Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 17
Текст из файла (страница 17)
О. Иванов, А. А. Тужилин, [29])Сеть Γ является минимальной параметрической сетью в нормированном пространстве (R , ) тогда и только тогда, когда существует решение {0, } характеристической системы сети Γ, такое что для каждого ребра сети Γ и для каждой подвижной вершины , инцидентнойребру , выполняется следующее условие: 0, ∈ (, ).Пусть теперь является гладкой функцией на R ∖{0}. Тогда длякаждой точки ̸= 0 субградиентное множество () состоит из однойточки — градиента функции . Оказывается, в этом случае можно “локализовать” характеристическую систему сети Γ следующим образом.Пусть — некоторая подвижная вершина сети Γ[]. Рассмотримвсе невырожденные ребра, исходящие из вершины . Для каждого такого невырожденного ребра соответствующее субградиентное множество (, ) состоит из единственного вектора, равного градиентуgrad (, ) функции в точке (, ).
Пусть равняется сумме градиентов grad (, ) по всем невырожденным ребрам, исходящим из подвижнойвершины сети Γ (если таких невырожденных ребер нет, то положим поопределению = 0). Рассмотрим теперь приведенную сеть Γ̃ для сетиΓ[]. Пусть — подвижная вершина приведенной сети Γ̃, а — соответствующая вершине компонента вырождения параметризующегографа сети Γ.Приложения93Определение. Если компонента вырождения не одноточечна, толинейную систему уравнений, заиндексированных подвижными вершинами из ,∑︁, + = 0,∈ : ∋и дополненную системой уравнений, заиндексированных всеми внутренними ребрами = () из ,, + , = 0,назовем характеристической системой локальной структуры вершины.Объединение характеристических систем локальной структуры повсем подвижным вершинам приведенной сети Γ̃ для сети Γ называется характеристической системой локальной структуры сети Γ.Утверждение 3.2 (А.
О. Иванов, А. А. Тужилин, [29])Пусть Γ — параметрическая сеть общего вида, т.е. ее топология необязательно является деревом, в нормированном пространстве (R , )с гладкой на R ∖{0} нормой . Сеть Γ является минимальной параметрической сетью тогда и только тогда, когда∙ для каждой подвижной вершины ∈ Γ̃, соответствующая компонента вырождения которой не одноточечна, существует решение {0, } характеристической системы локальной структурывершины , такое что для каждого ребра сети Γ и для каждойподвижной вершины , инцидентной ребру , выполняется неравенство * (0, ) ≤ 1.∙ для каждой подвижной вершины ∈ Γ̃, соответствующая компонента вырождения которой состоит из одной вершины , верноравенство = 0.1.3Критерий минимальности параметрической сетис топологией дереваСнова рассмотрим сеть Γ в нормированном пространстве (R , ) с гладкой на R ∖{0} нормой .Приложения94Хотя мы и ограничились рассмотрением сетей, параметризующиеграфы которых являются геометрическими деревьями, но утверждение 3.2 верно и для сетей произвольной топологии, т.е.
допускаются циклы и кратные ребра. Характеристическая система локальной структурысети Γ общего вида имеет, вообще говоря, неединственное решение. Однако, имеет место следующее предложениеПредложение 3.2 Если параметризующий граф сети Γ являетсядеревом, то1. характеристическая система ее локальной структуры совместнатогда и только тогда, когда в каждой чисто подвижной вершине приведенной сети Γ̃ сумма всех единичных направляющих векторов невырожденных ребер, инцидентных , равна 0;2. в случае совместности эта характеристическая система обладает единственным решением.Доказательство.
Поскольку характеристическая система локальнойструктуры сети Γ распадается на характеристические системы локальной структуры подвижных вершин приведенной сети Γ̃, то утверждение достаточно доказать лишь для последних. Итак, пусть — подвижная вершина приведенной сети Γ̃ и — соответствующая ей вырожденная компонента.
