Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ясно, что мы получили топологическое представление абстрактных графов самого общего вида, т.е. графов с петлями и кратными ребрами, поэтому на топологические графы непосредственно переносится вся терминология как теории абстрактных графов, так и теориитопологических пространств. Поэтому далее в этом разделе, в силу отмеченного соответствия между топологическими и абстрактными графами,мы часто для краткости будем называть топологические графы простографами, опуская слово “топологический”.Также как и для обычных графов, см. раздел 1 главы 1, для топологических графов определяются граница графа, внутренние и граничныевершины, внутренние и граничные ребра и т.п.Пусть — произвольный граф с границей (возможно, пустой), и ∈ — некоторая его точка ( не обязательно является вершиной графа , см.
замечание выше). Допустимой окрестностью ⊂ точки графа называется замыкание связной окрестности этой точки, несодержащее вершин графа , отличных от , если — вершина, и несодержащее петель из .Наделим допустимую окрестность структурой графа, объявив вершинами все точки из ∪ { }, а ребрами — отрезки в , соединяющиеэти точки.
Полученное дерево обозначим через и будем называтьлокальным графом с центром в точке . Определим каноническую границу локального графа , включив в нее все вершины из , атакже вершину , если — граничная вершина графа .Приложения2.299Параметрические сетиОпределение. Пусть — связный граф. Кусочно–гладкое отображение Γ графа в риманово многообразие называется параметрическойсетью, а подмножество плоскости, совпадающее с образом Im Γ, называется следом параметрической сети Γ. При этом граф называетсяпараметризующим графом сети Γ, а класс графов, изоморфных , называется топологией сети.Ограничение отображения Γ на вершину графа назовем вершиной,а ограничение Γ на ребро графа назовем ребром этой параметрической сети.
Под длиной сети будем понимать сумму длин входящих в нееребер.Далее мы будем использовать следующие обозначения: Γ[] — сетьс параметризующим графом ; Γ[( ′ ′′ )] — ребро сети Γ[], соответствующее ребру ( ′ ′′ ) графа ; Γ[] — вершина Γ[], соответствующая вершине графа .Также как и сетей в общих метрических пространствах, см. раздел 1главы 1, для сетей на римановых многообразиях определяются границасети, внутренние и граничные вершины, внутренние и граничные ребра,тип сети и т.п.Определение. Минимальной параметрической сетью Γ типа (, ) намногообразии называется сеть, длина которой наименьшая среди всехпараметрических сетей типа (, ).Пусть опять Γ[] — произвольная сеть, — любая точка графа ,и — локальный граф с центром в .
Сеть с границей, равной ограничению отображения Γ на , называется локальной сетью с центромв точке и обозначается через Γ . При этом, ограничение отображения Γ на каноническую границу локального графа называетсяканонической границей локальной сети Γ и обозначается через Γ .2.3Абсолютно и локально минимальные сетиОпределение. Сеть Γ, затягивающая конечное множество ⊂ точек риманова многообразия , называется абсолютно минимальной,если ее длина — наименьшая среди длин всех сетей, затягивающих .Приложения100Невырожденная сеть Γ, затягивающая конечное множество ⊂ точек риманова многообразия называется локально минимальной, если для любой ее точки некоторая локальная сеть с центром в является абсолютно минимальной сетью.Следующая классическая теорема (для случая многообразий доказанная А.
О. Ивановым и А. А. Тужилиным, см., например, [28]) полностью описывает локальное устройство локально минимальных сетей наримановом многообразии .Утверждение 3.4 Невырожденная сеть Γ с границей ⊂ локальноминимальна, если и только если:1. все ребра сети Γ являются геодезическими;2. угол между любыми двумя смежными ребрами не меньше 120∘ ;3. все вершины степени 1 являются граничными;4. если вершина степени 2 не граничная, то угол между выходящимииз нее ребрами равен 180∘ .3Минимальные сети в евклидовом пространстве RПо утверждению 3.4, у локально минимальных сетей все ребра сети являются геодезическими.
Такая ситуация имеет место для большинствазадач минимизации длины сети. Поэтому при изучении локально минимальных сетей достаточно ограничиться так называемыми геодезическими сетями, т.е. сетями, у которых все ребра — геодезические кривые. Случай евклидовых пространств R хорош тем, что для любой пары точексуществует единственная геодезическая, соединяющая эту пару точек.Эта геодезическая — обыкновенный отрезок, длина которого совпадает севклидовым расстоянием между данными точками. Далее в евклидовыхпространствах мы будем рассматривать только сети, все ребра которыхявляются прямолинейными отрезками.
Таким образом, мы можем любую геодезическую сеть в R понимать как сеть в смысле определенияпараметрической сети в общих метрических пространствах, где заданылишь положения вершин сети; и обратно.Приложения3.1101Локально минимальные сети как регулярные минимальные параметрические сетиОдно из приложений теории Морса минимальных сетей — это получениеоценок на количество локально минимальных сетей, затягивающих данную границу. Для этого необходимо интерпретировать локально минимальные сети как регулярные минимальные параметрические сети (критические точки для пары и ℓ). В настоящем параграфе это будет сделано.Пусть Γ — локально минимальная сеть, затягивающая данную границу .
