Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

лемму 3.1), как были по модулю строгоменьше 1, так и останутся. И если при этом шевелении появилось новоеневырожденное ребро (), то для компоненты вырождения ∋ сумма всех невырожденных ребер, инцидентных вершинам из компоненты,не может быть равна 0 (то же самое можно сказать и про вершину ),Приложения104хотя согласно утверждению 3.3 должна быть равна 0, так как сеть Γ′ []является минимальной параметрической сетью. Поэтому новых невырожденных ребер у сети Γ′ появится не может. Таким образом показано,что топологии приведенных сетей Γ̃ и Γ̃′ имеют один и тот же тип, ко˜ Следовательно, вместе с сетью Γ̃, котораяторый мы обозначим через .˜ у нас в том же класявляется минимальной параметрической сетью в [],се имеется еще одна минимальная параметрическая сеть Γ̃′ , а значит, уΓ̃ обязательно есть слабо фиктивные вершины.

Теперь уже мы пришлик противоречию с пунктом 2) условия единственности для сети Γ. Лемма 3.5 B является открытым подмножеством в множествевсех границ R .Доказательство. Пусть ′ — произвольное достаточно малое возмущение границы ∈ B , и пусть сеть Γ[] является единственной в своемклассе (см. лемму 3.4) минимальной параметрической сетью, затягивающей . Среди всех минимальных параметрических сетей, затягивающих′ найдется близкая к Γ[] сеть Γ′ [], такая, что те ребра дерева , которые были невырожденными для сети Γ[] будут невырожденными идля сети Γ′ [], причем новых невырожденных ребер у сети Γ′ [] не появится, см.

доказательство леммы 3.4. С другой стороны, в силу малогоизменения углов между невырожденными ребрами сети Γ[], у приве˜ не появится слабо фиктивных вершин, так как их неденной сети Γ̃′ []˜ Следовательно, минимальная параметбыло у приведенной сети Γ̃[].рическая сеть Γ′ [], затягивающая границу ′ , удовлетворяет условиюединственности, а значит ′ ∈ B . Лемма 3.6 B является всюду плотным подмножеством в множестве всех границ R .Доказательство. Пусть Γ[] минимальная параметрическая сеть, затягивающая границу . Будем пытаться строить границу ′′ ∈ B близкое к , и при этом у единственной минимальной параметрической сетиΓ′′ [], затягивающей ′′ , множество невырожденных ребер будет такимже, как и у Γ[].Рассмотрим произвольную подвижную вершину приведенной се˜ и ее компоненту вырождения . Пусть , одна из -мерныхти Γ̃[]компонент решения характеристической системы локальной структурыПриложения105вершины и — произвольная ветка дерева , инцидентная ребру и не содержащая граничных вершин из .

Такие ветки мы далеебудем называть весомыми. Заметим на будущее, что если компонентавырождения не содержит граничных вершин из , то любые дведополнительные ветки являются весомыми, а если содержит, то толькоодна из них. Для того, чтобы все -мерные компоненты , решения характеристической системы локальной структуры вершины по модулюбыли не больше 1, необходимо чтобы сумма единичных направляющихвекторов невырожденных ребер, инцидентныхвершинам из ветки бы∑︀ла по модулю также не больше 1, т.е. | | ≤ 1, см.

лемму 3.1. Для∈некоторых весомых веток вместо этого нестрогого неравенства имеется точное равенство единице. Малым изменением направлений невырожденных ребер, инцидентных вершинам из компоненты вырождения мы добьемся строгих неравенств для каждой весомой ветки ⊂ .Проведем теперь эту процедуру подробно. Для этого разберем два случая.1) Компонента вырождения содержит (единственную) граничнуювершину из , которую мы обозначим через . Все ребра графа мы разобьем на уровни следующим образом: ребро будет относиться к уровню с номером , если в существует несамопересекающийсяпуть, состоящий из ребер, начинающийся в вершине и заканчивающийся ребром . Пусть для каждой весомой ветки, инцидентной ребрус уровня ≤ − 1, имеется строгое неравенство, а для какой-то весомойветки , инцидентной ребру () с уровня , ∈ , точное равенство.Пусть также (1 ), . . .

, ( ) — все ребра +1–ого уровня, инцидентныевершине , и 1 , . . . , — все единичные направляющие векторы невырожденных ребер, инцидентных вершине . Обозначим через (1 ), . . . ,( ) совокупности единичных направляющих векторов невырожденных ребер, инцидентных вершинам весомых веток (1 ), . .

