Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр (1105195), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Точно так же любой конечнопорождённый Aмодульв прямую сумму простых модулейLNE проективен и nразлагаетсяkE = k=1 µk Ek , Ek = Fk .63Определение 2.1. Пусть F — конечномерная алгебра с делением надполем k. Тогда F ⊗k k̄ = Md (k̄), где k̄ — алгебраическое замыкание поляk. Число d называется индексом алгебры с делением F и обозначаетсяind (F ).Когда char (k) = p 6= 0, алгебра A распадается по отношению к индексув прямую сумму двух подалгебр:MMAk , Areg =Ak ,A = Adeg ⊕ Areg ,Adeg =k: p | ind (Fk )k: p - ind (Fk )которые мы соответственно называем вырожденной и невырожденной частью алгебры A. Аналогично, имеем разложение E = Edeg ⊕ Ereg дляA-модуля E.Сформулируем теорему, аналогичную теореме 2.1, для случая поляпростой характеристики.LNТеорема 2.6.
Пусть A =i=1 Mni (Fi ) — полупростая алгебра,PNE =i=1 µi Ei — конечномерный A-модуль. Тогда, если невырожденная часть модуля E пропорциональна невырожденной части регулярного модуля A :Ered ≡ λAredmod pдля некоторого λ ∈ Zp ,то все характеристические классы cn (E), 2n < p равны нулю. В противном случае, cn (E) 6= 0 для всех n ≤ p−12 .Доказательство. Доказательство того, что из условия Ereg ≡ λAreg следует равенство нулю всех характеристических классов, ничем не отличается от случая нулевой характеристики поля.Пусть Ereg 6≡ Areg . Предположим сначала, что поле k алгебраическизамкнуто. Тогда Fk = k для всех k и Areg = A, Ereg = E. В этом случаемы можем повторить рассуждения теоремы 2.1.Рассмотрим случай незамкнутого поля.
Пусть k̄ — алгебраическоезамыкание поля k. Обозначим Ā = A ⊗k k̄ — расширение алгебрыA в новомLN поле. Тогда по определению индекса алгебры с делениемĀ =k=1 Mνk nk (k̄), где νk = ind (Fk ). Аналогично, Ē = E ⊗k k̄ =LN00νk nk. Из определения универсального диффеk=1 µk νk Ek , где Ek = k̄ренциального исчисления следует, что Ω∗univ (Ā|k̄) = Ω∗univ (A) ⊗ k̄ и, такимe ∗ (A)) ⊗ k̄. С другой стороны, если E 'e ∗ (Ā|k̄)) = H ∗ (Ωобразом, H ∗ (ΩunivunivIm P для некоторого проектора P ∈ Mr (A), то Ē ' Im (P ⊗ 1), где P ⊗ 1 ∈64Mr (Ā) = Mr (A) ⊗ k̄.
Поэтому cn (Ē, Ω∗univ (Ā|k̄)) = cn (E, Ω∗univ (A)) ⊗ 1. Вчастности, условия cn (Ē, Ω∗univ (Ā|k̄)) = 0 и cn (E, Ω∗univ (A)) = 0 равносильны. Отсюда для каждого n < p2 получаем цепь эквивалентностейcn (E, Ω∗univ (A)) = 0 ⇔ cn (Ē, Ω∗univ (Ā|k̄)) = 0 ⇔∃λ : Ē ≡ λĀ mod p ⇔ ∃λ : νk µk ≡ λνk nk , k = 1, . . . , N ⇔∃λ : µk ≡ λnk для всех k : p - νk ⇔ ∃λ : Ereg ≡ λAreg .Теорема доказана.Замечание 2.3. В отличие от случая char k = 0, простая конечномернаяалгебра может иметь нетривиальные характеристические классы. Например, если E есть неприводимый модуль алгебры A = Mp (k), то условиеn (E) = 0 эквивалентно равенству 1 ≡ λp mod p для некоторого λ, которое, очевидно, не может быть выполнено. Поэтому стабильные характеристические классы модуля E отличны от нуля.Заметим, что по теореме Веддерберна всякое конечное тело коммутативно и, стало быть, имеет индекс 1.
Поэтому, если основное поле конечно,то Areg = A и мы получаем следующее утверждение.Следствие 2.7. Пусть k = Fq , q = pl — поле Галуа. Пусть A =LNPNM(F)—полупростаяалгебра,E=niii=1i=1 µi Ei — конечномерныйA-модуль. Тогда, если модуль E пропорционален свободному: E ≡ λAmod p для некоторого λ ∈ Fp , то все характеристические классы cn (E)равны нулю. В противном случае, cn (E) 6= 0 для всех n ≤ p−1¤2 .Для характеристических классов дифференциального исчисленияимеем такое утверждение.LNПредложение 2.8. Пусть A =i=1 Mni (Fi ) — полупростая алгебPNра, E =i=1 µi Ei — конечномерный A-модуль. Тогда, если существует k, такое что p|nk , p - ind (Fk ) и p - µk , то все характеристические классы cn (E, Ω∗Z (A)), 2n < p не равны нулю.