Построим новую сеть Γ′ , след которой совпадает со следом сетиΓ, и такую что параметризующий граф ′ сети Γ′ является бинарнымдеревом.Если у сети Γ нет граничных вершин степени 2, то ее параметризующий граф уже является бинарным деревом, поэтому можно положить ′ = и Γ′ = Γ. Если же у сети Γ есть граничные вершиныстепени 2, то с параметризующим графом проделаем следующую процедуру. К каждой вершине ∈ (), deg = 2, приклеим новое ребро(). Полученный таким образом граф, который уже является бинарным деревом, обозначим через ′ . На соответствующих ребрах ∈ ()и ′ ∈ (′ ) положим Γ′ (′ ) = Γ(), а на новых ребрах вида () положимΓ′ (()) = Γ(). Новые вершины степени 1 в графе ′ объявим граничными, а новые вершины степени 3, которые раньше имели степень 2,объявим подвижными. Заметим, что у сети Γ′ нет вырожденных внутренних ребер, и поэтому Γ′ является регулярной сетью.
Эту процедуруполучения сети Γ′ из локально минимальной сети Γ назовем регуляризацией сети Γ.Лемма 3.2 Пусть сеть Γ′ получена регуляризацией локально минимальной сети Γ, затягивающей данную границу . Тогда для сети Γ′выполнены следующие три условия.1. Γ′ затягивает границу .2. Параметризующий граф ′ сети Γ′ является бинарным деревом.3. Γ′ является регулярной минимальной параметрической сетьютипа ′ .Приложения102Обратно, пусть для сети Γ′ выполнены условия 1)–3), тогда ее приведенная сеть Γ(≡ Γ̃′ ) является локально минимальной сетью, затягивающей границу .Доказательство. Эта лемма вытекает из утверждений 3.3 и 3.4. Таким образом, регулярные минимальные параметрические сети сграницей и с бинарной топологией можно интерпретировать как локально минимальные сети, затягивающие границу .3.2Единственность минимальных параметрическихсетейВ этом параграфе мы будем рассматривать параметрические сети в R ,затягивающие данную границу из точек.
Определим некоторое подмножество B в множестве всех границ R и покажем, что для любойграницы из B и любого геометрического дерева из минимальная параметрическая сеть в пространстве [] единственна.Начнем мы с очень важного свойства функции длины ℓ сети на пространстве [] (которое нужно представлять как R , где — количествоподвижных вершин дерева ) всех сетей типа .Лемма 3.3 На пространстве [] функция ℓ выпукла.Доказательство. Эта лемма следует из того, что функция длины отрезка как функция его концов выпукла.
Функция длины сети равна сумме длин ребер сети (отрезков), и потому как сумма выпуклых функцийтакже выпукла. Подвижная вершина невырожденной сети Γ в R называется слабофиктивной, если все ребра, инцидентные этой вершине, лежат на однойпрямой, и количество ребер, инцидентных , идущих в одну сторону,равно количеству ребер, инцидентных , идущих в другую сторону.Утверждение 3.5 (А.
О. Иванов, А. А. Тужилин [8]) Пусть Γ —невырожденная минимальная параметрическая сеть типа с фиксированной границей , где — дерево. Сеть Γ будет единственной минимальной параметрической сетью в классе [], если и только если Γне содержит слабо фиктивных вершин.Приложения103Рассмотрим минимальную параметрическую сеть Γ, затягивающуюфиксированную границу из точек и такую что1. каждая -мерная компонента , решения характеристической системы локальной структуры сети Γ по модулю строго меньше 1;2. приведенная сеть Γ̃ сети Γ (напомним, что сеть Γ̃ невырождена) несодержит чисто подвижных слабо фиктивных вершин.Объединим эти два условия в одно и назовем условием единственности для минимальной параметрической сети Γ. Множество границ изR , для которых существует минимальная параметрическая сеть Γ[],обладающая условием единственности, мы обозначим через B .Следующая лемма оправдывает название, данное вышеприведенномуусловию.Лемма 3.4 Минимальная параметрическая сеть Γ[], затягивающаяграницу из B , является единственной минимальной параметрической сетью в классе [] всех сетей типа , затягивающих .Доказательство.
Будем рассуждать от противного. Пусть кроме Γ[]существует другая минимальная параметрическая сеть Γ1 []. Посколькуэти две сети принадлежат множеству точек минимума функции длины,которое, как известно, для выпуклой функции (см. лемму 3.3) являетсятакже выпуклым, то Γ[] и Γ1 [] можно соединить отрезком, состоящимцеликом из минимальных параметрических сетей типа . То есть в любой сколь угодно малой окрестности сети Γ[] есть другие минимальныепараметрические сети типа .Пусть минимальная параметрическая сеть Γ′ [] получается из Γ[]каким-то достаточно малым шевелением подвижных вершин сети Γ[].Но при любом достаточно малом шевелении подвижных вершин сетиΓ[] мало меняются и направления ее невырожденных ребер. Следовательно, суммы единичных направляющих векторов невырожденныхребер, выражающих компоненты решения характеристической системылокальной структуры сети Γ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
