Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

. , ⟨ ⟩ ко-потенциала −* (Γ) является наименьший по включению страт ⟨′ ⟩, содержащий страты ⟨1 ⟩,. . . , ⟨ ⟩. Из этого определения страта ⟨′ ⟩ и из леммы 1.8 следует, что дерево ′ содержит ровно дополнительных ребер (по сравнению с деревом ), определяемыхдеревьями 1 ,. . . , . Другими словами, геометрические расщепленияΓ1 ∈ [1 ], . .

. , Γ ∈ [ ] образуют полный набор производных расщеплений для комбинаторного расщепления Γ′ ∈ [′ ] сети Γ. Таким образом,комбинаторное расщепление Γ′ является мощным расщеплением сети Γ.Следовательно, каждому (−1)-мерному симплексу ко-потенциала −* (Γ)соответствует ( − 1)-мерный симплекс комплекса (Γ).

Проведя вышеизложенное рассуждение в обратном порядке, мы получим, что этосоответствие взаимнооднозначное. Рассмотрим снова регулярную минимальную параметрическую сетьΓ ∈ с элементарно порожденными расщеплениями. Пусть ранг сети ΓКомбинаторная теория Морса81равен . Обозначим через (Γ) совокупность всех мощных расщеплений сети Γ, ранг которых равен . Тогда из предложения 2.5 вытекаетследующая леммаЛемма 2.14 Количество ( − 1)-мерных симплексов ко-потенциала−* (Γ) равно количеству мощных расщеплений сети Γ, ранг которыхравен + , т.е.# = # + (Γ).Из этой леммы и предложения 2.3 получаем следствиеСледствие 2.4 Пусть Γ ∈ — регулярная минимальная параметрическая сеть ранга с элементарно порожденными расщеплениями.

Тогда∑︁(− (Γ)) =(−1)−1 # + (Γ).5.5Критические подмножества функции ℓ и равенство МорсаОпишем теперь как устроены критические подмножества критическихмножеств Critℓ (˜). В параграфе 4.9 раздела 4 настоящей главы для комбинаторных функций Морса критические подмножества отвечали ручкам рассматриваемой функции. В данном пункте мы для случая пространства и функции ℓ дадим описание критических подмножеств втерминах, более близких к теории минимальных сетей.Разбиение критического множества Critℓ (˜) на критические подмножества (△ ) можно описать другим, более непосредственным, способом, не апеллируя к ручкам △ функции ℓ.Рассмотрим множество всех регулярных минимальных параметрических сетей длины ˜. Согласно утверждению 2.9, это множество совпадает с критическим множеством Critℓ (˜). Рассмотрим также совокупность (˜) ⊂ всех геометрических деревьев, параметризующих сетииз Critℓ (˜).

Выделим в совокупности (˜), как в частично упорядоченном множестве, максимальные элементы . Для каждого максимального дерева рассмотрим множество ( ) всех сетей из Critℓ (˜), параметризующее дерево которых меньше или равно дереву . Сеть Γиз Critℓ (˜) типа назовем каноническим представителем множестваКомбинаторная теория Морса82( ). Очевидно, что объединение всех множеств ( ) по всем максимальным деревьям совпадает с критическим множеством Critℓ (˜).Лемма 2.15 Пусть функция ℓ в каждом страте (△) достигаетсвоего минимума. Тогда максимальные симплексы в совокупности˜∖≤˜− взаимнооднозначно соответствуют максимальным деревьям из (˜).Доказательство.

Пусть △ — максимальный симплекс в совокупности˜∖≤˜− . Симплекс △ является существенным симплексом комплекса ( ). Обозначим через геометрическое дерево, соответствующее этому симплексу.Рассмотрим множество минимумов minℓ (△). По условию, оно не пусто. Возьмем какую-нибудь сеть Γ из minℓ (△). Поскольку, симплекс △является максимальным симплексом в совокупности ˜∖≤˜− , то страт(△) = ⟨⟩ является минимальным стратом для сети Γ.

