Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр (1105195), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так как1 6∈ Nτ , то Nτ — собственный идеал, следовательно, Nτ = 0. ПополнениеHτ пространства A относительно формы <, >τ является гильбертовымпространством и умножение в A индуцирует действие ρτ алгебры A наHτ . В силу простоты алгебры ρτ является точным представлением, поэтому мы будем отождествлять алгебры A и ρτ (A). По теореме Риссасуществует элемент x ∈ Hτ , kxk = 1, такой что τ (a) =< ax, x > для всехa ∈ A.89Пусть M есть сильное замыкание алгебры ρτ (A) ⊂ L(Hτ ). ТогдаM — бесконечномерная алгебра фон Неймана и ω : M → C , ω(b) =< bx, x >, b ∈ M есть конечный нормальный след на M в смысле определения 4.3. Покажем, что ω — верный след.
Пусть b ∈ M + и ω(b) = 0.Тогда cx = 0, где c = b1/2 . Тогда для любого самосопряжённого элементаa∈Akcaxk2 =< cax, cax >= ω(a∗ c∗ ca) = ω(acca) = ω(caac) =< acx, acx >= 0.Отсюда по линейности получаем, что cax = 0 для любого a ∈ A. Так какмножество {ax | a ∈ A} плотно в Hτ , то c = 0, следовательно, b = 0. Изверности следа получаем, что M — конечная алгебра фон Неймана.Пусть Z(M ) — центр алгебры M и p ∈ Z(M ), p 6= 0 — центральныйпроектор. Тогда ω 0 (b) = ω(pb), b ∈ M является конечным нормальнымследом на M . След ω 0 , ограниченный на A, пропорционален τ , так как τ— единственный (нормированный) след на A. Тогда из сильной непрерывности ω 0 и ω следует, что ω 0 = λω на M .
Так как ω 0 (p) = ω(p2 ) = ω(p) 6= 0,то λ = 1. Следовательно, ω(1 − p) = ω 0 (1 − p) = ω(p(1 − p)) = 0, откуда1−p = 0 и p = 1. Так как алгебра фон Неймана Z(M ) порождается своимипроекторами (см. [18]), то Z(M ) = C 1, т.е. M — (конечный) фактор. M— бесконечномерно, значит, является непрерывным конечным фактором.Наконец, фактор M гиперфинитный, так как порождается возрастающимсемейством конечномерных подалгебр, определяющих AF-алгебру A.В монографии [18] доказывается следующее полезное свойство гиперфинитного фактора.Теорема 4.5.
Пусть A — алгебра фон Неймана типа II1 . Тогда существует (унитальное) вложение гиперфинитного фактора R в A.¤Последняя теорема вместе с нижеследующим утверждением характеризует R как минимальный конечный непрерывный фактор.Утверждение 4.6 (см. [18]). Любой подфактор гиперфинитного фактора является гиперфинитным фактором.¤4.2K-теория алгебр фон НейманаКонус положительных элементов C ∗ -алгебры определяет частичный порядок ≤, однако для целей K-теории более подходит следующее болееинвариантное определение.90Определение 4.8. Пусть A — C ∗ -алгебра и p, q ∈ A — проекторы.
Проекторы p и q называются эквивалентными по Мюррею-фон Нейману, еслисуществует u ∈ A, такое что p = u∗ u, q = uu∗ . Для эквивалентных проекторов используется обозначение p ∼ q. Отношение p ≺ q означает, чтосуществует проектор p0 ∼ p, такой что p0 ≤ q.Следующее утверждение будет использовано ниже в теореме 4.11.Утверждение 4.7 (см.
[18]). Пусть p, q — проекторы в алгебре фонНеймана A. Тогда существует центральный проектор g ∈ Z(A), такойчто pg ≺ qg и q(1 − g) ≺ p(1 − g).¤Определение 4.9. Пусть A — алгебра фон Неймана и p ∈ A называется конечным(собственно бесконечным), если алгебра Ap = pAp являетсяконечной (собственно бесконечной).Замечание 4.2. Пусть A — конечная алгебра фон Неймана.
