Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

y = y (t)

надо привести к виду y = f (x) ‑ это и будет уравнение траектории.

I.5.2.1.3. Скорость.

Скорость как физическая величина характеризует изменение положения тела в единицу времени.

Средняя скорость материальной точки в данной системе отсчета на интервале времени t, t+ t равна отношению перемещения точки за данный интервал времени к величине этого интервала

При этом направление скорости совпадает с направлением перемещения. В рамках модельного представления с использованием координатной системы , , .

Таким образом, средняя скорость точки есть вектор , равный отношению вектора перемещения из начальной точки в конечную, к величине интервала времени

= .

I.5.2.1.4. Мгновенная скорость

М гновенная скорость – это скорость в данный момент времени, т.е. для ее измерения нужно определить при 0, что невозможно.

Поступают так. Возьмем зависимость координаты от времени:

Пусть момент времени, для которого надо определить скорость, будет t_{0 .} В этот момент точка А Рис.10 характеризуется координатой : А( ) (Рис.10)

Возьмем интервал времени t (который включает точку t₀) в течение которого координата точки изменится на х. Отношение есть средняя скорость

точки на интервале t. Будем уменьшать интервал t так, чтобы точка t₀ все время оставалась внутри интервала. Начиная с некоторого интервала t₁ в пределах точности измерений зависимость x = f (t) становится линейной, т.е. на интервале t₁ отношение постоянно. Это значит, что при дальнейшем уменьшении интервала t уменьшается и х, но их отношение остается тем же. Это значение и будет измеренной скоростью точки в данный момент времени, т.е. мгновенной скоростью.

Таким образом, процедура измерения мгновенной скорости V_мгн сводится к

процедуре измерений средней скорости, но только в границах тех временных интервалов, в которых имеет место линейная зависимость перемещения от времени.

Математический эквивалент физической величины "мгновенная скорость" находится с помощью математических операций; он находится как предел средней скорости при стремлении t 0. Т.е. производная радиус-вектора по времени.

I.5.1.5. Ускорение точки

Среднее ускорение точки в данной системе отсчета на интервале времени ( t, t + t) есть физическая величина, равная отношению приращения скорости V = V (t + t) - V (t) на этом интервале к величине интервала времени

Математический эквивалент среднего ускорения точки в данной системе отсчета на интервале времени ( t, t+ t) есть вектор , равный отношению вектора приращения вектора скорости к величине интервала времени

.

Мгновенное ускорение как физическая величина должно быть измерено. Измерение мгновенного ускорения сводится к процедуре измерений среднего ускорения, только в границах тех временных интервалов, в которых имеет место линейная зависимость скорости от времени. Математический эквивалент ускорения находится как предел среднего ускорения при стремлении t 0

или

Так как мгновенная скорость есть производная радиуса-вектора по времени, то ускорение является второй производной радиуса-вектора по времени.

I.5.2.1.6. Путь точки ‑ физическая величина, равная длине траектории, которую точка прошла в результате движения.

Для измерения пути проводят следующие процедуры.

Время движения точки разбивается на интервалы, на которых скорость точки в пределах точности измерений постоянна. Перемещение точки на таком интервале называют элементарным путем: S _i = V (t _i) t_i. Числовое значение скорости берется положительным, поэтому иногда элементарный путь записывают как

Путь, пройденный точкой от начального до конечного положения при произвольном законе движения равен сумме элементарных путей , где n ‑ число элементарных интервалов времени.

Из этой формулы следует, что: а) путь не может быть отрицательным; б) путь не может уменьшаться с течением времени; в) путь равен площади под кривой зависимости |V| = f (t).

Математический эквивалент пути (из точки 1 в точку 2) находится с помощью математических операций: .

Мы рассмотрели кинематические величины, которые используются для геометрического аспекта описания механического движения материальной точки. Однако в некоторых частных случаях движение точки удобно ввести другие параметры.

Т

ак, если точка движется по окружности радиуса R, то удобным параметром описания положения точки является угол . Он связан с декартовыми координатами точки х и y соотношениями , (рис.11). Математическим эквивалентом угла является вектор , направленный вдоль оси вращения (представление угла вектором справедливо только для малых углов).

