Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр (1105195), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Тогда An = Mn (C ) ⊗ L∞C (Zn , νn ).Согласно определению множества M функция fn имеет видnXkfn =χY ,n kYk ⊂ Zn ,naYk = Zn .k=0k=0Пусть qk ∈ Mn (C ), 0 ≤ k ≤ n — проектор ранга k. Рассмотрим проекторpn =∞Xqk · χYk .k=0Так как канонический след на An имеет вид τ =n1n Tr ,тоXk1Xτ (pn ) =Tr (qk )χYk =χ Y = fn ,nn kk=0k=0т.е. pn — искомый проектор.94Пусть теперь n = 0 и f0 ∈ L∞R (Z0 , ν0 ), такая что 0 ≤ f ≤ 1. Пусть∞(gl )l=1 — монотонно возрастающая последовательность измеримых функций на Z0 , таких что для каждого l и x ∈ Z0 gl (x) ∈ {0, 2−l , .
. . , 2l ·2−l = 1}и liml→∞ gl = f0 . Согласно теореме 4.5 в A0 вкладывается гиперфинитныйфактор R. В свою очередь в R есть плотная C ∗ -подалгебра, изоморфнаяC l (см. пример 4.1). Пусть P = (pλ ), λ ∈ Z[ 21 ] ∩ [0, 1] — семейство проекторов в C l, такое что τ (pλ ) = λ и pλ < pµ при λ < µ. Такое семейство легкопостроить индуктивно, исходя из определения C l как предела возрастающей последовательностиалгебр. По аналогииPnматричныхPnl с предыдущимlпунктом, имеем gl =s=1 λls χYls . Положим ql =s=1 pλls χYls ∈ A0 ,∞тогда τ (ql ) = gl и (ql )l=1 — возрастающая последовательность проекторов.
Пусть p = liml→∞ ql относительно сильной сходимости. Тогда в силунормальности канонического следа τ получаемτ (p) = lim τ (ql ) = lim gl = f0 .l→∞l→∞Таким образом, множество M1 = M ∩ Z1+ , где Z1+ — положительнаячасть единичного шара в Z, лежит в образе следа τ∗ . Так как M аддитивно порождается множеством M1 , то M ⊂ Im τ∗ .3. Проверим, наконец, что для любого α ∈ K0 (A) выполнено τ∗ (α) ∈M . Достаточно рассмотреть случай, когда A = An = Mn (C ) ⊗ L∞C (Z, ν)и α = [p], p ∈ A — проектор.
Алгебру A можно отождествить с алгебройсущественно ограниченных функций на Z, принимающих значения в матрицах n × n. При этом отождествлении канонический след τ вычисляетсякак τ (a) = n1 Tr ◦ a, a ∈ L∞Mn (C ) (Z, ν), где Tr — обыкновенный матричный след на Mn (C ), а проектор p представляется как измеримое полепроекторов в Mn (C ) на Z.
Так как след проектора равен его рангу, т.е.есть целое число, то для почти всех x ∈ Z Tr (p(x)) ∈ Z, следовательно,τ (p) ∈ M .Следствие 4.12. Пусть A — фактор. Тогда 0, A — собственно бесконечный фактор,Z, A — фактор типа In ,K0 (A) =R, A — фактор типа II1 .¤954.3Характеристические классы алгебр фонНейманаТеперь, когда известна K-теория алгебр фон Неймана, вычисление соответствующих характеристических классов не представляет труда. Рассмотрим сперва случай, когда алгебра является фактором.Теорема 4.13. Пусть A есть некоторый фактор.
Тогда1. характер Черна chn : K0 (A) → HC2n (A) инъективен;e 0 (A) → HC 2n (A) равен нулю.2. приведённый характер Черна chn : KДоказательство. Достаточно рассматривать только конечные факторыIn , II1 , поскольку бесконечные факторы I∞ , II∞ , III имеют тривиальнуюK-теорию.
Случай In разобран выше (см. теорему 2.1). Поэтому перейдёмсразу к факторам типа II1 .Итак пусть A — непрерывный конечный фактор. Канонический следτ осуществляет биективное отображение K0 (M ) на R. Так как τ , являясьследом, пропускается через отображение ch0 : A → A/[A, A], то нулевойхарактер Черна, а стало быть, в силу периодичности Конна, и все остальные инъективны. Первая часть теоремы доказана.Заметим, что вложение гиперфинитного фактора R в A индуцируетизоморфизм их K-групп. Поэтому можно считать, что A = R. Пустьα ∈ K0 (R) = R. Покажем, что chn (α) = 0. Предположим, что α = rs ∈ Q.Тогда (ср.