Рассмотрим характеристическую систему локальнойструктуры вершины , которую мы обозначим через Ξ . Если — чисто подвижная вершина, то каждая переменная∑︀ , входит в эту системуровно два раза, один раз в уравнение вида, + = 0, а другой∈ : ∋раз — в уравнение вида , + , = 0. Поэтому, если мы просуммируемвсе уравнения первого вида системы Ξ и отдельно просуммируем всеуравнения второго вида системыΞ , а затем вычтем из первой суммы∑︀вторую, то получим 0 = . Таким образом в 1) доказана необходи∈мость.Теперь докажем достаточность одновременно с пунктом 2). Пусть — одна из двух веток дерева , инцидентная ребру = () ∈ ,например такая, что ∈ . Предположим, что ветка не содержитграничных вершин из дерева , и рассмотрим ограничение характеристической системы локальной структуры вершины на ветку , т.е.в новую систему войдут только те уравнения, в которые входит хотяПриложения95бы одна переменная, отвечающая вершине из дерева .
Обозначим этоограничение через Ξ .Лемма 3.1 Система Ξ совместна при любых значениях векторов ,∑︀ ∈ , и имеет единственное решение. При этом , = − .∈Доказательство. На систему Ξ написанную по графу можно посмотреть с формальной точки зрения. А именно, пусть — произвольноедерево, каждой вершине которого приписан произвольный вектор .Пусть также в дереве имеется выделенная вершина . Образуем новое дерево ′ , приклеив к вершине ∈ дополнительное ребро ().Как и выше каждому направленному ребру (, ) дерева ′ поставим всоответствие -мерную переменную, , и рассмотрим следующую со∑︀вокупность уравнений, + = 0 по всем вершинам дере∈′ : ∋ва .
Добавим к этой совокупности еще одну совокупность уравнений, + ,′ = 0 по всем ребрам = ( ′ ) дерева . Полученную такимобразом систему мы также назовем характеристической для графа (в случае если = эта характеристическая система совпадает с Ξ ).Доказывать утверждение леммы мы будем именно в этой ситуации.Проведем индукцию по числу вершин дерева . Если в дереве однавершина, то лемма очевидна. Пусть для всех деревьев с числом вершинравным лемма доказана.
Докажем ее для числа вершин равного +1. Укаждого дерева имеется по крайней мере две вершины степени 1. Выберем из них одну отличную от и обозначим ее через , а единственноеинцидентное ей ребро обозначим через = (). Тогда уравнение первого вида, соответствующее этой вершине, выглядит следующим образом, + = 0. Из уравнения , + , = 0 следует, что , = . Кромеэтого∑︀ уравнения переменную , содержит еще только одно уравнение′ , + = 0. Подставив в него вместо , вектор , мы полу′ ∈′ : ′ ∋ ∑︀′ , + + = 0, исключив тем самым переменную , .чим:′ ∈′ ∖{}:′ ∋Собранные теперь вместе уравнения без , и , представляют характеристическую систему для дерева, полученного из отрезанием ребра = () и приписыванием в вершине нового вектора + .
Дляэтого графа по предположению индукции лемма доказана, а значит онадоказана и для . Приложения96Если — чисто подвижная вершина, то дополнительная к веткатакже не содержит граничных вершин. Согласно этой лемме, ограничение Ξ характеристической системы локальной структуры вершины на дополнительную ∑︀ветку также всегда имеет единственное решение ипри этом , = − . Заметим, что объединение систем Ξ , Ξ и∈ ∖уравнения , +, = 0 дает всю начальную систему Ξ , следовательно,чтобы Ξ была совместна и имела единственноерешение необходимо и∑︀достаточно выполнения равенства = 0.∈Если же компонента вырождения содержит граничную вершину ′ ∈ , то выкидыванием всех инцидентных вершине ′ ребер, принадлежащих графу , мы разобьем систему Ξ на несколько подсистем,отвечающих соответствующим веткам, которые всегда однозначно разрешимы.