Следовательно,по лемме 1.10, тип сети Γ равен . Таким образом, дерево принадлежит совокупности (˜).Покажем, что — максимальное дерево в совокупности (˜). В самомделе, предположим, что не является максимальным деревом, т.е. вкритическом множестве Critℓ (˜) существует сеть Γ′ типа ′ , такого что < ′ .

Тогда существенный симплекс △′ , соответствующий дереву ′ ,принадлежит совокупности ˜∖≤˜− и строго содержит симплекс △,что противоречит максимальности симплекса △.Проведя рассуждения в обратную сторону, получим окончательноеутверждение леммы. Лемма 2.16 Функция ℓ на пространстве является комбинаторной функцией Морса тогда и только тогда, когда функция ℓ на каждом страте достигает своего минимума и критические подмножества( ) критических множеств Critℓ (˜) попарно не пересекаются.Доказательство. Согласно лемме 2.15, максимальные симплексы в совокупности ˜∖≤˜− взаимнооднозначно соответствуют максимальнымдеревьям из (˜). Пусть △1 и △2 — два произвольных максимальныхсимплекса в совокупности ˜∖≤˜− .

Обозначим через 1 и 2 соответствующие этим симплексам максимальные деревья из (˜).По определению, функция ℓ является комбинаторной функцией Морса тогда и только тогда, когда в каждом страте функция ℓ достигаетКомбинаторная теория Морса83своего минимума и пересечение любых двух максимальных симплексов△1 и △2 из совокупности ˜∖≤˜− либо пусто, либо принадлежиткомплексу ≤˜− . Последнее означает, что в совокупности ˜∖≤˜− несуществует существенного симплекса △, принадлежащего как △1 , таки △2 .

Это равносильно следующему условию: в критическом множествеCritℓ (˜) не существует сети Γ с параметризующим деревом , таким что ≤ 1 и ≤ 2 . Что, в свою очередь, равносильно непересечениюкритических подмножеств (1 ) и (2 ). Лемма 2.17 Если ℓ — комбинаторная функция Морса, то разбиение критического множества Critℓ (˜) на критические подмножества(△ ) совпадает с разбиением Critℓ (˜) на критические подмножества( ). Причем, если (△ ) = ( ), то является геометрическимдеревом, соответствующим симплексу △ (в смысле леммы 2.12).Доказательство. Пусть △ — максимальный симплекс из совокупности ˜∖≤˜− .

По лемме 2.15, симплексу △ соответствует максимальноедерево из (˜).Сеть Γ принадлежит критическому подмножеству (△ ) тогда итолько тогда, когда найдется существенный симплекс △ ⊂ △ , такойчто Γ ∈ minℓ (△) и страт (△) является минимальным стратом длясети Γ. Последнее, в свою очередь, согласно определению критическогомножества Critℓ (˜) и утверждению 2.4, выполняется тогда и только тогда, когда тип сети Γ, соответствующий симплексу △, меньше либоравен дереву и Γ ∈ Critℓ (˜), т.е.

Γ ∈ ( ). Назовем рангом критического подмножества ( ) ранг дерева .Это число равно наименьшему рангу представителей (сетей) из ( )— рангу канонического представителя Γ . Обозначим через совокупность критических подмножеств ранга , взятую по всем критическиммножествам Critℓ (˜) функции ℓ. Следующее предложение в теории Морса минимальных сетей можно считать аналогом равенства Морса.Предложение 2.6 Пусть ℓ — комбинаторная функция Морса на пространстве , и пусть все канонические представители Γ критических подмножеств ( ) являются сетями с элементарно порожденными расщеплениями. Тогда имеет место формула∑︁ ∑︁|−3 | + · · · + |1 | =(−1)− −1 # (Γ ),Γ <≤−3Комбинаторная теория Морса84где суммирование ведется по всем каноническим представителям Γкритических подмножеств ( ) ранга строго меньшего − 3, а обозначает ранг сети Γ .Доказательство.