с теоремой 2.1)rrchn (α) = chn (1) = 0 = 0.ssПусть теперь α ∈/ Q. Можно считать, что α ∈ [0, 1], поскольку chn (1) = 0.Рассмотрим AF-алгебру Aα , построенную в примере 3.6. Тогда имеетсявложение j : Aα ,→ R на сильно плотную подалгебру (см. пример 4.1). Таккак на Aθ имеется единственный след, который совпадает с ограничениемканонического следа на R, то отображение j∗ : K0 (Aα ) → K0 (R) являетсявложением Z + Zα ,→ R. Таким образом, элемент α есть образ некоторогоэлемента α0 ∈ K0 (Aα ). Тогда, в силу естественности приведённого характера Черна chn (α) = j∗ chn (α0 ). Но приведённый характер Черна на Aαтождественно равен нулю по теореме 3.11 и примеру 3.9.
Следовательно,chn (α) = 0. Таким образом, chn — тождественный нуль для любого n.96Следствие 4.14. Пусть A является фактором. Тогда для любогодифференциального исчисления Ω∗ и любого проективного конечнопорождённого модуля E характеристический класс cn (E, Ω∗ ) равен нулю. Характеристические классы Жураева-Мищенко-Соловьёва такжевсе равны нулю.¤Перейдём к общему случаю.Определение 4.12.
Пусть A — конечная алгебра фон Неймана. Назовёмэлемент α ∈ K0 (A) скалярным, если образ α при действии каноническогоследа есть скалярный оператор. Множество всех скалярных элементовобозначим как Ksc (A).Сформулируем центральную теорему этой главы.Теорема 4.15. Пусть A — алгебра фон Неймана. Тогда1.
характер Черна chn : K0 (A) → HC2n (A) инъективен;©ª2. ker chn : K0 (A) → HC 2n (A) = Ksc (A).Доказательство. В силу предложений 1.30, 1.32 и теорем 4.1, 4.9 можноограничиться рассмотрением случая, когда A конечна.Пусть α ∈ K0 (A), α 6= 0. По теореме 4.11 τ (α) 6= 0 в Z = Z(A), где τ —канонический Z-след.
По теореме Хана-Банаха существует непрерывныйфункционал φ ∈ Z ∗ , такой что φ(τ (α)) 6= 0. Отображение φ ◦ τ являетсяследом на A, поэтому представляется в виде композицииφ ◦ τ = φe ◦ ch0 ,ch0 : A → HC0 (A) = A/[A, A],φe : A/[A, A] → C .Следовательно, ch0 (α) 6= 0. Таким образом, ch0 , а вместе с ним и всеchn , n ∈ N, суть инъективные отображения. Отсюда также следует, чтоker chn ⊂ Sc(A).
Покажем обратное включение.Пусть α ∈ Sc(A). Если A не является непрерывной, т.е. её разложениесодержит блоки типа In , то, как следует из теоремы 4.11, τ (α) = λ1, гдеλ ∈ Q. Отсюда получаемchn (α) = λchn (1) = 0.Предположим, что A непрерывна. Тогда по теореме 4.5 имеется вложениеj : R → A гиперфинитного фактора в A, которое, как нетрудно заметить,отображает K0 (R) на Ksc (A). Остаётся воспользоваться естественностьюприведённого характера Черна и теоремой 4.13.97Посмотрим, как обстоит дело с неуниверсальными характеристическими классами.
Нам пригодится следующая лемма.Лемма 4.16. Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей и Ω∗ — центральное дифференциальное исчисление на A. Пусть E — проективныйконечнопорождённый модуль, определяемый проектором p ∈ A, лежащим в центре алгебры. Тогда для всех n cn (E, Ω∗ ) = 0.Доказательство. Вычисляя характеристический класс с помощью грассмановой связности, получим равенствоcn (E, Ω∗ ) = [p(dp)2n ] = [p2 dp(dp)2n−1 ] = [pdp p(dp)2n−1 ] = 0,где мы воспользовались центральностью проектора p и тождествомpdp p = 0.Теорема 4.17.
