Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр (1105195), страница 13
Текст из файла (страница 13)
[15]):A проста тогда и только тогда, когда для каждой вершины (p, k) вдиаграмме Браттели D(A) найдётся q ≥ p, такое что любая вершина(q, l), l ∈ {1, . . . , nq } соединена с (p, k) монотонно возрастающим путёмв D(A).S∞Пусть A = p=1 Ap — простая алгебра, α ∈ K0 (A)+ , β ∈ K0 (A). Достаточно рассмотреть случай β = [1A ], α = [e(pk) ], где e(pk) — единица компоненты M( pk) в алгебре Ap ⊂ A. Так как A проста, то существует q > p,удовлетворяющее условию предыдущего абзаца.
Это значит, что M(pk)вкладывается во все матричные компоненты алгебры Aq , так что кратность вложения [p, k; q, l] ≥ 1 при всех l ∈ {1, . . . , nq }. Тогда индуцированное вложением отображение K-групп (φpq )∗ : K(Ap ) → K(Aq ) переводит76класс [e(pk) ] вТогдаPnqN [e(pk) ] = Nl=1 [q, l]nqX−1[p, k; q, l]·[e(ql) ]. Пусть N = max{[q, 1], . . . , [q, nq ]}.nqX[q, l]−1 [p, k; q, l] · [e(ql) ] ≥[q, l]−1 N [e(ql) ] ≥l=1l=1nqX[e(ql) ] = [1A ].l=1Пусть выполнено условие в правой части утверждения. Рассмотримпроизвольный ненулевой идеал I C A.
Тогда I соответствует непустаяподдиаграмма DI . Пусть (p, k) ∈ DI . Положим α = [e(pk) ], β = [1A ].Тогда найдётся n, такое что γ = nα − β ≥ 0 в K0 (A). Так как K0 (A) =limn→∞ K0 (An ), то можно считать, что γ ∈ K0 (Aq )+ , q > p. Тогда имеемнеравенствоγ=nnqXl=1[p, k; q, l] · [e(ql) ] −nqX[q, l] · [e(ql) ] =l=1nqX([p, k; q, l] − [q, l]) [e(ql) ] ≥ 0,l=1откуда [p, k; q, l] > 0. Следовательно, все вершины (q, l), l = 1, . . . , nq лежат в DI .
Это значит, что Iq = Aq , так что 1 ∈ I. Тогда I = A, так как I —идеал. Таким образом, A не имеет нетривиальных собственных идеалов,т.е. A проста.Определение 3.8. Пусть G — частично упорядоченная группа. Элементu ∈ G+ называется порядковой единицей группы G, если для каждогоg ∈ G+ существует n ∈ N, такое что g ≤ nu.Таким образом, критерий простоты алгебры в предложении 3.8 можетбыть сформулирован так: каждый положительный элемент K-группы является порядковой единицей.Вопрос о том, какие частично упорядоченные абелевы группы могутбыть реализованы как K0 (A) для некоторой AF-алгебры A, был решёнЭффросом, Хандельманом и Шеном.Определение 3.9.
Счётная частично упорядоченная группа G называется группой Рисса, если771. из nx ∈ G+ , n ≥ 1 следует, что x ∈ G+ .2. для любых x1 , x2 , y1 , y2 , таких что xi ≤ yj при всех i и j, существуетэлемент z ∈ G, такой что xi ≤ z ≤ yj при всех i и j.Имеем следующую теорему [20].Теорема 3.9. Если A — унитальная AF-алгебра, то K0 (A) — группа Рисса, обладающая порядковой единицей. Обратно, если G — группа Рисса, имеющая порядковую единицу u, то существует унитальнаяAF-алгебра A, чья K-группа K0 (A) изоморфна G как порядковая группа,причём u при этом изоморфизме соответствует классу [1A ] единичногопроектора алгебры A.¤AF-алгебра из следующего примера понадобится нам в главе 4 прирассмотрении алгебр фон Неймана.Пример 3.6.
Возьмём произвольное иррациональное число θ ∈ (0, 1). Рассмотрим абелеву группуGθ = Z ⊕ Zθ = {m + nθ | m, n ∈ Z}с порядком, индуцируемым вложением Gθ ⊂ R. Тогда Gθ — группа Риссас порядковой единицей 1. Поэтому существует единственная с точностьюдо изоморфизма AF-алгебра Aθ , такая что K0 (Aθ ) = Gθ . Приведём явнуюконструкцию алгебры Aθ .Рассмотрим разложение числа θ в цепную дробь:1θ=, an ∈ N,1a1 +1a2 +a3 + . .
