Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр (1105195), страница 12
Текст из файла (страница 12)
[7]). Любая конечномерная или коммутативная C ∗ алгебраядерна. Любой идеал и факторалгебра ядерной алгебры ядерны. Множество ядерных алгебр замкнуто относительно расширения. Прямой пределядерных алгебр (см. определение 3.5) — также ядерная алгебра.Следующей теоремой мы обязаны Конну [17] и Хаагерупу [21].Теорема 3.1. Пусть A — C ∗ -алгебра. Тогда A — аменабельна ⇐⇒ A —ядерная.¤Соединяя вместе результаты теорем 1.25, 1.26, 3.1, мы получим следующее утверждение.Теорема 3.2. Пусть A есть ядерная C ∗ -алгебра. Тогда все отображенияSnIA/[A, A] = HH0 (A) −→ HC0 (A) ←− HC2n (A),SnIe ∗univ (A))A/([A, A] + C 1) = HH 0 (A) −→ HC 0 (A) ←− HC 2n (A) ←- H 2n (Ω70суть изоморфизмы полных преднормированных пространств и все пространства хаусдорфовы, а значит банаховы.¤Замечание 3.4.
Сопряжённое пространство к A/[A, A] отождествляетсяс пространством функционалов типа следа, т.е. таких функционалов τ :A → C , что τ (ab) = τ (ba) для любых a, b ∈ A. Таким образом, характерЧерна в случае, когда алгебра является аменабельной, показывает, какиепроективные модули можно различить с помощью следов.Пример 3.1 (характеристические классы коммутативных C ∗ -алгебр).Пусть A — сепарабельная коммутативная C ∗ -алгебра с единицей. ТогдаA = C(X) — алгебра непрерывных функций на компактном топологическом пространстве X. По теореме Такесаки (см. [7]) алгебра A ядерна, и мы можем применить теорему 3.2.
Так как A коммутативна, тоHH0 (A) = A. Посмотрим, чему равен нулевой характеристический классконечнопорождённого проективного модуля E. По теореме Серра-Суона,E = Γ(ξ) — модуль сечений некоторого локально тривиального векторного расслоения ξ. Тогда ch0 (E) = Tr (ξ) является локально постояннойфункцией, принимающей значения в N ∪ {0}, которая равна размерностислоя расслоения в конкретной точке. Предположим, что X связно.
Тогда ch0 (E) = dim ξ — постоянная функция. В этом случае приведённыйхарактер Черна ch0 (E) нулевой, следовательно, все универсальные характеристические классы, а вместе с ними и все харклассы Каруби иЖураева-Мищенко-Соловьёва, равны нулю.Замечание 3.5. Если A = C ∞ (M, C ) — алгебра Фреше гладких функций на многообразии M , то, как показал Конн [16], группа гомологийn−2ke ∗ (A)) изоморфна прямой сумме L(M, C ).
При этом n-йH n (Ωunivk≥0 Hуниверсальный характеристический класс проективного модуля E = Γ(ξ)совпадает с точностью до скалярного множителя с суммой первых n членов обычного характера Черна расслоения ξ.3.2Определение аппроксимативно конечныхалгебрНапомним определение прямого предела последовательности C ∗ -алгебр(см. [7]). Пусть дана последовательность C ∗ -алгебр (An )∞n=1 и *гомоморфизмов φn : An → An+1 , n ∈ N.
Рассмотриммножество A0 , соQ∞стоящее из последовательностей a = (an ) в n=1 An , таких что an+1 =φn (an ) для всех n, начиная с некоторого натурального числа N . A0 явля71ется *-подалгеброй вQ∞n=1An . Функционал p : A0 → R+ ,p(a) = lim kan k,n→∞a = (an ) ∈ A0 ,есть C ∗ -преднорма на A0 .
Пусть B = p−1 (0) ⊂ A0 . Тогда B — идеал и pопределяет C ∗ -норму p̄ на факторалгебре A0 /B.Определение 3.5. Пополнение A *-алгебры A0 /B относительно p̄ является C ∗ -алгеброй и называется прямым пределом последовательностиC ∗ -алгебр (An , φn ). Общепринятое обозначение для прямого предела —A = limn→∞ An .Замечание 3.6.