Пусть A — алгебра фон Неймана, Ω∗ — (банахово) центральное дифференциальное исчисление на A. Тогда для любого α ∈K0 (A) kcn (α, Ω∗ )k = 0, где k · k — индуцированная (полу)норма на проe ∗ ).странстве H 2n (ΩДоказательство. Можно считать, что A — конечная алгебра и α = [p],где p ∈ A — проектор. Пусть Z = Z(A) ' L∞C (Z, ν) — центр алгебры A иτ : A → Z — канонический Z-след.Возьмём произвольное натуральное число N . Так как f = τ (p) ∈ M1 ,гдеM1 = {f ∈ M | f (x) ∈ [0, 1] для почти всех x ∈ Z}(см. теорему 4.11), то для почти всех x ∈ Z имеем N f (x) ∈ [0, N ].
ПустьPNYk = f −1 [k, N ], k = 1, . . . , N и gk = χYk ∈ Z. Пусть f1 = N f − k=1 gk .Тогда gk , f1 ∈ M1 , поэтому f1 = τ (p1 ), p1 — проектор в A, а gk , k =PN1, . . . , N , — центральные проекторы в A. Разложению N f = k=1 gk + f1соответствует разложениеNα =nX[gk ] + [p1 ].k=1Тогда∗∗N cn (α, Ω ) = cn (N α, Ω ) =NXcn (gk , Ω∗ ) + cn (p1 , Ω∗ ) = cn (p1 , Ω∗ )k=198в силу предыдущей леммы. Так как kp1 k ≤ 1, то kp1⊗2n+1 k ≤ 1 в A⊗2n+1 .Следовательно, kp1 (dp1 )2n k ≤ 1 в Ω2nuniv (A) и, наконец, kcn (p1 )k ≤ 1 вe ∗ (A)). Пусть C = kψk есть норма канонического морфизма ψ :H 2n (ΩunivΩ∗univ (A) → Ω∗ .
Тогда получаем неравенствоN kcn (α, Ω∗ )k = kcn (N α, Ω∗ )k = kcn (p1 , Ω∗ )k = kψ∗ cn (p1 )k ≤ C · 1 = C,Cоткуда kcn (α, Ω∗ )k ≤ N. Так как выбор N произволен, то kcn (α, Ω∗ )k = 0,что и требовалось доказать.e ∗ ) является хауЗамечание 4.5. Если пространство когомологий H 2n (Ωсдорфовым, то из доказанной теоремы следует, что cn (α, Ω∗ ) = 0 длявсех α ∈ K0 (A).Следствие 4.18. Пусть A — алгебра фон Неймана. Тогда для любогоα ∈ K0 (A) и любого n характеристический класс Жураева-МищенкоСоловьёва не отделим от нуля в топологии, определяемой индуцированной нормой, т.е.
kChn (α)k = 0.¤99Литература[1] Винберг Э. Б. Лекции по алгебре. М.: МЦНМО, 1995. — 150 с.[2] Жураев Ю. Й. Характеристические классы модулей над некоммутативными алгебрами. Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук, МГУ, 1987.[3] Жураев Ю. Й., Мищенко А. С., Соловьёв Ю. П. О характеристических классах в алгебраической K-теории. Тираспольский симпозиумпо общей топологии и её приложениям. Кишинёв: Штиинца. — 1985.— С.
91–92[4] Жураев Ю. Й., Мищенко А. С., Соловьёв Ю. П. О характеристических классах в алгебраической K-теории. // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. — 1986. — N 1. — С. 75–76[5] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1.М.: Наука. — 1981.
— 344с.[6] Корнеева Е. В. Характеристические классы в некоммутативной дифференциальной геометрии. Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук, МГУ, 2003.[7] Мёрфи Дж. C ∗ -алгебры и теория операторов. М.: Факториал. — 1997.— 336 с.[8] Милнор Дж. Алгебраическая K-теория. М.: Мир, 1974. — 246 с.[9] Никонов И. М. Дифференциальные исчисления Вороновича диэдральных групп. // Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 1. — 2002. — N 6. —С. 10–14[10] Никонов И. М. Пример нетривиального характеристического классагрупповой алгебры C [Z3 ]. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. — 2002. — N4. — С. 58–60100[11] Никонов И. М. Ядро характера Каруби для полупростых алгебр. //Деп. в ВИНИТИ N 1896-В2003 от 31.10.2003[12] Попеленский Ф. Ю., Соловьёв Ю. П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