Рис.11 Рис.12

Пусть точка движется по окружности радиуса R и ее положения в моменты времени и характеризуются соответственно и . Угол между и равен . Поставим в соответствие вектор . Направление вектора можно определить правилом буравчика: если расположить острие буравчика вдоль оси вращения, а его вращать вместе с радиусом-вектором точки, то поступательное движение буравчика определит направление вектора (рис.12).

При описании движения точки по окружности используются также величины: угловая скорость и угловое ускорение . Рассмотренные ранее скорость и ускорение носят название линейных. Угловая скорость и угловое ускорение как физические величины измеряются с помощью процедур, аналогичным процедурам измерений линейных величин: и . Как математические эквиваленты эти величины определяются так:

угловая скорость ; угловое ускорение

Направления и определяются тем же правилом буравчика, что и

Между линейными и угловыми параметрами движения точки существует связь: , .

При движении по окружности точка испытывает ускорение и за счет изменения направления вектора скорости, и за счет изменения скорости движения по абсолютной величине. Ускорение за счет изменения направления скорости носит название нормального (или центростремительного) ускорения. Оно всегда направлено к центру вращения и равно , где - единичный вектор, направленный вдоль радиуса к центру вращения.

Ускорение за счет изменения абсолютного значения скорости называется тангенциальным. Оно направлено по касательной к траектории движения (т.е. по касательной к окружности) и равно , где ‑ единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

Полное ускорение точки:

Существуют такие движения материальной точки, при которых значения координат и скорости изменяются немонотонно в ограниченной области значений.

В общем, такие движения называют колебательными. Важный класс колебательных движений точки составляют так называемые периодические колебания, т.е. колебательные движения, описываемые периодической функцией времени.

Движение материальной точки называется периодическим, если спустя некоторое время t после любого момента времени значения координаты и скорости материальной точки повторяются: х ( t + t) = х ( t); V (t + t) = V (t).

Минимальное время такого повторения состояния точки называют периодом Т.

Величина, обратная периоду, называется частотой колебаний f. Размерность частоты в СИ ‑ 1 герц - 1/сек. Частоту f называют циклической.

Используют также и круговую частоту , , размерность в СИ: рад/сек.

Движение точки, координата которой в некоторой системе отсчета OXY меняется по закону x (t) = A sin ( ), называется гармоническим колебанием.

Величина А называется амплитудой колебаний. Величина ( t + ) называется фазой колебаний. Величина называется начальной фазой.

.

Другой класс физических величин, используемый в аксиоматике Ньютона, связан с взаимодействием тел и носит название динамического.

I.5.2.2. Динамические характеристики механического движения точки. I.5.2.2.1.Сила. Силы упругости. Силы трения.

Ньютон определил силу как "действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения", т.е. как причину отклонения движения тела от равномерного и прямолинейного.

Сила ‑ величина измеряемая и характеризует действие одного тела на другое. Величина силы может быть измерена прибором ‑ динамометром. Моделью динамометра может служить пружина. Единица силы в СИ устанавливается на основе второго закона Ньютона. Единица силы ньютон, 1н= Величина силы является инвариантом, не зависящим от выбора системы отсчета. Математический эквивалент силы есть вектор .В общем случае вектор силы есть функция положения материальной точки ( ), скорости ( ) и времени ( t), т.е.

Силы, величина которых зависит только от положения, носят название консервативных сил. К ним относятся силы упругости и силы тяготения.

Силы упругости.

П ри растяжении или сжатии упругой невесомой пружины на закрепленные на ее концах тела действует сила F, пропорциональная удлинению (или сжатию) пружины: - жесткость пружины. Закрепим один конец неподвижно, а к другому концу прикрепим материальную точку массы m, пусть пружина имеет жесткость k и пренебрежем ее массой. Свяжем ее с координатной осью ОХ и поместим начало координаты т.О в другой конец недеформированной пружины. Теперь, если точка будет двигаться вдоль оси ОХ, то возникает упругая сила F = -kx. (рис.13а)

Характеристики

Список файлов лекций