.и определим Aθ = limn An как AF-алгебру, соответствующую диаграммеБраттели1q1qa1 1Z ½Z½a1 − 11Z½??~qZ=q½a2 1Z ½Z½a2 − 11Z½??~Z=½q a 1 qZ3 ½Z½a3 − 11½?~?Z= Z½... ... ...78Тогда K0 (An ) = Z ⊕ Z и отображение (φn )∗ : K0 (An ) → K0 (An+1 )задаётся матрицей в каноническом базис嵶an − 1 1Tn =.an1Так как Tn ∈ GL(2, Z), то (φn )∗ — изоморфизм при всех n, так чтоK0 (Aθ ) = limn K0 (An ) = Z ⊕ Z. Выделим теперь элементы, принадлежащие положительному конусу K0 (Aθ )+ . Изоморфизмψn = (φn∗ )−1 φ1∗ = (φn−1 )∗ .
. . φ1∗ : K0 (A1 ) → K0 (An )в канонических координатах (x1 , y1 ) и (xn , yn ) имеет ви䵶µ¶µ¶xnx1pn qn= Sn, Sn =yny1rn snгде Sn = Tn−1 . . . T2 T1 , S1 = I.SЗаметим, что An = Mpn +qn (C ) ⊕Mrn +sn (C ). Так как K0 (Aθ )+ = n K0 (An )+ , то при отождествленииK0 (Aθ ) и K0 (A1 ) с Sпомощью изоморфизма φ1∗ положительный конус∞K0 (Aθ )+ перейдёт в n=1 (ψn∗ )−1 K0 (An )+ . Множество (ψn∗ )−1 K0 (An )+задаётся неравенствами½pn x1 + qn y1 ≥ 0,(3.1)rn x1 + qn y1 ≥ 0.В силу равенства Sn+1 = Tn Sn имеем рекуррентные соотношенияpn+1 = (an − 1)pn + rn = an pn + (rn − pn ),rn+1 = an pn + rn ,qn+1 =an qn + (sn − qn ),sn+1 =an qn + sn(3.2)с начальными условиями p1 = 1, q1 = 0, r1 = 0, s1 = 1.
Покажем, чтоrn = pn + pn−1 при n > 1. Равенство r2 = a1 = (a1 − 1) + 1 = p2 + p1составляет базу индукции. Пусть rn = pn + pn−1 . Тогдаrn+1 = an pn + rn = an pn + (rn − pn ) + pn = pn+1 + pn .Следовательно, равенство rn = pn + pn−1 имеет место при всех n. Аналогично, rn = qn + qn−1 , n > 1. Отсюда следует, что формулы (3.2) можнопереписать в видеpn+1 =an pn + pn−1 ,qn+1 =an qn + qn−1 ,rn =pn + pn−1 ,p1 =1,q1 =0,sn =qn + qn−1 .79p2 =a1 − 1,q2 =1,Известные формулы из теории цепных дробей показывают:pn= a1 − 1 +qn10= θn−1=1a2 +··· +11θn−1− 1,an−1где1θn =.1a1 +a2 +1··· +1an−1Поэтому неравенства (3.1) эквивалентны паре неравенств½y1 + θn0 x1 ≥ 0,n−1y1 + pqnn +p+qn−1 x1 ≥ 0.pnrn10qn = limn→∞ θn = θ − 1, то также limn→∞ sn =1n−1limn→∞ pqnn +p+qn−1 = θ − 1.
Следовательно, в пределе оба неравенства даютодно условие y1 + ( θ1 − 1)x1 ≥ 0. Заметим, что на прямой y1 + ( θ1 − 1)x1 = 0Так как limn→∞лежит только одна точка с целочисленными координатами — (0, 0). Поэтому©ª(φ1∗ )−1 K0 (Aθ )+ = (x, y) ∈ Z2 | θy + (1 − θ)x ≥ 0 .Рассмотрим гомоморфизм абелевых групп ρ : Z2 → R, ρ(x, y) = (1 −θ)x + θy. Тогда ρ(1A ) = ρ(1, 1) = 1 и порядок на K0 (Aθ ) совпадает спорядком, индуцированным вложением ρ. Поэтому мы можем считать,что K0 (Aθ ) = Z + θZ ⊂ R с естественным порядком, т.е. K0 (Aθ ) = Gθ .3.4Характеристические классы AF-алгебрОсновное свойство AF-алгебр, позволяющее полностью описать её характеристические классы, заключено в следующем утверждении (см.
[7, теорема 6.3.11]).Теорема 3.10. Все AF-алгебры принадлежат классу сепарабельныхядерных C ∗ -алгебр.¤80Определение 3.10. Пусть дана некоторая AF-алгебра A. Элемент α ∈K0 (A) называется бесконечно малым, если 1+nα ∈ K0+ (A) для всех целыхn. Бесконечно малые элементы образуют подгруппу Kinf (A) в K0 (A).Элемент α ∈ K0 (A) называется приближённо скалярным, если длялюбого натурального n существуют рациональное число p и натуральноеl, такие что pl ∈ Z и l(1 ± n(α − r · 1)) ≥ 0. Приближённо скалярные элементы также образуют подгруппу, которую мы будем обозначать Kas (A).e 0 (A) будет обозначаться Ke as (A). СмыслОбраз Kas (A) при проекции на Kвведённых понятий станет ясен ниже.^ — алгебра компактных операторов с доПример 3.7.
