Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Надо провести те же операции по поиску решения, что и в предыдущем случае.

Известно, что уравнение вида имеет решение

, .

Проведем операции по приведению полученного уравнения к справочному. Перенесем левую часть уравнения в правую с обратным знаком и разделим на массу. Обозначим где .

В результате получим уравнение .

Итак, решение уравнения получено.

В данном случае точка совершает собственные затухающие колебания:

(на выражениях для A и останавливаться не будем). Они определяются только начальными условиями.

Если возбуждение колебаний происходит не только в начальный момент времени (как в случае собственных колебаний), но и в течение всего процесса движения, то возникающие колебания называют вынужденными.

Пусть на рассмотренную ранее схему, находящуюся в бассейне, действует внешняя периодическая сила F = F₀ sin pt, которая играет роль "возбудителя колебаний" в течение всего времени движения.

Для реализации нужного движения изменим несколько схему: открепим от стенки второй конец пружины, уберем стенку и прикрепим этот конец к устройству, которое будет продольно двигать конец по закону гармонического колебания. Тогда у пружины появится гармонически изменяющееся со временем дополнительное удлинение, которое, будучи умноженным на k дает силу F = F₀ sin pt. Тогда уравнение движения точки массы m примет вид :

Проведем те же операции "по приведению", что и в предыдущих случаях. Получим стандартное дифференциальное уравнение

.

Используя справочник, находим, что решение этого уравнения в общем виде состоит из "короткоживущей" и затухающей со временем части и "долгоживущей" периодической части. Нас не интересует "затухающая" часть. Поэтому решение этого уравнения оставляем в виде только периодической части

x(t) = A sin (pt + ), где А = - амплитуда колебаний, , где , .

Решение получено. Далее его можно использовать и проводить дальнейший анализ с использованием математических операций. Так, если построить графики A = f(Р) (амплитуды как функции частоты внешней возбуждающей силы) (рис.16а), то получим кривые для разных значений . Видно, что при малых значениях в области частот около (собственной частоты колебаний точки) амплитуда резко возрастает. На рис.16. б приведена зависимость величины как функции частоты внешней возбуждающей силы.

Это явление носит название резонанса.

Р

ис.16а Рис.16 б

Можно найти ту частоту ( ), при которой амплитуда максимальна. Эта частота носит название резонансной частоты, а находится она с помощью условия , из которого находится . .

Итак, при решении проблем описания механического движения материальной точки в рамках заданной аксиоматики Ньютона требуется лишь "грамотно" расписать второй закон в применении к конкретной ситуации и преобразовать полученное уравнение к виду, заданному в математической литературе.

Теперь рассмотрим, как можно находить новые физически величины и новые законы движения материальной точки, используя аксиоматику Ньютона.

1.5.2.5. Примеры нахождения новых величин и законов движения материальной точки.

1.5.2.5.1. Уравнение вращательного движения материальной точки. Момент инерции точки. Момент сил.

Как уже было сказано, для любой материальной точки, движущейся в инерциальной системе отсчета, справедлив второй закон Ньютона .

Пусть точка совершает движение по окружности - это означает, что радиус-вектор этой точки сохраняет свою абсолютную величину, вращаясь с угловой скоростью и угловым ускорением

Проведем математическую операцию: векторно умножим радиус-вектор на левую и правую части уравнения. Имеем [ ] = [ ]. Проведем анализ левой части с проведением дальнейших операций и использованием имеющихся связей между величинами где . Назовем скалярную величину J моментом инерции точки.

Проведем анализ правой части: обозначим [ ] через и назовем моментом силы относительно точки (рис.17).

М омент силы (как векторное произведение радиус-вектора, проведенного из точки 0 (центр вращения) в точку действия силы (в точку m) на вектор этой силы) направлен вдоль оси вращения, на рисунке ‑ вверх. Линейное ускорение совпадает с направлением силы (в соответствии со вторым законом Ньютона), но, с другой стороны, линейное

Рис.17 ускорения связано с угловым ускорением : . Учитывая направление и , находим, что угловое ускорение направлено вдоль оси вращения вверх, т.е. совпадает с направлением момент сил.

Таким образом в результате математических операций с аксиоматикой Ньютона получаем новые величины J, и новый закон , который есть следствие закона Ньютона и гласит: в инерциальной системе отсчета произведение момента инерции точки на ее угловое ускорение равно моменту сил, действующих на точку.

Момент силы относительно точки 0 равен векторному произведению радиуса-вектора , проведенного из точки 0 в точку приложения силы на вектор силы . = [ ]. В данной задаче за точку 0 взят центр окружности, по которой вращается точка. В общем случае за такую точку может быть принята любая точка (см. далее). Направление момента сил находится по правилу векторного произведения.

Абсолютное значение момента силы , где угол между направлением радиуса вектора и направлением силы .

Итак, в результате математических операций из аксиомы получены как следствия новые физические величины и новый закон, характерный для вращательного движения материальной точки. При этом все новые величины можно измерить, т.е. они действительно величины физические.

1.5.2.5.2. Момент импульса материальной точки

Еще пример. Возьмем импульс материальной точки и векторно умножим его на радиус-вектор этой материальной точки, получим [ ]; обозначим это произведение через и назовем моментом импульса относительно точки.

Итак, =[ ] - вектор, направление которого находится по правилу векторного произведения.

По абсолютной величине момент импульса точки | | = | | | | sin , где угол между направлениями вектора и направлением вектора .

В качестве точки О может быть выбрана любая точка. Проведем еще математически операции, а именно: продифференцируем левую и правую части выражения для , получим

Проведем анализ частей правой половины

Рис.18

И так, получаем новый закон: - производная момента импульса материальной точки равна моменту сил, действующих на точку. Полученные величины измеримы, значит, они являются физическими величинами.

1.5.2.5.3. Энергетические характеристики материальной точки

Ранее в качестве примера был рассмотрен вывод теоремы об изменении кинетической энергии точки. Рассмотрим этот вопрос подробней. Дадим сначала

определение элементарной работы.

Элементарной работой А, совершаемой силой при элементарном п еремещении материальной точки S называется величина A = F S cos , где - угол между направлением силы F и направлением перемещения S. Работа на произвольном участке 1-2 (рис.19) равна сумме элементарных работ. Единица работы в СИ: 1 дж = (джоуль). Работа, произведенная в единицу времени называется мощностью. Единица мощности в СИ: 1вт= (ватт). Так определяется работа как физическая величина. Как математическая величина, рассмотренная ранее, элементарная работа dA равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения : Как скалярное произведение элементарная работа может быть выражена как , или, если известны проекции и на оси координат, как Работа может быть положительной и отрицательной. Знак работы определяется знаком при >0; при <0.

Полная работа на участке 1-2: ,

- тангенциальная составляющая силы , т.е. проекция силы на направление перемещения. Так как по определению мощность , то выражение для мощности имеет вид или

Р ассмотрим пример. Материальная точка m под действием силы тяжести переходит из точки 1 в точку 2. Траектория движения показана на рис.20. Работа, совершаемая силой тяжести при перемещении точки: , так как то Этот результат показывает, что работа силы тяжести не зависит от формы пути, а зависит только от начального и конечного положения. Такое свойство характерно для работ всех сил, являющихся функцией только координат (силы тяжести, силы упругости). Ранее мы назвали такие силы консервативными. Их называют еще потенциальными. Работа потенциальных (консервативных) сил по любому замкнутому контуру равна нулю.

Характеристики

Список файлов лекций