2 (1106049)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

I.5. Практическое использование аксиоматики Ньютона для описания механического движения тел

"Я полагал бы, что тому, кто в состоянии переварить

вторую или третью флюксию,

второй или третий дифференциал,

не следовало бы привередничать

в отношении какого-либо положения

в вопросах религиозных".

Дж. Беркли

I.5.1. Общие положения.

Дадим определение механического движения тела: механическим движением тел называется изменение взаимного расположения тел, их размеров и формы с течением времени.

Величины, фигурирующие в законах Ньютона, являются математическими и с ними проводятся математические операции, однако каждая математическая величина имеет свой физический эквивалент ‑ физическую величину, для которой задана процедура измерений. Это позволяет, с одной стороны, проводить с величинами математически операции, получая результаты с помощью математических расчетов, а с другой ‑ проводить измерительные процедуры, получая результаты с помощью измерений.

Измерения величин реализуются с помощью измерительных приборов или их моделей, если речь идет не о реальных измерениях, а о принципиальных возможностях таких измерений.

Математической схеме получения каких-либо величин должна всегда соответствовать измерительная схема получения этих величин, при этом часто оказывается достаточно знаний именно принципиальной схемы, обуславливающей возможность измерений, а не реального ее воплощения.

Механически величины классифицируют на кинематические и динамические. Это связано с разделением механики на кинематику и динамику.

Кинематика - часть механики, изучающая геометрические аспекты механического движения, т.е. способы описания положения тел в пространстве по отношению друг к другу и изменения положения этих тел, а также их формы и размеров с течением времени.

Динамика ‑ часть механики, изучающая движение взаимодействующих тел.

К кинематическим величинам относятся такие величины, как положение тела, перемещение тела, скорость, ускорение и т.п.

Положение тел измеряется прибором, который носит название системы отсчета.

Таким образом, система отсчета ‑ измерительный прибор или его модель, дающая способ однозначного описания положения тела в пространстве с течением времени. Как устроен этот прибор? (рис. 4)

Д опустим, что требуется количественно описать свободное падение шарика.

Поставим на стол штатив и закрепим на нем вертикально измерительную линейку (т.е. линейку, градуированную в единицах измеряемой длины ‑ обычно такую линейку в приборах называют измерительной шкалой). Поставим на стол часы. Бросим шарик так, чтобы он падал вдоль линейки. Возьмем за нулевой отсчет времени тот момент, когда шарик проходит нулевую отметку на шкале (начало отсчета) и будем измерять в каждый заданный нами момент времени положение шарика относительно начала отсчета. В результате измерений получим две колонки измеряемых величин: время (t) и положение (L).

Чтобы измерения были достоверны (в рамках заданных экспериментальных погрешностей) необходимо, чтобы шкала в процессе измерений не претерпевала никаких изменений и оставалась постоянной (в смысле масштаба, формы, ... положения, … ).

Поэтому штатив и измерительная линейка должны быть сделаны из материалов, не деформирующихся из-за изменения внешних условий в течение всего процесса измерений.

При рассмотрении системы отсчета как модели прибора, дающей принципиальный способ измерения, штатив и линейку заменяют моделью абсолютного твердого тела, а шкалу измерительной линейки ‑ координатной осью (направленной прямой линией, имеющей масштабные риски и нулевую точку отсчета).

В общем случае, когда тело движется произвольным образом в пространстве, для описания его движения требуются три координатные оси.

Таким образом, система отсчета как модель, дающая принципиальный способ определения положения тела и его изменения в пространстве с течением времени состоит из тела отсчета, связанной с ним декартовой прямоугольной системой координат и часов.

В принципе существует много различных систем координат (сферическая, полярная, цилиндрическая, криволинейная и т.п.), которые используются при описании движения, но мы ограничимся только декартовыми.

При этом за тело отсчета может быть выбрано любое абсолютно твердое тело (или любая точка на абсолютно твердом теле).

I.5.2.Модель «Материальная точка».

I.5.2.1. Кинематические характеристики механического движения точки.

Процесс измерений положения произвольной точки М в декартовой системе координат состоит в следующем (рис. 5а).