Согласно теореме 2.1 имеем∑︁indℓ Γ = ( ( )).Используя определение индекса сети из и лемму 2.11 перепишем этовыражение следующим образом.∑︁1 − (− (Γ )) = 1.ΓСгруппировав слагаемые в этой сумме по рангу сетей Γ , имеем∑︀∑︀|−3 | −(− (Γ )) + |−4 | −(− (Γ )) + · · · +Γ ∈−3Γ ∈−4∑︀∑︀+|1 | −(− (Γ )) + |0 | −(− (Γ )) = 1.Γ ∈1Γ ∈0Заметив, что, во-первых, для множеств Γ ∈ −3 комплекс − (Γ ) = ∅и, во-вторых, |0 | = 1, получаем следующее равенство∑︁∑︁|−3 | + · · · + |1 | =(− (Γ )) + · · · +(− (Γ )).Γ ∈−4Согласно следствию 2.4, (− (Γ )) =Γ ∈0∑︀(−1)− −1 # (Γ ). Те- <≤−3перь, подставляя выражение из этой формулы в последнее равенство,получаем доказываемую формулу.

5.6Пространства () ⊂ Фильтрация на пространстве По аналогии с пространством рассмотрим пространства () , которыеобразованы склейкой по введенной выше эквивалентности пространств[], соответствующих геометрическим деревьям с граничными вершинами и ранга не выше . Эти пространства образуют фильтрацию напространстве : (0) ⊂ (1) ⊂ · · · ⊂ (−4) ⊂ (−3) = .Комбинаторная теория МорсаБолее формально. Пусть ˜() =85⨆︀[]. Тогда () = ˜() /∼.

В0≤ ≤наших обозначениях = (−3) .На каждом() , = 0, . . . , − 3, задается естественная к-топология:⋃︀() =⟨⟩. Также на каждом () определена функция ℓ() = ℓ|()∈()длины сети.Критические точки на пространствах ()Для всех пространств () имеется аналог утверждения 2.9, описывающий критические точки на пространствах () .Утверждение 2.10 Невырожденная параметрическая сеть Γ является критической точкой функции ℓ() на пространстве () тогда итолько тогда, когда Γ — регулярная минимальная параметрическаясеть.Из этого утверждения вытекает, что множество критических значений функции ℓ() является подмножеством множества критических значений функции ℓ.Критические подмножества для функции ℓ() и равенства МорсаАналогично случаю пространства и функции ℓ дается описание критических подмножеств критических множеств Critℓ() (˜) для пары () иℓ() .Рассмотрим множество всех регулярных минимальных параметрических сетей длины ˜ из пространства () .

Согласно утверждению 2.10,это множество совпадает с критическим множеством Critℓ() (˜). Рассмотрим также совокупность () (˜) ⊂ всех геометрических деревьев, параметризующих сети из Critℓ() (˜). Выделим в совокупности () (˜), какв частично упорядоченном множестве, максимальные элементы . Длякаждого максимального дерева рассмотрим множество () ( ) всехсетей из Critℓ() (˜), параметризующее дерево которых меньше или равнодереву .

Сеть Γ из Critℓ() (˜) типа назовем каноническим представителем множества () ( ). Очевидно, что объединение всех множеств() ( ) по всем максимальным деревьям совпадает с критическиммножеством Critℓ() (˜).Комбинаторная теория Морса86Лемма 2.18 Пусть функция ℓ() в каждом страте (△) пространства () достигает своего минимума. Тогда максимальные симплексыв совокупности ˜∖≤˜− взаимнооднозначно соответствуют максимальным деревьям из () (˜).Лемма 2.19 Функция ℓ() на пространстве () является комбинаторной функцией Морса тогда и только тогда, когда функция ℓ() на каждом страте пространства () достигает своего минимума и критические подмножества () ( ) критических множеств Critℓ() (˜) попарноне пересекаются.Лемма 2.20 Если ℓ() — комбинаторная функция Морса, то разбиение критического множества Critℓ() (˜) на критические подмножества() (△ ) совпадает с разбиением Critℓ() (˜) на критические подмножества () ( ).

Характеристики

Список файлов диссертации