Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть — единичный направляющий вектор некоторого невырожденного ребра, инцидентного компоненте вырождения, содержащей вершину .Лемма 3.15 Луч, проведенный через вершину в направлении вектора, пересекает грань △ .Доказательство. Рассмотрим приведенную ветку Γ̃ . Ветку Γ̃ рассматриваем как дерево с корнем ˜, где ˜ — естественная проекция вершины .Далее проведем индукцию снизу вверх по глубине вершины ˜′ в ветке Γ̃ . Пусть ˜′′ — некоторая вершина глубины , а ′′ — направляющийвектор некоторого ребра, соединяющего вершину ˜′′ с вершиной глубины + 1. Предположим, что для всех таких вершин ˜′′ и векторов ′′ доказано, что луч, проведенный через вершину ˜′′ в направлении вектора ′′ ,пересекает грань △ .Заметим, что, если некоторый вектор ′ равняется сумме всех единичных направляющих векторов ребер, соединяющих вершину ˜′′ с вершинами глубины +1, то луч, проведенный через вершину ˜′′ в направлениивектора ′ также пересекает грань △ .Приложения126Возьмем вершину ˜′ глубины − 1.
Пусть ′ — единичный направляющий вектор ребра, соединяющего вершину ˜′ с вершиной ˜′′ глубины. Согласно критерию 3.3 минимальности параметрических сетей вектор′ будет равен сумме всех единичных направляющих векторов ребер, соединяющих вершину ˜′′ с вершинами глубины + 1. Следовательно луч,проведенный через вершину ˜′ в направлении вектора ′ , будет проходитьи через вершину ˜′′ в направлении вектора ′ и по уже доказанному будетпересекать грань △ .Двигаясь так снизу (с самых глубоких вершин) вверх, мы за конечноечисло шагов доберемся и до вершины ˜. Лемма доказана.
§3. Обозначим через и суммы единичных направляющих векторовневырожденных ребер, инцидентных компонентам вырождения вершин и в ветках Γ и Γ соответственно. Тогда согласно критерию 3.3 минимальности параметрической сети имеют место следующие неравенства:| | ≤ 1 и | | ≤ 1.Отвлечемся от минимальной параметрической сети и немного упростим картину. Поскольку мы предположили, что ребро () — вырожденное, то точки соответствующие вершинам и совпадают в пространстве R .
Обозначим через точку их совпадения. Проведем из точки лучи в направлениях невырожденных ребер, инцидентных компонентамвырождения вершин и . Согласно лемме 3.15, те лучи, которые отвечают ребрам связанным с вершиной пересекут грань △ , а те лучи,которые отвечают ребрам связанным с вершиной пересекут грань △ .Ограничимся рассмотрением отрезков этих лучей от точки до пересечений с гранями.Забудем теперь про сеть Γ, и тогда у нас останется следующая картина.
Из точки выходят две совокупности отрезков: 1 ,. . . , , вторыеконцы которых лежат в грани △ , и 1 ,. . . , , вторые концы которых лежат в грани △ . Отметим, что сумма единичных направляющихвекторов отрезков, относящихся к грани △ , равна , а сумма единичных направляющих векторов отрезков, относящихся к грани △ , равна . Напомним, что | | ≤ 1 и | | ≤ 1. Чтобы прийти к противоречию,покажем, что одновременно оба эти неравенства выполнятся не могут.§4. Далее, если не оговорено противное, расстояниемежду вершинами√правильного симплекса будет считаться равным 2 (удобно считать вершинами правильного симплекса концы единичных векторов стандартно-Приложения127го ортонормированного базиса). Центром правильного симплекса мыбудем называть его центр масс.Приведем здесь формулировку ключевой леммы, доказательство которой будет дано ниже, начиная с §8.Пусть дан правильный ( − 1)-мерный симплекс △ в пространствеR .
Проведем гиперплоскость параллельную симплексу △, через обозначим расстояние между ними. Рассмотрим произвольную точку на плоскости и проведем из нее отрезков, оканчивающихся в симплексе △, ≤ . Пусть вектор равен сумме единичных направляющихвекторов этих отрезков. Обозначим через ′ точку на плоскости , ближайшую к центру какой-нибудь ( − 1)-мерной грани △′ симплекса△. Заметим, что длина отрезка ′ равна , и он перпендикулярен какплоскости , так и симплексу △′ .Лемма 3.16 Минимум модуля вектора , взятый по всем расположениям точки на гиперплоскости и по всем расположениям вторыхконцов отрезков в симплексе △, равен√︂ 3 2.min || = − 1 + 2Он достигается, например, в ситуации, когда точка совпадает с ′ ,а вторые концы отрезков совпадают с различными вершинами грани△′ .§5. Выберем произвольно ( − 1)-мерную подгрань △′ в грани △ и( − 1)-мерную подгрань △′ в грани △ .
Обозначим через и центрыграней △′ и △′ соответственно. Несложно проверить, что прямая ( )перпендикулярна обоим этим граням. Проведем теперь через точку гиперплоскость перпендикулярно прямой ( ). Тогда будет параллельна как грани △′ , так и грани △′ . Пусть ′ — точка пересечениягиперплоскости и прямой ( ).Применим лемму 3.16 к грани △ (здесь она выступает в качестве самостоятельного правильного симплекса) и совокупности отрезков 1 ,. . .