. , ( )соответственно. Поскольку в наборе 1 , . . . , , (1 ), . . . , ( ) не менее двух векторов, то сколь угодно малым изменением их направлений(с одним лишь условием, что вектора из одной совокупности ( ) поворачиваются на один и тот же угол) мы можем добиться того, чтобыих общая сумма стала по модулю строго меньше 1. Заметим, что приэтом малость изменений можно выбрать так, что строгость неравенствдля весомых веток, инцидентных ребрам с уровня ≤ − 1, сохранится, адля остальных весомых веток (кроме ) соответствующие суммы еди-Приложения106ничных векторов вообще не меняются.

Осталось перестроить сеть Γ[] всоответствии с изменением направлений ребер. Связные компоненты сети Γ[], полученные выкидыванием из компоненты вырождения ,подвинем как единые целые вслед за изменяющими направление невырожденными ребрами, которые эти компоненты вырождения содержат.Рассуждая таким образом по индукции, в итоге получится, что для каждой весомой ветки неравенства станут строгими.2) Компонента вырождения не содержит граничных вершин из. Пусть для некоторой ветки () (в данном случае каждая веткаявляется весомой), инцидентной ребру (), имеется точное равенствоединице.

Преобразуем сеть Γ[] аналогично п. 1), сделав для () строгое неравенство. Но теперь нам нужно позаботиться и о дополнительнойк () ветке (), так как мы хотим, чтобы на каждом шаге преобразований получалась минимальная параметрическая сеть. Для этогоаналогичную п. 1) процедуру проделаем и для ветки (), так, чтобысумма всех единичных направляющих векторов невырожденных ребер,инцидентных вершинам из , стала равной 0. Это можно сделать, таккак к ветке () примыкает не менее двух невырожденных ребер. Осталось отметить лишь, что совокупность двух преобразований веток ()и () не изменит значения модуля суммы единичных направляющихвекторов невырожденных ребер, инцидентных какой-нибудь другой ветке .

В самом деле, либо сама ветка , либо ей дополнительная должнавходить целиком в одну из двух веток () или (), допустим входитдополнительная. Но все невырожденные ребра, примыкающие к дополнительной ветке перемещались как единое целое при проводимых вышепреобразованиях, поэтому модуль соответствующей суммы не меняетсяу дополнительной ветки, а в силу равенства нулю суммы всех единичных направляющих векторов невырожденных ребер, инцидентных вершинам из , модуль соответствующей суммы не меняется и для ветки . Проведем такие преобразования для каждого ребра = () из ,у которого значение отвечающей этому ребру -мерной переменной ,по модулю равно 1.Проделав эту процедуру для каждой компоненты вырождения ,мы получим новую минимальную параметрическую сеть Γ′ [], затягивающую близкое к граничное множество ′ . Сеть Γ′ [] удовлетворяет условию единственности, и осталось только избавиться от слабо˜ Пусть слабо фиктивнаяфиктивных вершин у приведенной сети Γ̃′ [].′ ˜вершина приведенной сети Γ̃ [] и — прямая, содержащая все ребра,Приложения107˜ тогда сетьинцидентные вершине .

Выкинем вершину из сети Γ̃′ [],распадется на связные компоненты. Возьмем два противоположно направленных ребра, инцидентных вершине , и изменим их направлениена один и тот же малый угол, но отложенный для одного ребра в однуполуплоскость, относительно прямой , а для другого ребра — в другую.Связные компоненты распавшейся сети переместим как единые целыевместе с входящими в них ребрами, инцидентными вершине . Таким образом избавимся от каждой слабо фиктивной вершины приведенной˜ Окончательно, мы получили границу ′′ , уже принадлежасети Γ̃′ [].щую B , и минимальную параметрическую сеть Γ′′ [], затягивающуюэто множество ′′ . Предложение 3.4 Пусть B =⋂︀B .

Тогда множество B — всюду∈плотное открытое подмножество множества всех границ R , причем любая минимальная параметрическая сеть Γ[], затягивающаяграницу из B будет единственной минимальной параметрической сетью в своем классе [].Доказательство. Утверждение предложения следует из лемм 3.4, 3.5,3.6 и из конечности множества геометрических деревьев . Из леммы 2.7 и предложения 3.4 вытекает важное следствиеСледствие 3.1 Для границ из множества B функция длины сети ℓна пространстве всех регулярных сетей с данной границей являетсякомбинаторной функцией Морса.Границу из множества B, никакие три точки которой не лежатна одной прямой, мы будем называть типичной границей или границейобщего положения. Совокупность всех типичных границ мы обозначимчерез A.

Характеристики

Список файлов диссертации