Мы будем использовать обозначение φl : Al → A дляканонического *-гомоморфизма, отображающего элемент a ∈ Al в последовательность (ψln (a)), где φn−1 . . . φl+1 φl , l < n;idAl ,l = n;ψln : Al → An , ψln =0,l > n.Из определения следует коммутативность диаграммыAnφn−→ An+1φn & ↓ φn+1A.Определение 3.6. Аппроксимативно конечной алгеброй (или AFалгеброй) называется C ∗ -алгебра, которая является прямым пределом последовательности конечномерных C ∗ -алгебр.Замечание 3.7.
Пусть A = limn An , где An — конечномерная C ∗ -алгебрадля каждого n. Обозначим A0n = φn (An ) ⊂ A. Тогда A0n является коS∞нечномерной C ∗ -подалгеброй в A, A0n ⊂ A0n+1 и A = n=1 A0n — замыкание возрастающего семейства конечномерных алгебр. Последовательность алгебр (A0n ) с отображениями включения является прямой иA = limn→∞ A0n . Поэтому можно считать, что AF-алгебра A являетсяпределом последовательности, в которой все отображения мономорфны,т.е. являются вложениями.Воспользуемся следующим простым утверждением (см. [15]) для получения более конкретного комбинаторного описания AF-алгебры как прямого предела конечномерных подалгебр.72Предложение 3.3.1.
Пусть A — конечномерная C ∗ -алгебра. ТогдаA = Mn1 ⊕ · · · ⊕ Mnk ,Mni = Mni (C ),для некоторых k, n1 , . . . , nk ∈ N;LNLN 02. Пусть A = k=1 Mnk , B = l=1 Mn0l — конечномерные C ∗ алгебры и φ : A → B инъективный унитальный *-гомоморфизм. Тогда(k)существует базис eij , k = 1, . . . , N, i, j = 1, . . . , nk алгебры A и(l)базис fij , l = 1, . . .
, N 0 , i, j = 1, . . . , n0l алгебры B, а также неотрицательные целые числа [kl], k = 1, . . . , N, l = 1, . . . , N 0 , такиечто0(k)φ(eij )=[kl]N XX(l)fdkl +pnk +i,dk +pnk +j ,k = 1, . . . , N, i, j = 1, . . . , nkl=1 p=1nX[kl] = n0l ,l = 1, . . . , N 0 ,k=1Pk−1где dkl = s=1 [sl]. Иными словами, с точностью до замены координат гомоморфизм φ определён кратностями вложения [kl] k-тойматричной компоненты алгебры A в l-тую компоненту алгебры B.¤SLnpПусть A =A,A=pppk=1 M[p,k] , — унитальная AF-алгебра,причём гомоморфизмы φp : Ap → Ap+1 сохраняют единицу.
Тогда прямую систему (Ap , φp ) можно задать с помощью графа D(A), построенногоследующим образом. Вершины графа D(A) индексируются множествомпар (p, k), p ∈ N, k = 1, . . . , np . Рёбра могут соединять только пару вершин вида (p, k), (p + 1, l), причём количество рёбер, соединяющих этидве вершины, равно кратности вложения [p, k; p + 1, l] соответствующихматричных компонент при отображении φp : Ap → Ap+1 . Вершина (p, k)помечена числом [p, k], равным размеру соответствующей матричной компоненты. Утверждение 3.3 показывает, что помеченный граф D(A) полностью определяет прямую систему (An , φn ) и, таким образом, алгебруA.Определение 3.7.
Помеченный граф D(A) называется диаграммойБраттели алгебры A.Заметим, что алгебра может описываться несколькими диаграммами.Приведём несколько примеров AF-алгебр, заданных диаграммамиБраттели.73LNПример 3.2 (конечномерная AF-алгебра). Пусть алгебра A = k=1 Mnk— конечномерная C ∗ -алгебра. Тогда A можно представить в виде прямогопредела последовательности (An , φn ), An = A, φn = idA .
Диаграмма D(A)имеет видn 1 n 2 . . . nN|||n 1 n 2 . . . nN .|||... ... ... ...Пример 3.3 (равномерно гиперфинитные алгебры). Прямой предел последовательности конечномерных простых C ∗ алгебр называется равномерногиперфинитной алгеброй,Sили же UHF-алгеброй. Пусть A — унитальная∞UHF-алгебра. Тогда A = n=1 An , An — конечномерная простая алгебра,т.е., как следует из предложения 3.3, An = Mqn . Пусть sn = [n−1, n], n > 1— кратность вложения An−1 в An и s1 = q1 . Тогда легко увидеть, чтоqn = s1 s2 .
