Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр (1105195), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пускайen = An /[An , An ] — естественная проекция.πn : An → Ae=Лемма 3.12. Пусть A = Mm (C ), k · k — C ∗ -норма на ней и π : A → A1A/[A, A] проекция. Тогда для любого a ∈ A kπ(a)kAe = m|Tr (a)|.Доказательство леммы. Пусть a ∈ A. Ясно, что для элемента a0 =m−1 Tr (a) · 1A выполнено a − a0 ∈ [A, A], так что kπ(A)kAe ≤ ka0 k =m−1 |Tr (A)|.
В силу компактности существует b ∈ A, т.ч. b − a ∈[A, A], kbk = kπ(a)kAe. Покажем, что b = a0 . В жордановомбазисе элеLnмент b распадается в сумму жордановых клеток b = k=1 Jnk (λk ). Тогдаkbk2 равно максимальному собственному значению матрицы b∗ b. Так какb∗ b ≥ 0, тоkbk2 ≥1Tr (b∗ b) =mNN1 X1 X12(|λk | + nk − 1) ≥|λk |2 ≥ 2mmmk=1k=1¯N¯¯ X ¯2¯¯λk ¯ =¯¯¯k=1112|Tr(b)|=|Tr (a)|2 = ka0 k2 ,22mm(3.3)с другой стороны, kbk ≤ ka0 k. Следовательно, kbk = ka0 k и все неравенствав формуле (3.3) являются равенствами.
Из второго неравенства в (3.3) получаем, что все nk равны 0, т.е. b — диагональная матрица. Обращение вравенство третьего неравенства (Коши-Буняковского) означает, что вектора (λ1 , . . . , λm ) и (1, . . . , 1) пропорциональны, иначе говоря, b = λ · 1A ,1где λ = mTr (a). Таким образом, a0 = b и kπ(a)kAe = ka0 k = m−1 |Tr (a)|.Из леммы следует, что kπn (a)kAen = maxk n−1k |Tr (ak )|. Пусть α ∈P(k)K0 (An ). Тогда α =µk pk , где µk ∈ Z и pk = [e11 ] — класс ста(k)бильной эквивалентности матричной единицы e11 ∈ Mnk , посколькуK0 (An ) = Zp1 ⊕ · · · ⊕ ZpN и K0+ (An ) = Np1 ⊕ · · · ⊕ NpN . В результатеP(k)применения следа получаем элемент Tr n (α) = k µk πn (e11 ), откуда°°°X°°°0kαkn = °µk Tr n (pk )°°°kenA°°°X°°(k) °=°µk πn (e11 )°°°enAkmaxk=1,...,N83=¯ ¯¯¯ µk ¯1 ¯¯(k) ¯¯Tr (µk e11 )¯ = max ¯¯ ¯¯ .k=1,...,N nknkС другой стороны, имеем цепь эквивалентных условий:l(1 ± rα) =Xl(nk ± rµk )pk ≥ 0 ⇔ nk ± rµk ≥ 0 и lrµk ∈ Z ⇔k|r−1 | ≥ maxk|µk |и lrµk ∈ Z.nkУсловие целочисленности можно снять подходящим выбором l ∈ N.
Поэтому получаем равенство¯ ¯¯ µk ¯kαkn = max ¯¯ ¯¯ = kαk0n .k=1,...,N nkПереход к пределу даёт второе доказываемое тождество limn k · kn =limn k · k0n .S3.Пустьx∈Aдлянекоторогоn.Таккакnn An плотно в A, тоSn [An , An ] плотно в [A, A]. ПоэтомуkxkAe =infy∈[A,A]kx + ykA =infinfy∈[Am ,Am ], m≥ny∈[Am ,Am ], m≥nkx + ykA =kx + ykAm = inf kxkAem = lim kxkAem ,m≥nm→∞где третье равенство следует из изометричности вложения Am ,→ A, ачетвёртое вытекает из изометричности гомоморфизма An ,→ Am и вложения [An , An ] ⊂ [Am , Am ], в силу чего последовательность kxkAem монотонно убывает.
Таким образом, оказывается справедливым последнееравенство для норм k · k0∞ = limn k · k0n .Для завершения доказательства остаётся показать плотность пространства, порождённогоотображения Tr . Но это следует плотS e образомeности пространства n An в A и того факта, что для конечномерной алLNгебры An = k=1 Mnk (C ) образ Tr n есть решётка максимального рангаen = C N и, таким образом, содержит некоторый базис пространствав Aen .A^ или равномерно гиперфинитнаяПример 3.9. Пусть A есть алгебра K(H),алгебра Ms , или Aθ .