Итак, пусть Γ — сеть в нормированном пространстве (R , ) с гладкойна R ∖{0} нормой . Предположим, что параметризующий граф сетиΓ является деревом. Обозначим через Γ̃ приведенную сеть для сети Γ.Рассмотрим подвижную вершину сети Γ̃ и ее компоненту вырождения . Сформулируем теперь критерий минимальности параметрическойсети Γ.Утверждение 3.3 Для того, чтобы Γ была минимальной параметрической сетью необходимо и достаточно, чтобы для каждой подвижной вершины приведенной сети Γ̃ выполнялось следующее условие:для каждой ветки дерева∑︀ , не содержащей граничной вершиныдерева , имеет место * ( ) ≤ 1; если к тому же — чисто∈∑︀подвижная вершина, то = 0.∈Доказательство. Этот критерий является следствием утверждения 3.2,предложения 3.2 и леммы 3.1.
Предложение 3.3 Все минимальные параметрические сети в нормированном пространстве (R , ) с гладкой на R ∖{0} нормой являютсясетями с элементарно порожденными расщеплениями.Приложения97Доказательство. Пусть Γ[] — некоторая минимальная параметрическая сеть в пространстве R , и пусть Γ′ [′ ] — некоторое ее расщепление.Это означает, что у характеристической системы локальной структурысети Γ не существует решения, такого что для каждой -мерной компоненты , выполняется неравенство * (, ) ≤ 1. Но, поскольку a) ′— дерево и b) для приведенной сети Γ̃′ , которая совпадает с приведенной сетью Γ̃, выполняется условие 1) предложения 3.2, то по предложению 3.2, существует и единственно решение характеристической системылокальной структуры сети Γ′ . Следовательно, в этом решении найдется -мерная компонента 0, , ∈ ′ , такая что * (0, ) > 1.Рассмотрим теперь еще одно расщепление Γ′′ сети Γ, в котором добавлено (по сравнению с сетью Γ) только ребро .
Это расщепление являетсяпроизводным расщеплением для расщепления Γ′ . По тем же причинам,что и для расщепления Γ′ , решение характеристической системы локальной структуры сети Γ′′ существует и единственно. Причем, из леммы 3.1вытекает, что значение переменной , в этом решении будет совпадатьсо значением аналогичной переменной для сети Γ′ , т.е. с 0, .
Поэтомувыполняется неравенство * (, ) > 1. Следовательно, по критерию минимальности параметрической сети 3.3, сеть Γ′′ не является минимальной, т.е. расщепление Γ′′ может уменьшить длину сети Γ. Таким образом,для произвольного расщепления Γ′ сети Γ найдется производное расщепление Γ′′ , являющееся геометрическим. Предложение доказано.
2Минимальные сети на римановых многообразиях. Общие результатыНапомним, что под параметрической сетью (или просто сетью) в метрическом пространстве ( , ) мы понимали отображение множества вершин некоторого графа в пространство . Это, пожалуй, одно из самыхразумных определений сети в общем метрическом пространстве. Подобное определение дает информацию лишь о положении вершин сети впространстве и ничего не говорит о ребрах — они как бы отсутствуют.В приложениях же необходимо знать каким образом соединяются ребром две данные вершины сети.
И в тех пространствах, в которых имеется естественное определение ребра сети, под сетью понимают несколькодругой объект. Ниже будет рассмотрен случай римановых многообразий.Приложения98В следующих двух пунктах даются основные определения и необходимые в дальнейшем результаты теории минимальных сетей [28] наримановых многообразиях.2.1Топологические графыОпределение. Топологическим графом назовем произвольный конечный одномерный клеточный комплекс c фиксированным клеточным разбиением. Клетки размерности 0 называются вершинами графа , а клетки размерности 1 — ребрами.Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