В противном случае,cn (E, Ω∗Z (A)) = 0 для всех натуральных n ≤ p−12 .Ω∗Z (A)Доказательство. Пусть k̄ — алгебраическое замыкание поля k. Так какцентр алгебры Ā = A⊗k k̄ равен Z (Ā) = Z (A)⊗ k̄, то Ω∗Z (Ā|k̄) = Ω∗Z (A)⊗ k̄и cn (Ē, Ω∗Z (Ā)) = cn (E, Ω∗Z (A)) ⊗ 1 для любого n, так что всё сводится кслучаю алгебраически замкнутого поля.LNЕсли k алгебраически замкнуто, то A = k=1 Mnk (k). В этом случаедоказываемое утверждение следует из предложения 2.4, теоремы 2.6 и65того факта, что для простой алгебры Ak = Mnk (k) выполнено Ω∗Z (Ak ) =Ω∗univ (Ak ).Утверждение, касающееся характеристических классов дифференциальных исчислений Ω∗ (D, A), Ω∗Z (D, A), звучит так.LNПредложение 2.9. Пусть A =i=1 Mni (Fi ) — полупростая алгебра,PNE = i=1 µi Ei — конечномерный A-модуль и Ω∗ — одно из дифференциальных исчислений Ω∗ (D, A) или Ω∗Z (D, A).
Тогда, если существует k,такое что p|nk , p - ind (Fk ) и p - µk , то первый характеристическийкласс c1 (E, Ω∗ ) не равен нулю. В противном случае, cn (E, Ω∗Z (A)) = 0для всех натуральных n ≤ p−12 .Доказательство. Вторая часть предложения об обнулении характеристических классов следует из предложений 1.3 и 2.8.Пускай, напротив, существует индекс k, удовлетворяющий условиямпредложения. Пусть k̄ снова обозначает алгебраическое замыкание поляk и Ā = A ⊗k k̄.
Тождества Der (Ā) = Der (A) ⊗ k̄, Z (Ā) = Z (A) ⊗ k̄и, следовательно, Ω∗ (D̄, Ā) = Ω∗ (D, A) ⊗ k̄ и Ω∗Z (D̄, Ā) = Ω∗Z (D, A) ⊗ k̄позволяют свести ситуацию к случаю алгебраически замкнутогополя.LNИтак, пусть k алгебраически замкнуто, так что A =i=1 Ai , Ai =Mni (k). Естественная проекция алгебры pk : A → Ak является гомоморLNфизмом унитальных алгебр.
Поскольку Der (A) = i=1 Der (Ai ), то проекция pk продолжается до гомоморфизмов (pk )∗ : Ω∗ (D, A) → Ω∗ (Dk , Ak )и (pk )∗ : Ω∗Z (D, A) → Ω∗Z (Dk , Ak ) дифференциальных алгебр. Поэтому, вспоминая об естественности характеристических классов, мы можемболее упростить ситуацию и считать A = Mn (k), p | n и E =Lµ ещёn∗∗i=1 k , p - µ. Тогда D = Der (A) = sln и ΩZ (D, A) = Ω (D, A). В силу аддитивности характеристических классов достаточно показать, чтоc1 (E0 , Ω∗ (D, A)) 6= 0 для простого модуля E0 = kn . Модуль E0 можноотождествить с образом проектора e11 ∈ A, где eij , i, j = 1, . .
. , n — обозначение для матричных единиц алгебры A. Тогдаc1 (E0 , Ω∗ (D, A)) = [Tr (e11 de11 de11 )] ∈ H 2 (Ω∗ (D, k)).Обозначим ∂ij = ad eij ∈ D — Pвнутреннее дифференцирование алгебрыA. Рассмотрим элемент ρ = 2 j6=1 ∂1j ∧ ∂j1 ∈ Λ2 D. Тогда для любого66ω ∈ Ω1 (D, k)(dω)(ρ) =Xω ([∂1j , ∂j1 ]) =j6=1Xω (∂11 − ∂jj ) =j6=1nnXXXω (n − 1)∂11 −∂jj = −ω∂jj = −ωad ejj =j=1j6=1j=1− ω(ad 1 ) = 0.С другой стороны,Tr (e11 de11 de11 )(ρ) =XTr (e11 [e1j , e11 ][ej1 , e11 ] − e11 [ej1 , e11 ][e1j , e11 ]) =j6=1XTr (−e11 e1j ej1 + e11 ej1 e1j ) = −(n − 1)Tr (e11 ) = 1.j6=1Таким образом, элемент Tr (e11 de11 de11 ) не является кограницей вΩ∗ (D, k), т.е.
