2 (1106049), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для математических расчетов формула закона может быть записана в векторной форме:

Формулируя закон тяготения, Ньютон, а затем и другие, допускали, что массы точек, входящие в этот закон, есть меры инертности, т.е. те же массы входят во второй закон Ньютона.

Однако a priori это допущение неверно.

Второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения как независимые аксиомы никак друг с другом не связаны, не связаны и величины, входящие в них. Поэтому правильнее считать, что тело обладает свойством тяготения в соответствии с результатами опытов. Мерой этого свойства и является масса "тяготения" тела, или "гравитационная" масса, которая может отличаться от инертной массы, однако опыты показывают, что эти величины пропорциональны друг другу, и выбором системы единиц их всегда можно сделать равными друг другу, как обычно и делается в физике.

Силы всемирного тяготения ‑ пример сил, которые при непосредственном созерцании воспринимаются нами как силы, действующие на расстоянии без какого бы то ни было участия промежуточной среды. В течение полутора столетий после Ньютона имел место взгляд на тяготение как на некую "врожденную силу материи", действующую на расстоянии мгновенно и без участия промежуточной среды. Этот взгляд получил название теории дальнодействия. Сам Ньютон не был сторонником дальнодействия. В письме к Бентлею он писал: "Допускать, что тело может действовать на другое на расстоянии через пустоту, без посредства чего-нибудь, что придавало бы действие и силу от одного тела к другому, представляется мне столь большой нелепостью, что я не думаю, чтобы человек, компетентный в философском мышлении, мог когда-либо ее сделать". Однако Ньютон уклонился от обсуждения причин тяготения, заявив: "Причину свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю".

Расчеты показывают, что формула закона тяготения справедлива и для тел сферической формы. В этом случае берется расстояние между центрами сфер.

При свободном падении на Землю тела с высоты под действием только силы тяготения тело приобретает ускорение, которое можно найти из уравнений Ньютона: или ,

где М - масса Земли, R - радиус Земли, - высота тела над Землей.

Откуда

Если высота тела много меньше, чем радиус Земли, то h/R << 1 и этой величиной можно пренебречь. Тогда, а = = 9,81 м/сек и одинаково для всех тел и обычно обозначается символом "g".

Отметим, что, используя закон Ньютона, справедливый для инерциальных систем отсчета, мы не учитываем вращение Земли, т.е. неинерциальность связанной с ней системы отсчета.

Итак, под действием сил притяжения тело совершает свободное падение и, чтобы сделать его неподвижным, надо подействовать на него другими телами, например опорой или подвесом.

Опора (или подвес) будут действовать на тело, делая его неподвижным, а тело (в соответствии с третьим законом Ньютона) будет действовать с той же силой на опору (или подвес). Сила, с которой тело действует на опору (или подвес), называется весом тела (Р). Вес неподвижного тела равен силе тяготения (или силе тяжести): . В результате совместного действия силы тяжести и реакции подвеса (подставки) тело будет деформировано. Если на тело действует только сила тяжести, то при движении тела деформация отсутствует. Состояние тела под действием силы тяжести, характеризующееся отсутствием деформации, называется невесомостью. Так в состоянии свободного падения тело испытывает невесомость.

Итак, использование аксиоматической системы Ньютона позволяет решать проблемы: а) количественного описания движения материальной точки в рамках, заданных в системе понятий и законов; б) нахождения новых физических величин и новых законов при рассмотрении движения материальной точки; в) количественного описания более сложных физических моделей объектов (системы материальных точек, твердых тел, сплошной среды).

Рассмотрим решение указанных проблем на отдельных примерах.

1.5.2.4 Движение материальной точки в рамках заданных в системе Ньютона величин и законов

Еще раз напоминаем, что любое движение любой материальной точки в любой инерциальной системе отсчета описывается вторым законом Ньютона ^{‑ другого нет (разумеется, если мы рассматриваем движение в рамках механики Ньютона).}

В процессе решения конкретной задачи необходимо только правильно составить уравнение движения и задать начальные условия. Кроме того, независимо от типа конкретной задачи в самом общем виде необходимо:

^{а) привести рассматриваемый объект к соответствующей физической модели;}

^{б) выбрать инерциальную систему отсчета;}

^{в) составить уравнения движения на базе второго закона Ньютона;}

^{г) задать начальные условия (или найти какие-либо другие специфические условия, характерные для данной конкретной задачи);}

^{д) привести полученные уравнения к виду, типичному для определенного класса математических задач;}

^{е) по возможности использовать готовое решение.}

^{В качестве примера рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника.}

Итак, надо описать движение тела массы m, находящегося на гладком столе и прикрепленного к концу пружины жесткости k (массой пружины можно Рис.15 пренебречь), другой конец которой закреплен неподвижно. Поставим в соответствие телу его физическую модель ‑ материальную точку. Выберем систему, связанную со столом, который будем считать неподвижным. Запишем второй закон Ньютона и рассмотрим силы, действующие на тело, когда оно выведено из положения равновесия. В вертикальном направлении на точку действуют сила тяжести и сила реакции опоры . В горизонтальном направлении действует сила упругости, стремящаяся возвратить точку в положение равновесия: .

^{Возьмем координату ОХ, направим горизонтально, слева направо и возьмем начало координаты в точке 0, совпадающей с положением материальной точки, когда пружина не деформирована. Тогда в проекции на ось ОХ закон движения будет иметь вид .}

^{Решение этого уравнения и дает закон движения материальной точки, поскольку в других направлениях движения нет.}

^{В последней формуле x –смещение точки от положения равновесия.}

^{Следующий этап – задание начальных условий.}

^{Начальные условия зависят от способа возбуждения движения:}

^{а) можно заставить тело двигаться, предварительно отклонив его на расстояние от положения равновесия и затем отпустив. В этом случае начальные условия будут: ,} , где - время начала движения;

б) можно заставить тело двигаться, придав ему импульс, например, когда тело находится в положении равновесия, щелкнуть по нему, задав начальную скорость V₀. В этом случае начальные условия будут:

в) в общем случае могут быть заданы и и . Начальные условия задаются изначально (обычно самим экспериментатором) и известны.

Итак, мы имеем уравнение движения и начальные условия

, здесь мы положили Известно, что решение уравнения с начальными условиями ; имеет вид:

, где ,

Итак, есть решение уравнения ,

Мы имеем уравнение

Для приведения данного уравнения к уравнению, решение которого известно, перенесем правую часть уравнения в левую с обратным знаком, разделим левую и правую части на массу и обозначим отношение . В результате получим , где .

После приведения получаем решение, описывающее закон движения точки , где ,

Как видно из решения, точка совершает гармонические колебания. В физике они относятся к типу свободных незатухающих колебаний. Такие колебания называются свободными, поскольку они совершаются только за счет первоначального возбуждения (либо начального смещения, либо задания начальной скорости движения). Незатухающими такие колебания называются потому, что параметры движения (амплитуда, частота) от времени не зависят.

В реальных процессах свободные колебания всегда являются затухающими, поскольку всегда имеются силы трения.

Поместим рассмотренную ранее схему в бассейн с водой. Тогда при движении тела возникнет сила вязкого трения ( ) и уравнение движения примет вид

Характеристики

Список файлов лекций