В любом случае имеем Kas (A) = K0 (A), так что приведённый характер Черна, а значит, и все характеристические классы Каруби и Жураева-Мищенко-Соловьёва тривиальны. Из второго утверждения теоремы следует, что HC 0 (A) = 0, так что A/[A, A] = HC0 (A) = C .Согласно замечанию 3.4, предыдущее равенство означает, что на алгебре A имеется единственный нормированный след τ , который индуцирует84вложение K0 (A) в R. Поскольку при этом классы проекторов переходятв положительные вещественные числа и алгебра A линейно порождаетсяпроекторами, то τ — положительный функционал на A. Этот факт будетиспользован в главе 4 (см.
пример 4.1).Пример 3.10. Пусть G — компактная группа. Тогда её C ∗ -групповаяалгебра C(G) является AF-алгеброй, поскольку содержит плотное семейство конечномерных подалгебр, составленных из матричных элементов неприводимых представлений. В этом случае K0 (C(G)) совпадает^с кольцом представлений R(G). Рассмотрим унитализацию A = C(G).Тогда A — унитальная AF-алгебра и K0 (A) = K0 (C(G)) ⊕ Z, так чтоe 0 (A) = K0 (C(G)). Так как в K0 (A) нет приближённо скалярных элеKментов, отличных от нуля, (приведённый) характер Черна инъективен,т.е. различает все проективные модули.
Этот результат есть переформулировка известного утверждения о том, что представление компактнойгруппы однозначно определяется своим характером.85Глава 4Алгебры фон НейманаВ этой главе мы рассматриваем такой класс C ∗ -алгебр, как алгебры фонНеймана, или операторные алгебры. Теория алгебр фон Неймана, в отличие от общей теории C ∗ -алгебр, оказывается более простой. В первомпараграфе мы перечисляем некоторые факты из теории операторных алгебр, включая классификацию алгебр фон Неймана и две структурныетеоремы, касающиеся дискретных операторных алгебр. Третья группарезультатов, излагаемых в этом параграфе, описывает основные свойствагиперфинитного фактора типа II1 . Второй параграф посвящён вычислению K-теории операторных алгебр (теоремы 4.9 и 4.11). Поведение характеристических классов алгебр фон Неймана, разбираемое в параграфе 4.3,во многом похоже на случай полупростых алгебр из главы 2.
Аналогомтеоремы 2.1 об универсальных характеристических классах здесь служаттеоремы 4.13 и 4.15, предложению 2.5 соответствует теорема 4.17.4.1Классификация алгебр фон НейманаНапомним некоторые факты из теории алгебр фон Неймана.Определение 4.1. Пусть ch — гильбертово пространство и L(H) — алгебра ограниченных линейных операторов на ch. Топология на L(H),определяемая системой полунорм k · kx , kT kx = kT xk, x ∈ ch, называется сильной топологией. Система полунорм k · kx,y , x, y ∈ ch, kT kx,y =| < T x, y > | задаёт слабую топологию на L(H).Пусть A ⊂ L(H) — *-подалгебра. Коммутантом алгебры A называ-86ется множествоA0 = {a ∈ L(H) | ab = ba для всех b ∈ A}.Коммутант A0 является *-подалгеброй в L(H).Определение 4.2.
*-алгебра A ⊂ L(H) называется алгеброй фон Неймана, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:1. A слабо замкнута;2. A сильно замкнута.Если A содержит единичный оператор 1H , то перечисленным выше условиям эквивалентно следующее3. A совпадает со своим бикоммутантом A00 = (A0 )0 .Определение 4.3. Пусть A — алгебра фон Неймана. Следом на множестве положительных элементов A+ алгебры A называется отображениеφ : A+ → [0, +∞], обладающее такими свойствами:1.
для любых a, b ∈ A+ φ(a + b) = φ(a) + φ(b);2. φ(λa) = λ φ(a) для любого a ∈ A+ и λ ∈ [0, +∞);3. если a ∈ A+ и u ∈ U (A) — унитарный элемент, то φ(uau−1 ) = φ(a).След называетсяверным, если равенство φ(a) = 0 влечёт a = 0;конечным, если φ(a) < +∞ для всех a ∈ A+ ;полуконечным, если для любого a ∈ A+φ(a) = sup{φ(b) | b ∈ A+ , b ≤ a, φ(b) < ∞};нормальным, если для любой возрастающей направленности (aα ) в A+ ,имеющей точную верхнюю грань a = supα aα ∈ A+ , φ(a) =supα φ(aα ).87Определение 4.4.