, , чтобы минимизировать модуль вектора . Для этогозаменим отрезки 1 ,. . . , совокупностью отрезков ′ 1′ ,. . . , ′ ′ ,где 1′ ,. . . , ′ — различные вершины грани △′ . Соответствующая сумма единичных направляющих векторов отрезков ′ 1′ ,. . . , ′ ′ , которуюПриложения128мы обозначим через ′ , будет по модулю не больше модуля вектора ,|′ | ≤ | | ≤ 1.Аналогично, заменим отрезки 1 ,.
. . , совокупностью отрезков′ ′ 1 ,. . . , ′ ′ , где 1′ ,. . . , ′ — различные вершины грани △′ . Обозначим через ′ соответствующую сумму единичных направляющих векторов отрезков 1′ ,. . . , ′ . Тогда, как следует из леммы 3.16, модульвектора ′ будет не больше модуля вектора , |′ | ≤ | | ≤ 1.Ограничимся теперь рассмотрением отрезков ′ 1′ ,. . . , ′ ′ , ′ 1′ ,.
. . ,′ ′ и симплекса △′ , образованного вершинами 1′ ,. . . , ′ , 1′ ,. . . , ′ .Дальнейшая наша цель — показать, что одновременное выполнение двухнеравенств |′ | ≤ 1 и |′ | ≤ 1 невозможно.§6. Рассмотрим ( ′ − 1)-мерный правильный симплекс △′ и точку ′ насерединном перпендикуляре к △′ . Обозначим через расстояние от ′до △. Соединим точку ′ отрезком с каждой вершиной симплекса △′ .Пусть — сумма единичных направляющих векторов этих ′ отрезков,направленных к вершинам симплекса.√︁Согласно второму утверждению′3 2 леммы 3.16 модуль вектора равен.
Из этой формулы мы ′ −1+ ′ 2видим, что || монотонно возрастает с ростом . Найдем такое ( ′ ), прикотором || = 1. Имеем ( ′ ) = √ ′ 1 ′ . Это расстояние мы назовем ( +1)критическим.Лемма 3.17 Сумма критического расстояния до грани △′ и критического расстояния до грани △′ строго меньше длины отрезка .′Доказательство. Пусть грань △′ имеет размерность√︁ −1, а грань △ —размерность − 1.
Тогда длина отрезка равнарасстояния до граней △′ и △′ равны √ 1и √+;1(+1)(+1)а критическиесоответственно.Нужно доказать, что11√︀+ √︀<( + 1)( + 1)√︂+.Делая элементарные преобразования, легко показать, что это неравенство эквивалентно следующему неравенству4( + + + 1) << (( − )2 + 4( + + + 1)) ,Приложения129которое всегда верно, если хотя бы одно из чисел , строго больше 1.Лемма доказана. §7. Из определения критического расстояния в §6 и леммы 3.17 непосредственно следует лемма.Лемма 3.18 Для любой точки ′ , принадлежащей отрезку , хотябы один из векторов ′ или ′ по модулю строго больше 1.Учитывая лемму 3.18 и неравенства |′ | ≤ | | и |′ | ≤ | | из §5,получаем, что хотя бы один из векторов или по модулю строгобольше 1.
Таким образом мы пришли к противоречию с критерием 3.3минимальности параметрических сетей и доказали основную теорему.Доказательство леммы 3.16§8. Поскольку√ точки 1 ,. . . , принадлежат правильному симплексу2, то очевидно, что попарные расстояния между ними несо стороной√больше 2. Можно считать, что все эти точек лежат в некотором ( −1)-мерном шаре, в который можно вписать правильный (− 1)-мерный√ √︁ −1√симплекс со стороной 2. Радиус такого шара равен 2 ·. В самом2деле, достаточно воспользоваться теоремой Юнга [30] (см.
также [25]стр. 111).Утверждение 3.8 (Юнг, [30]) Пусть — подмножестводиаметра√︁−1−1 в R . Существует ( − 1)-мерный шар радиуса ·, который2содержит подмножество .§9. Рассмотрим теперь вспомогательную задачу. Пусть — ( − 1)мерный шар радиуса в пространстве R . Проведем на расстоянии от шара параллельную ему гиперплоскость . Рассмотрим произвольную точку на плоскости и проведем из нее отрезков 1 ,. .
. , ,оканчивающихся в шаре. Пусть вектор равен сумме единичных направляющих векторов этих отрезков. Обозначим через ′ точку на плоскости, ближайшую к центру . Заметим, что длина отрезка ′ равна , ион перпендикулярен как плоскости , так и шару .Приложения130Лемма 3.19 Минимум модуля вектора , взятый по всем расположениям точки на гиперплоскости и по всем расположениям точек1 ,. .
. , в шаре , равен√︂ 2 2min || =.2 + 2Он достигается, например, в ситуации, когда точка совпадает с′ , а точки 1 ,. . . , образуют правильный ( − 1)-мерный симплекс,вписанный в .Доказательство. Доказательство содержится в §9.1–§9.4.§9.1. Заметим, что нам достаточно доказать лемму 3.19 в случае когда = . В самом деле, гиперплоскость расслаивается на ( − 1)-мерныеаффинные подпространства параллельные шару .
Для каждого такогоаффинного подпространства решаем задачу минимизации модуля вектора . Ответ в каждой отдельной задаче зависит только от расстояниямежду шаром и аффинным подпространством, причем минимальноезначение модуля вектора является монотонно возрастающей функциейот этого расстояния. Следовательно минимум в целом будет достигаться тогда, когда точка принадлежит ближайшему к шару аффинномуподпространству.§9.2. Покажем, что можно свести задачу к случаю, когда точка фиксирована и совпадает с ′ , а вторые концы отрезков 1 ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