. . sn . В результате получаем диаграммуs1|...|s1 s2|...|s1 s2 s3....Мы будем использовать для UHF-алгебры A с такой диаграммой обозначение Ms , s = (sn )∞n=1 . В частном случае, когда все sn равны 2, мы получаем бесконечномерную алгебру Клиффорда C l, поскольку Cl2n = M2n .Пример 3.4.
Рассмотрим диаграмму11| / |21| / | .31| / |... ...^ — унитализация алAF-алгебра, которая ей соответствует, есть K(H)гебры компактных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве.74Следующее утверждение (см. [15])показывает, что любой идеал в AFалгебре сам является AF-алгеброй.S∞Утверждение 3.4. Пусть A = n=1 An — унитальная AF-алгебра иS∞I C A — идеал.
Обозначим In = I ∩ An . Тогда I = i=1 In .¤Замечание 3.8. Предыдущее утверждение предоставляет комбинаторноеописание идеалов в аппроксимативно Lконечной алгебре. Именно, проnpстранствоIявляетсяидеаломвA=ppk=1 M[p,k] , следовательно, Ip =Lk∈Jp M[p,k] , Jp ⊂ {1, . . . , np }. Тогда идеалу I можно сопоставить полнуюподдиаграмму DI в диаграммеБраттели D(A), вершины которой составS∞ляют множество Λ = p=1 {(p, k) | k ∈ Jp }. При этом диаграмма DI будетобладать следующими свойствами:1.
из k ∈ Jp и [p, k; p + 1, l] > 0 следует, что l ∈ Jp+1 ;2. если для всех l, таких что [p, k; p + 1, l] > 0, выполнено l ∈ Jp+1 , тоk ∈ Jp .Обратно, любая поддиаграмма, обладающая перечисленными выше свойствами, определяет некоторый идеал в A. Соответствие I 7→ DI являетсябиекцией (см. [15]).3.3K-теория AF-алгебрВычисление K-группы AF-алгебры не представляет труда в виду следующих двух фактов (см.
[7, теоремы 7.2.4 и 7.3.12]).LNУтверждение 3.5. Пусть A = k=1 Mnk — конечномерная C ∗ -алгебра.Тогда K0 (A) = ZN .¤Теорема 3.6 (непрерывность K-функтора). Пусть (An , φn ) — прямая последовательность C ∗ -алгебр и A = limn→∞ An . ТогдаK0 (A) = limn→∞ K0 (An ) — прямой предел последовательности групп(K0 (An ), (φn )∗ ).¤SПример 3.5. Пусть A = n=1 An , An = Mqn — равномерно гиперфинитная алгебра из примера 3.3. Тогда группа K0 (A) является пределомпоследовательности группsss123Z −→Z −→Z −→Z → ...75и, таким образом, изоморфна Z(s), где группа Z(s) состоит из рациональных чисел видаmm=, m ∈ Z, n ∈ N.qns 1 . .
. snВ частности, K-группа бесконечномерной алгебры Клиффорда равнагруппе двоично-рациональных чисел: K0 (C l) = Z[ 12 ].Замечание 3.9. Пусть A — унитальная AF-алгебра. Обозначим K0 (A)+ —множество классов стабильной эквивалентности конечных проективныхмодулей над A. Тогда K0 (A)+ является конусом в K0 (A). Частичный порядок, определяемый положительным конусом K0 (A)+ , задаёт на K0 (A)структуру частично упорядоченной группы.Основным результатом K-теории аппроксимативно конечных алгебрявляется классификационная теорема Эллиотта [7, теорема 7.2.10].Теорема 3.7. Пусть A, B — унитальные AF-алгебры и τ : K0 (A) →K0 (B) — изоморфизм порядковых групп, являющийся унитальным, т.е.τ [1A ] = [1B ]. Тогда существует *-изоморфизм φ : A → B, такой чтоφ∗ = τ .¤Таким образом, (унитальные) AF-алгебры однозначно задаются своейK-теорией.
Следовательно, любые свойства AF-алгебры A проявляютсятем или иным образом в группе K0 (A). Примером может служить следующее предложение.Предложение 3.8. Пусть A — унитальная AF-алгебра. Тогда A — простая ⇐⇒ для любых α ∈ K0 (A)+ , α 6= 0, β ∈ K0 (A) найдётся n ∈ N,такое что β ≤ nα.Доказательство. Из комбинаторного описания идеалов, данного в замечании 3.8, вытекает следующий критерий простоты алгебры (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
