Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Причем, если () (△ ) = () ( ), то являетсягеометрическим деревом, соответствующим симплексу △ (в смыслелеммы 2.12).Доказательства лемм 2.18, 2.19 и 2.20 полностью аналогичны доказательствам соответствующих лемм для пары и ℓ.Таким образом, для комбинаторной функции Морса ℓ() имеется эквивалентное описание критических подмножеств () (△ ) посредствомкритических подмножеств () ( ).Лемма 2.21 Максимальные деревья из () (˜) — это в точности максимальные деревья ранга не выше из (˜).Доказательство. Критическое множество Critℓ() (˜) — это в точностимножество всех сетей из Critℓ (˜) ранга не выше .
Следовательно, множество () (˜) — это в точности множество всех деревьев из (˜) ранга невыше . Таким образом, если дерево принадлежит () (˜), то и любоедерево ′ из (˜), такое что ′ ≥ , также принадлежит () (˜). Отсюдаследует, что максимальное дерево из () (˜) также будет максимальнымдеревом и в (˜) и ранг этого дерева не выше . Обратное, очевидно,тоже верно. Следствие 2.5 Имеется взаимнооднозначное соответствие междукритическими подмножествами () ( ) ранга ′ ≤ критическогомножества Critℓ() (˜) и критическими подмножествами ( ) ранга′ ≤ критического множества Critℓ (˜).Комбинаторная теория Морса87Лемма 2.22 Пусть — максимальное дерево ранга не выше из (˜).Тогда имеет место равенство () ( ) = ( ) ∩ () .Доказательство. Согласно лемме 2.21, дерево принадлежит множеству () (˜) и является там максимальным деревом. Поэтому корректноговорить о критическом подмножестве () ( ) ⊂ Crit() (˜).
По определению, критическое подмножество () ( ) — это множество всех регулярных минимальных параметрических сетей из () , тип которых непревосходит , что эквивалентно доказываемому равенству. Лемма 2.23 Пусть функция ℓ на пространстве является комбинаторной функцией Морса. Тогда функция ℓ() на пространстве () также является комбинаторной функцией Морса.Доказательство. По лемме 2.16, если функция ℓ на пространстве является комбинаторной функцией Морса, то на каждом страте пространства функция ℓ достигает своего минимума и критические подмножества ( ) критических множеств Critℓ (˜) попарно не пересекаются. В таком случае и функция ℓ() на каждом страте пространства ()достигает своего минимума.
Теперь, согласно леммам 2.21 и 2.22, максимальное дерево из () (˜) является также максимальным деревом из(˜), и для соответствующих критических подмножеств выполнено равенство () ( ) = ( ) ∩ () . Таким образом, поскольку критическиеподмножества ( ) попарно не пересекались, то не будут попарно пересекаться и критические подмножества () ( ). Из леммы 2.19 следует,что функция ℓ() на пространстве () также является комбинаторнойфункцией Морса.
Также как и для критических подмножеств (△ ) назовем рангомкритического подмножества () ( ) ранг дерева . Это число равнонаименьшему рангу представителей (сетей) из () ( ) — рангу канонического представителя Γ . Благодаря следствию 2.5, мы можем использовать обозначение ′ и для совокупности критических подмножествранга ′ критических множеств Critℓ() (˜).Согласно лемме 2.23, из того, что функция ℓ на пространстве является комбинаторной функцией Морса, вытекает, что функция ℓ() на пространстве () также является комбинаторной функцией Морса. Следовательно, мы можем провести для каждого пространства () рассуждения,аналогичные рассуждениям для пространства , и получить предложение, дающее целый набор равенств Морса.Комбинаторная теория Морса88Предложение 2.7 Пусть ℓ — комбинаторная функция Морса на пространстве , и пусть все канонические представители Γ критических подмножеств ( ) являются сетями с элементарно порожденными расщеплениями.
Тогда имеет место формула∑︁ ∑︁| | + · · · + |1 | =(−1)− −1 # (Γ ),Γ <≤где суммирование ведется по всем каноническим представителям Γкритических подмножеств ( ) ранга строго меньшего , а обозначает ранг сети Γ .5.7Основная формулаВыведем теперь формулу для количества критических подмножеств( ) ранга . Имеет место теоремаТеорема 2.2 Пусть ℓ — комбинаторная функция Морса на пространстве , и пусть все канонические представители Γ критических подмножеств ( ) являются сетями с элементарно порожденными расщеплениями. Тогда количество критических подмножеств ранга выражается следующей формулой∑︁| | =(−1)− −1 # (Γ )Γ : <где суммирование ведется по всем каноническим представителям Γкритических подмножеств ( ) ранга < .Доказательство.