Пусть A = K(H)бавленной единицей из примера 3.4. Тогда K0 (A) = Z ⊕ Z. Конус положительных элементоввычисляетсяª точно так же,как и в примере 3.6 и©+равен K0 (A) = (x, y) ∈ Z2 | x ≥ 0 . Тогда множество бесконечно малыхэлементов есть Kinf (A) = {(0, y) | y ∈ Z}.
Оно порождается классами эквивалентности конечномерных проекторов p ∈ K(H) ⊂ A. Заметим, чтодля любого функционала τ ∈ A∗ типа следа, т.е. обладающего свойствомτ (ab) = τ (ba) для всех a, b ∈ A, и конечного проектора p ∈ K(H) τ (p) = 0.Подгруппа Kas (A) в данном случае совпадает со всей группой K0 (A).Пример 3.8.
Пусть A = Aθ , θ ∈ [0, 1]\Q — алгебра из примера 3.6. ТогдаK0 (A) = Z ⊕ Z, Kinf (A) = {0} и Kas (A) = K0 (A).Сформулируем основной результат этой главы.Теорема 3.11. Пусть A есть некоторая унитальная AF-алгебра и chn :K0 (A) → HC2n (A) есть её характер Черна. Тогда для каждого n ≥ 01. ker chn = Kinf (A);2.
линейное пространство, порождённое Im chn , плотно в HC2n (A).e 0 (A) → H 2n (Ωe ∗ (A)) в этом случае обПриведённый характер chn : Kunivладает аналогичными свойствамиe as (A);1’. ker chn = K2’. линейное пространство,e ∗ (A)).H 2n (ΩunivпорождённоеIm chn ,плотновДоказательство. Согласно теореме 3.10 достаточно рассмотреть толькослучай n = 0, т.е. убедиться в том, что отображениеTrTr : K0 (A) −→ A/[A, A]81обладает нужными свойствами.Пусть A = limn→∞ An , An ⊂ An+1 — плотное семейство конечномерных подалгебр. Тогда имеем K0 (A) = lim K0 (An ).
Обозначим φn :K0 (An ) → K0 (A) — отображение, индуцированное вложением An → A.Рассмотрим отображения следа Tr n : K0 (An ) → An /[An , An ]. Легкоувидеть, что след Tr n инъективен и порождённое его образом линейноеen = An /[An , An ].пространство совпадает со всем AВведём на множествах K0 (A) и K0 (An ) ряд норм: "алгебраические"и"топологические"(со штрихом)¾½llk · kn , kαkn = inf r ∈ Q+ | ∃l ∈ N :∈ Z, l ± α ∈ K0+ (An ) ,rr½¾llk · k∞ , kαk∞ = inf r ∈ Q+ | ∃l ∈ N :∈ Z, l ± α ∈ K0+ (A) ,rrk · k0n , kαk0n = kTr n (α)kAen ,k · k0∞ ,kαk0∞ = kTr (α)kAe,где α ∈ K0 (A). Заметим, что α ∈ Kinf (A) ⇔ kαk∞ = 0, а S(A) являетсязамыканием в K0 (A) множества скаляров λ·1, λ ∈ Q относительно нормыk · k∞ .Покажем, что k · k∞ = limn k · kn = limn k · k0n = k · k0∞ . Тогда, в силухаусдорфовости HCn (A),ker Tr = {α ∈ K0 (A) | kαk0∞ = 0} = {α ∈ K0 (A) | kαk∞ = 0} = Kinf (A),что доказывает первую часть теоремы.1.
Проверим равенство k · k∞ = limn k · kn . Пусть α ∈ K0 (An ). Еслиl + lrα ∈ K0+ (An ), r ∈ Q, то l + lrφn (α) = φn (l + lrα) ∈ K0+ (A), таккак φn (K0+ (An )) ⊂ K0+ (A). Поэтому kαk∞ ≡ kφn (α)k∞ ≤ kαkn , откудаk · k∞ ≤ lim k · kn .Обратно, пусть α ∈ K0 (A) и l ± lrα ≥ 0, r ∈ Q+ . Тогда найдётся натуральное число n и элементы αn ∈ K0 (An ), βn± ∈ K0+ (An ), такие чтоφn (αn ) = α, φn (βn± ) = l ± lrα.
Так как φn (l ± lrαn ) = φn (βn± ), то суще±ствует m ≥ n, т.ч. элементы αm = φnm (αn ) ∈ K0 (Am ) и βm= φnm (βn± ) ∈±K0+ (Am ) связаны соотношением 1 ± rαm = βm. Тогда kαm km ≤ r−1 , такчто limm kαkm = limm kφnm (αn )km ≤ r−1 . Отсюда следует обратное неравенство k · k∞ ≥ limn k · kn .LN2. РассмотримконечномернуюалгебруA.ТогдаA=nnk=1 Mnk (C ).PПусть a = k ak , ak ∈ Mnk (C ), есть некоторый элемент из An . C ∗ -норма82a равна kak = maxk ρ(a∗k ak ), где ρ(·) — спектральный радиус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