Из определения конечной алгебры следует, что любая подалгебра в A является конечной. Таким образом, любой проектор в A является конечным.Пусть p — проектор в некоторой алгебре фон Неймана B. Согласнотеореме о разложении 4.1, применённой к алгебре Bp = pBp, проектор pявляется собственно бесконечным тогда и только тогда, когда не существует ненулевого проектора g из центра алгебры Bp , такого что gBp g —конечная алгебра фон Неймана.Перейдём к рассмотрению K-теории алгебр фон Неймана. В силуструктурной теоремы 4.1 и предложения 1.30, достаточно рассматриватьслучай, когда алгебра относится к некоторому определённому типу.
Разберём сначала случай собственно бесконечных алгебр фон Неймана (типыI∞ , II∞ , III). Воспользуемся следующим вспомогательным утверждением.Утверждение 4.8 (см. [18]). Пусть p — собственно бесконечный проектор в алгебре фон Неймана A. Тогда существуют проекторы p1 , p2 ∈ A,такие что p1 ∼ p, p2 ∼ p и p1 + p2 = p.¤Теорема 4.9. Пусть A — собственно бесконечная алгебра фон Неймана.Тогда K0 (A) = 0.Доказательство. Так как алгебра Mn (A) также является собственно бесконечной, то достаточно проверить, что любой проектор в A стабильноэквивалентен нулю.
Итак, пусть p ∈ A — проектор. Рассмотрим проектор1 ⊕ p ∈ M2 (A) и положим B = M2 (A)1⊕p . Покажем, что проектор 1 ⊕ p91собственно бесконечен. Предположим, что это не так. Тогда, согласно замечанию 4.2, существует ненулевой проекторµ¶a bg=∈ Z(B) ⊂ M2 (A),c dтакой что gBg — конечная алгебрафон Неймана.
Проектор g ко쵶x 0мутирует с элементами вида∈ B, x ∈ A. Следовательно,0 0b½µ= c = ¶0 и a ∈ Z(A)¾ — центральный проектор в A. Алгебра B1 =x 0| x ∈ aAa ⊂ gBg — конечная по замечанию 4.2. Следова0 0тельно, алгебра aAa является конечной. Но A — собственноµбесконеч¶0 0ная алгебра, так что a = 0. Таким образом, g имеет вид g =.0dµ¶0 pКоммутирование проектора g с элементом∈ B даёт равенство0 0dp = pd = 0. Остаётся заметить, что g ∈ B, так чт00g = (1 ⊕ p)g(1 ⊕ p) == 0,0 pdpчто приводит к противоречию. Следовательно, 1 ⊕ p — собственно бесконечный проектор.
Воспользуемся предложением 4.8 — и получим, что1 ⊕ p = q1 ⊕ q2 ,q1 ∼ q2 ∼ 1 ⊕ p,где q1 , q2 ∈ M2 (A). Тогда имеем равенство в K0 (M2 (A)) = K0 (A)[1 ⊕ p] = [q1 ⊕ q2 ] = [q1 ] + [q2 ] = 2[1 ⊕ p],откуда [1 ⊕ p] = 0 и [p] = −[1] для любого проектора p ∈ A. Повторяяпредыдущие рассуждения для случая p = 0, мы получим, что [1] = [0] =0. Следовательно, для любого проектора p выполнено [p] = 0, поэтомуK0 (A) = 0.Пусть теперь A есть конечная алгебра фон Неймана. Ключом к вычислению группы K0 (A) является понятие операторного следа.