Алгебра фон Неймана A называется конечной (полуконечной), если для любого a ∈ A+ , a 6= 0 существует конечный (полуконечный) нормальный след φ на A+ , такой что φ(a) 6= 0. Если единственным нормальным конечным (полуконечным) следом на A+ являетсятождественное отображение в 0, то алгебра A называется собственно бесконечной (соотв. типа III).Алгебра фон Неймана A называется дискретной или типа I, если онаизоморфна алгебре фон Неймана B, коммутант которой B 0 коммутативен. Алгебра A называется непрерывной, если для любого проектора pиз центра алгебры A алгебра pAp не является дискретной. Дискретнаяалгебра фон Неймана является полуконечной.Говорят, что алгебра фон Неймана A имеет тип II1 , если она непрерывна и конечна, и тип II∞ , если она собственно бесконечна, полуконечнаи непрерывна.Замечательной особенностью теории алгебр фон Неймана оказываетсяналичие ряда структурных теорем.Теорема 4.1 (см.
[18]). Пусть A есть алгебра фон Неймана. Тогда имеемразложениеA = A1 × A2 × A3 × A4 ,где A1 — алгебра фон Неймана типа I, A2 имеет тип II1 , A3 — тип II∞ ,A4 — тип III.¤Теорема 4.2 (см. [18]). Пусть A — алгебра фон Неймана типа I. ТогдаA представима в виде произведения алгебр фон НейманаYA=Bi ⊗ L(H i ),iгде Bi — абелева алгебра фон Неймана и кардинальныечисла ni = dim chiQвсе различны. При этом произведениеQ Af = i: ni <∞ Bi ⊗L(H i ) являетсяконечной алгеброй типа I, а A∞ = i: ni ≥∞ Bi ⊗ L(H i ) есть собственнобесконечная дискретная алгебра фон Неймана.¤Определение 4.5. Алгебра фон Неймана A относится к типу In , n < ∞,если она изоморфна B ⊗ L(C n ), B — абелева алгебра фон Неймана, и ктипу I∞ , если A ' B ⊗ L(H), где B коммутативна и dim ch = ∞.Теорема 4.3 (см. [18]).
Пусть A — коммутативная алгебра фон Неймана. Тогда существует локально компактное пространство Z, положительная мера ν на Z с носителем Z и *-изоморфизм алгебрψ : L∞C (Z, ν) → A,88где L∞C (Z, ν) есть алгебра существенно ограниченных комплекснозначных функций на Z.¤Важным частным случаем алгебр фон Неймана являются факторы.Определение 4.6. Алгебра фон Неймана A называется фактором, еслиеё центр Z(A) состоит лишь из скаляров C 1.Замечание 4.1. Из теорем 4.1, 4.2 следует, что фактор относится к одномуиз типов In , I∞ , II1 , II∞ , III. Фактор типа I изоморфен L(H).Заметим, что множество конечных дискретных факторов являетсявполне упорядоченным (так как изоморфно N). В частности, имеется минимальный фактор типа I — одномерная алгебра C . Оказывается, чтосреди факторов типа II1 также есть в некотором смысле минимальныйфактор.Определение 4.7. Конечный непрерывный фактор называется гиперфинитным фактором, если он порождается как алгебра фон Нейманавозрастающим семейством конечномерных *-подалгебр.Теорема 4.4 (см.
[18]). Любые два гиперфинитные фактора изоморфны.¤Таким образом, имеется не более одного гиперфинитного фактора, который в дальнейшем мы будем обозначать как R. Следующий пример показывает, что гиперфинитный фактор существует (ср. [7, теорема 6.2.5]).Пример 4.1. Пусть A есть либо UHF-алгебра, либо алгебра Aθ из примера 3.6. В любом случае, A проста по предложению 3.8 и обладает единственным функционалом типа следа τ : A → C , таким что τ (1) = 1 (см.пример 3.9). Рассмотрим соответствующее τ представление ГельфандаНаймарка-Сигала. Иными словами, мы рассматриваем на A полуторалинейную форму <, >τ , < a, b >τ = τ (a∗ b), a, b ∈ A. Она неотрицательная идаже положительно определена в силу простоты A. Действительно, множество Nτ = {a ∈ A | τ (a∗ a) = 0} является левым идеалом в A, а значит и правым идеалом, поскольку τ — функционал типа следа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