характеристический класс c1 (E0 , Ω∗ (D, A)) не равен нулю.LNСледствие 2.10. Пусть A =алгебра,i=1 Mni (Fi ) — полупростаяPNe = A/[A, A] — универсальный следовой модуль и E =Ai=1 µi Ei — конечномерный A-модуль. Если существует k, такое что p|nk , p - ind (Fk )и p - µk , то первый характеристический класс Жураева-Мищенкоe не равен нулю. В противном случае, Chn (E, A)e =0Соловьёва Ch1 (E, A)для всех натуральных n ≤ p−1¤2 .Замечание 2.4. Предыдущее утверждение показывает, что группа когомологий H 2 (sln , k) алгебры Ли sln не равна нулю, когда характеристикаполя p делит n.
Можно показать, что в этом случае H 2 (sln , k) = k. Заметим, что если характеристика поля нулевая, то H 2 (sln , k) = 0.67Глава 3Аппроксимативно конечныеалгебрыНачиная с этой главы мы рассматриваем алгебры с дополнительной, топологической структурой, а именно, C ∗ -алгебры. В этой главе изучаются универсальные характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр (или, сокращённо, AF-алгебр). Главу открывает параграф,посвящённый аменабельным C ∗ -алгебрам, которые характеризуются темсвойством, что отображение периодичности S для них оказывается изоморфизмом (теорема 3.2).
Это позволяет ограничиться изучением нулевого характеристического класса, что и производится в параграфе 3.4 дляC ∗ -алгебр, являющихся прямым пределом конечномерных алгебр, т.е. аппроксимативно конечных алгебр. Основным результатом этого параграфа, как и всей главы является теорема 3.11, дающая полное описаниехарактера Конна-Черна для этого класса алгебр. Пункт 3.4 предваряютпараграфы 3.2 и 3.3, в которых приводится определение аппроксимативно конечных алгебр и некоторые известные утверждения, касающиесяK-теории алгебр этого типа. Основным источником здесь нам служит [7].3.1Ядерные и аменабельные C ∗ -алгебрыОсновное поле здесь и всюду далее — поле комплексных чисел C .Пусть A — банахова алгебра с единицей, т.е. на унитальной алгебре A68имеется полная норма k · k, такая чтоkabk ≤ kak kbkдля любых a, b ∈ A.Теория характеристических классов, которая учитывала бы топологиюалгебры A, получается простым повторением конструкций первой главыс заменой объектов линейной алгебры на соответствующие объекты категории полных нормированных пространств.
То есть все отображенияпредполагаются непрерывными отображениями банаховых пространств,а тензорные произведения рассматриваются как проективные произведения банаховых пространств. Несложно убедиться в том, что все возникающие в главе 1 отображения ограничены, так что такое перенесениеконструкций будет корректно. В частности, определены (топологические)гомологии Хохшильда алгебры A. Ниже нам потребуется обобщение этогопонятия.Пусть дан банахов бимодуль над алгеброй A, т.е. некоторое банаховопространство E вместе с ограниченными билинейными отображениямиml : A × E → E, mr : E × A → E, которые задают на E структуруалгебраического A-бимодуля.
Рассмотрим комплексbbbb ←−b ⊗Ab ←−E ←− E ⊗AE ⊗A...с дифференциалом b, определённым равенствомb(e ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) = ea1 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an +n−1X(−1)i e ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ai ai+1 ⊗ · · · ⊗ an +i=1(−1)n an e ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an−1для всех e ∈ E, a1 , . .
. , an ∈ A.bb ⊗nОпределение 3.1. Гомологии HH∗ (A, E) комплекса (E ⊗A, b) называются гомологиями Хохшильда алгебры A с коэффициентами в банаховомбимодуле E.Замечание 3.1. Если E = A, то мы получаем хохшильдовы гомологии изопределения 1.13.По отношению к хохшильдовым гомологиям с коэффициентами естественно выделяется следующий класс алгебр.69Определение 3.2. Банахова алгебра A с единицей называется аменабельной алгеброй, если для каждого банахова A-бимодуля X1. пространство HH0 (A, X) является хаусдорфовым;2. HHn (A, X) = 0 для всех n ≥ 1.Замечание 3.2. Изначальное определение аменабельной банаховой алгебры, которое можно найти, например, в монографии [14], отличается отданного выше, однако эквивалентно ему (см.
теорему VII.2.17 в [14]).Напомним определение C ∗ -алгебры (см. [7]).Определение 3.3. Пусть A есть ассоциативная *-алгебра. C ∗ -нормой наалгебре A называется любая норма p на A, такая чтоp(a∗ ) = p(a),p(ab) ≤ p(a)p(b),p(a∗ a) = p(a)2для любых a, b ∈ A. Если алгебра A является полной относительно некоторой фиксированной C ∗ -нормы p, то она называется C ∗ -алгеброй.В случае, когда A есть C ∗ -алгебра, свойство аменабельности оказывается эквивалентным другому замечательному свойству — ядерности.Определение 3.4. C ∗ -алгебра A называется ядерной, если для произвольной C ∗ -алгебры B на алгебраическом тензорном произведении A ⊗ B(которое является *-алгеброй) имеется единственная C ∗ -норма.Замечание 3.3. Класс ядерных C ∗ -алгебр обладает рядом хорошихсвойств (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