ПустьZ ⊂ Z(A) — подалгебра фон Неймана в центре алгебры A. Тогда по теореме 4.3 Z ' L∞ (Z, ν) для некоторых Z и ν. Обозначим Zb+ множествоизмеримых функций из Z в R+ ∪ {∞}.92Определение 4.10. Следом, ассоциированным с алгеброй Z, или Zследом на A+ называется отображение Φ : A+ → Zb+ , такое что1. Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b) для любых a, b ∈ A+ ;2. Φ(za) = zΦ(a) для любого a ∈ A+ и z ∈ Z + ;3.
Φ(uau−1 ) = Φ(a), если a ∈ A+ и u ∈ U (A) — унитарный элемент.Замечание 4.3. Понятия конечного, полуконечного, нормального и верного Z-следа вводятся так же, как и в определении 4.3.Теорема 4.10 (см. [18]). Пусть A — конечная алгебра фон Неймана иZ = Z(A) — её центр. Тогда существует единственный нормальный Zслед τ на A+ , такой что τ (z) = z для любого z ∈ Z + . След τ являетсяконечным и верным.¤Определение 4.11. След τ из теоремы 4.10 называется каноническимZ-следом конечной алгебры A.Замечание 4.4. Канонический след τ продолжается по линейности доотображения τ : A → Z, обладающего свойствами1.
τ (ab) = τ (ba) для любых a, b ∈ A;2. τ (za) = zτ (a) для всех a ∈ A, z ∈ Z.Сформулируем вторую основную теорему этого параграфа. Q∞Пусть A — конечная алгебра фон Неймана. Пусть A = A0 × n=1 An ,где AQ0 имеет тип II1 , An — тип In ,— её разложение по типам и Z =∞Z0 × n=1 Zn — соответствующее разложение её центра. Пусть τ : A →Z — её канонический `Z-след. Отождествим,согласно теореме 4.3, Zn с`∞∞∞∞LC (Zn , νn ), а Z с LC ( n=0 Zn , n=0 νn ).Теорема 4.11. Канонический след τ индуцирует изоморфизм K0 (A) наподмножество(M=f ∈ L∞C (∞aZn ,n=0в Z, где F0 = R, Fn =∞an=0©mn¯)¯¯νn ) ¯ f (x) ∈ Fn для всех x ∈ Zn , n ∈ N ∪ {0}¯ª| m ∈ Z , n ∈ N.93Доказательство. 1. Проверим, что отображение τ∗ : K0 (A) → Z, индуцированное следом τ , инъективно.
Поскольку для любого натуральногоn тензорное произведение A на Mn (C ) сохраняет разложение по типами не меняет центра алгебры, а канонический след на Mn (A), в силу егоединственности, равен n1 τ ◦ Tr , где Tr — обычный матричный след, тодостаточно проверить, что два проектора p, q ∈ A, такие что τ (p) = τ (q),стабильно эквивалентны. Согласно предложению 4.7 существует проектор g ∈ Z, такой что pg ≺ qg, q(1 − g) ≺ p(1 − g). Так какτ (gp) = gτ (p) = gτ (q) = τ (gq),аналогично, τ (q(1 − g)) = τ (p(1 − g)), то можно рассматривать толькослучай, когда p ≺ q.
По определению отношения порядка ≺, существуетпроектор p0 , такой что p ∼ p0 ≤ q, т.е. p = u∗ u, p0 = uu∗ для некоторогоu ∈ A и r = q − p0 ∈ A+ . Тогдаτ (p0 ) = τ (uu∗ ) = τ (u∗ u) = τ (p) = τ (q),откуда τ (r) = τ (q) − τ (p0 ) = 0. Так как τ — верный след, то r = 0 и p0 = q.Следовательно, p и q эквивалентны, а значит, и стабильно эквивалентны.2. Проверим сюръективность. Мы покажем, что любая функция f ∈M, f ≥ 0, kf k ≤ 1 являетсяQ∞образом некоторого проектора p ∈ A. В силуразложения f = (fn ) ∈ n=0 Zn достаточно для каждого n построитьпроектор pn ∈ An , такой что τ (pn ) = fn .Рассмотрим сначала случай n > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
