрим теперь не одну материальную точку, а произвольную механическую систему. Разделим ее на отдельные матернальные точки и для каждой точки введем кроме активных сил еще и все силы связи. Тогда каждая материальная точка может считаться свободной, и к ней можно применить вышеуказанные уравнения равновесия (8) и уравнения движения (10).
Уравнения равновесия будут иметь форму: ~ч„'Х+~Х =0, (11) где Х обозначает активные силы, а Х' — силы связи. Для каждой точки будем иметь три таких уравнения, соответственно трем координатным осям, и вся совокупное гь таких уравнений для всех точек определяет условия равновесия системы. Уравнения движения точки будут отличаться от (11) только прибавлением снл инерции и получат форму: ~~Р Х+ ~~ Х' — тх = О, (12) Их тоже будет по три уравнения для каждой материальной точки. Условия равновесии системы предсгавляют следствия всей совокупности уравнений (11) и могут быть получены из этой совокупности исключением сил связи.
КаковьТ бы ни были приемы, которые нужно применить для такого исключения, во всяком случае этп приемы могут быть применены для той же цели и к совокупности уравнений (12). Следовательно, какое бы уравнение равновесия мы ни получилн, всегда можно найти соответствующее ему уравнение движения, отлпчз|ощееся от уравнения равновесия только прибавлением сил инерции. В этом и состоит начало Даламбера, которое мы выскажем следующими словами: ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАЧАЛА ДАЛЕЕ!ВЕРА 85 Все законы равновесия, все теоремы равновесияи я, все уравнения равновесия могут быть применены к нахождению движения системы. Для этого нужно только в условиях равновесия прибавить силы инерции, и тогда мы получим законы, теоремы и уравнения, относящиеся к движен и ю системы.
Таким Образом начало Даламбера приводит задачи динамики, вопросы о движении, к более простым задачам статики, вопросам о рзвновеспи. Умея решать статические задачи, мы получаем в начале Даламбера общее правило решения вопросов о движении. До Даламбера яе имели такого общего правила и решали вопросы о двнжснпп систем частными приемами, придумываемыми особо для каждого отдельного вопроса.
Притом и число разре:ивиных вопросов о движении систем было очень невелико; например, Гюйгенс решит вопрос о качаниях сложного маятника. Только с Даламбера начинается динамика системы. Заметим, что, пользуясь началом Даламбера, мы получаем законы движения в очень разнообразных формах соответственно разнообразию законов равновесия. Законы. даваемые статикой, могут иметь или форму словесных правил, или теорем, илн получшотся в ниде геометрических построений, нли, наконец, в форне аналитических уравнений. Вводя силы инерции в этн теоремы, построения, уравнения и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