Чтобы получить доказываемую формулу нужно воспользоваться предложением 2.7 и из равенства∑︁ ∑︁| | + · · · + |1 | =(−1)− −1 # (Γ )Γ <≤вычесть равенство|−1 | + · · · + |1 | =∑︁∑︁Γ <≤−1(−1)− −1 # (Γ ).Комбинаторная теория Морса89Замечание. В главе 3 при применении теоремы 2.2 нам необходимо будет вычислять мощные расщепления различных сетей. Фактически, длякаждой рассматриваемой сети нужно будет изучить как устроен комплекс ее мощных расщеплений. Эта задача условно разбивается на двеподзадачи: “геометрическая” — вычислить все элементарные геометрические расщепления, т.е.
вершины этого комплекса, и “комбинаторная”— выбрать из всей совокупности элементарных геометрических расщеплений такие подсовокупности, которые образуют мощные расщепления,т.е. грани этого комплекса. Именно таким образом и будет решаться задача вычисления мощных расщеплений данной сети.Глава 3ПриложенияВ этой главе мы применим комбинаторную теорию Морса, точнее теориюМорса минимальных сетей, разработанную в главе 2, к исследованиюминимальных (минимальных параметрических и локально минимальных) сетей в пространствах двух типов: многообразия и нормированныепространства. Особое внимание будет уделено многообразиям неположительной секционной кривизны, как представителям первого типа, и манхэттенской плоскости, как представителю второго типа, а также евклидовым пространствам R , как представителям обоих типов пространств.Идеи и результаты комбинаторной теории Морса позволяют получатьоценки на количество локально минимальных сетей, затягивающих данную (но произвольную) границу.
Для некоторых важных частных случаев перечисленных выше пространств получение оценок подобного родабудет продемонстрированно в данной главе.11.1Минимальные сети в нормированных пространствах. Общие результатыНекоторые факты из выпуклого анализаВ этом пункте мы напомним необходимые нам факты из выпуклого анализа, подробнее с которыми можно ознакомиться, например, в [11].Субградиентом выпуклой функции : R → R в точке ∈ Rназывается ковектор ∈ * R , такой что( − ) ≤ () − () для всех ∈ R .90Приложения91Пусть ⊂ R — выпуклая поверхность, и ∈ — произвольнаяточка на этой поверхности. Гиперплоскость Π, проходящая через точку называется опорной гиперплоскостью к поверхности в точке , если лежит в замкнутом полупространстве, ограниченном плоскостью Π.Вектор, перпендикулярный к опорной гиперплоскости и направленныйв открытое полупространство, ограниченное этой гиперплоскостью и непересекающееся с , называется внешней нормалью к поверхности в точке .
Множество всех внешних нормалей к поверхности вточке называется нормальным конусом.Для нормированного пространства (R , ) конормой * , соответствующей норме , называется следующая функция, определенная на ковекторах:* () = max{()| ∈ Σ}.Хорошо известно, принимая во внимание стандартное отождествление пространств * R и R , что субградиентное множество ()функции в точке , т.е. множество всех субградиентов функции вточке , — это непустое выпуклое подмножество нормального конуса вточке к поверхности уровня функции , проходящей через .
В то жевремя, функция дифференцируема в точке тогда и только тогда,когда множество () состоит из единственной точки, совпадающей сградиентом функции в данном случае. Если функция = — этонорма, то имеет место следующий результат.Предложение 3.1 Пусть — это норма, и пусть Σ — поверхностьуровня функции , проходящая через .
Тогда субградиентное множество () в точке ̸= 0 совпадет с множеством всех внешних нормалей к Σ в точке , имеющих единичную конорму.1.2Общий критерий минимальности параметрической сетиПусть Γ — некоторая параметрическая сеть в нормированном пространстве (R , ). Рассмотрим пару (, ), где — подвижная вершина сетиΓ, а — ребро сети Γ, инцидентное вершине .
Припишем каждой такойпаре (, ) действительную -мерную переменную , . Рассмотрим набор линейных уравнений, состоящий из всех уравнений следующих двухПриложениятипов.{︃∑︀92, = 0, где — подвижная вершина сети Γ,:∋, + , = 0, где = () — внутреннее ребро сети Γ.Определение. Назовем этот набор уравнений характеристической системой сети Γ. Заметим, что характеристическая система полностьюопределяется параметризующим графом (типом) сети Γ.Далее, для каждого ребра сети Γ и для каждой вершины , инцидентной ребру , определим вектор (, ) следующим образом. Положимпо определению вектор (, ) равным направлению прямолинейного отрезка , ориентированного от вершины , если — невырожденное ребро,и положим вектор (, ) равным нулю, если — вырожденное ребро.Пусть (, ) — субградиентное множество функции в точке (, ).Утверждение 3.1 (А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