И з точки М опускают перпендикуляры на ось OZ (Z₀) и плоскость XOY - точка К. Из точки К опускают перпендикуляры на оси ОХ (Х₀ ) и OY (Y₀ ).

Три значения X₀Y₀Z₀ (координаты точки М) однозначно определяют положение точки в пространстве в данный момент времени и относительно данной системы

Рис.5а отсчета (система координат всегда связана с телом отсчета, которое обычно не рисуют).

Стрелами на осях координат показывают положительные направления, поэтому координаты, расположенные на отрезках ОХ, OY, OZ, положительны и берутся со знаком +, координаты, расположенные на других отрезках ‑ отрицательны и берутся со знаком минус. Так, точка N имеет координаты x, y ‑ они отрицательные и z ‑ она положительна. Во многих задачах достаточно бывает использование только положительных значений координат, и в этом случае используют систему координат, представляющую из себя три взаимно перпендикулярно направленных отрезков прямых линий, исходящих из одной точки.

Существуют два вида координатных систем. Их различают с помощью правила буравчика. Будем ввинчивать буравчик с правой нарезкой, вращая его ручку в плоскости xy кратчайшим путем от положительного конца оси Х к положительному концу оси Y. В правой системе координат поступательное перемещение буравчика будет происходить в положительном, а в левой ‑ в отрицательном направлении оси z. (рис.5 б). В физике применяется исключительно правая система.

Итак, в результате измерений координат точки М(x,y,z) в различные моменты времени получается система уравнений

(1)

Эта система носит название системы кинематических уравнений движения материальной точки. П ри использовании математической схемы, в которой проводятся математические операции, желательно иметь компактную запись, позволяющую проводить операции независимо от выбора осей координат. Для этого в Рис.6. математике используются векторные величины. В нашем случае надо взять такие векторные величины, которые соответствуют результатам реальных измерений (x,y,z). Возьмем декартову систему координат и отложим единичные вектора вдоль осей, они называются орты, (рис. 6).

Проведем из начала координат в точку М, имеющую координаты вектор, обозначим его и назовем радиус-вектор.

Согласно общим правилам, , где x , y , z - координаты конца вектора, т.е. точка М. Так как в данной системе координат постоянны по величине и направлению, то вектор можно представить тройкой чисел (x, y, z _), т.е. совокупностью координат точки М.

Таким образом, для проведения математических операций можно систему кинематических уравнений (1) заменить одним эквивалентным уравнением

Перейдем к рассмотрению других основных кинематических величин.

I.5.2.1.1.Перемещение. Перемещение - физическая величина, которая характеризует изменение положения тела за время движения.

Д ля определения перемещения как физической величины с помощью приборов, надо измерить длину отрезка, соединяющего начальное и конечное положение тела и его Рис.7 направление (рис.7).

Перемещение точки можно найти, используя координатную систему.

Пусть в момент времени точка находилась в положении 1 (x₁, y₁, z₁). Пусть за время точка перешла из положения 1 в положение 2 (x₂, y₂, z₂). В этом случае она совершила перемещение , которое характеризуется изменением измеряемых координат

; ; .

Зная , можно найти величину перемещения

S = , а его пространственное положение будет характеризоваться углами , , , которые также находятся с помощью , , : c
os _{х= ;} cos _(рис.8).

Для проведения математических операций вводят "математический" эквивалент перемещения ‑ вектор перемещения . При этом если ввести в рассмотрение радиусы-векторы, то где и -радиус-векторы точки в моменты времени и и , т.е. характеризуется тройкой чисел (рис.9).ё

I.5.2.1.2. Траектория

Траектория точки ‑ линия в пространстве, которую описывает точка в процессе своего движения.

Существуют различные экспериментальные способы определения траекторий, например фотографирование тела в процессе его движения и т.п.

Зная кинематические уравнения движения, траекторию можно определить, используя математические операции. Для этого нужно в кинематических уравнениях движения исключить время. Таким образом, например, в случае движения в плоскости X0Y, с помощью математических операций кинематические уравнения движения

x = x (t)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций