Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 24
Текст из файла (страница 24)
. . , , как ираньше, произвольно расположены в шаре .Рассмотрим конус над шаром с вершиной в точке . Все направляющие вектора отрезков 1 ,. . . , лежат в конусе . Граница этого конуса, которая также является конусом, но над границей шара ,и представляет собой поверхность второго порядка. Ее ось симметрииобозначим через ( ), ∈ . Если провести двумерную плоскость через прямую ( ), то в пересечении с образуется угол, и [ )будет его биссектрисой.Проведем через точку , находящуюся на луче [ ) на расстоянии от точки , гиперплоскость 1 перпендикулярную лучу [ ).
Рассмотрим в гиперплоскости 1 шар 1 с центром в точке и радиусом. Конус с вершиной в точке над шаром 1 обозначим через 1 , а егограницу, также являющуюся конусом, но над границей шара 1 , через1 .Приложения131Рис. 3.11:Покажем, что лежит внутри 1 . Рассмотрим точку ∈ и проведем через нее и прямую ( ) двумерную плоскость (см. рис.
3.11)Достаточно показать, что tg ≤ . В обозначениях рис. 3.11 = , − ′ = ′ = 2, ′ = · tg( 2 − − ), = · tg( 2 − + ), = sin .2+1) ctg Откуда получаем равенство (ctg= . Учитывая это равенство иctg2 −ctg2 тот факт, что при /2 > > > 0 выполнено ctg2 − ctg2 > 0, послеэлементарных преобразований получим, что доказываемое неравенствоtg ≤ эквивалентно неравенствуctg2 ctg2 + ctg2 ≥ 0.Последнее неравенство, очевидно, выполняется при всех и .Поскольку нас интересует сумма единичных направляющих векторовотрезков, которые лежат в конусе , а значит и в 1 , то исходная задачана минимум эквивалентна задаче, в которой точка фиксирована исовпадает с ′ , а вторые концы отрезков, как и раньше, произвольнорасположены в шаре .§9.3.
Можно считать, что вторые концы отрезков 1 ,. . . , лежат награнице шара . В самом деле, предположим, что конец какого-то отрезка лежит не на границе шара. Обозначим через — направляющийединичный вектор этого отрезка, а через ′ сумму всех остальных направляющих векторов отрезков.
Тогда этот отрезок можно пошевелитьПриложения132так, чтобы увеличить угол между и ′ , а значит уменьшить модуль ихсуммы, т. е. уменьшить модуль вектора . Следовательно, такое расположение не минимизирует модуль вектора .§9.4. Наша задача минимизации сводится к задаче минимизации модулявектора в случае, когда отрезки исходят не из точки ′ , а из центра шара . Покажем это и получим ответ.−−→−−→Введем для краткости обозначения: = ′ , = /| |, = .−−′→−−′→−−′→Тогда=+,||=,||=.Апоскольку⊥ , то | | =√222 + .
Расписывая теперь || , получим∑︀ ⟨ , ⟩||2 = |1 + · · · + |2 ==| || |,∑︀∑︀11⟨ , ⟩ = 2 +(⟨ , ⟩ + 2 ) == 2 +22,,∑︀2 212 212= 2 ++⟨,⟩=+ 2 +22 |1 + · · · + |2 +22 +2,Минимум выражения |1 +· · ·+ |2 равен 0 и достигается он, в частности, когда концы векторов , т.
е. точки 1 ,. . . , являются вершинамиправильного симплекса. √ √︁§10. Подставляя теперь в лемме 3.19 вместо выражение 2 · −1из2теоремы Юнга, получим утверждение леммы 3.16.4Минимальные сети на полных односвязных многообразиях неположительнойсекционной кривизныВ этом разделе мы перенесем результаты раздела 3 для евклидового случая на случай полных односвязных многообразий неположительнойсекционной кривизны. Поскольку у евклидовых пространств и многообразий много общих свойств, существенных для теории минимальныхсетей, в частности, 1) любые две точки многообразия можно соединить единственной геодезической (см. утверждение 3.12) и 2) функциядлины сети ℓ выпукла на многообразии (см. утверждение 3.11), тои формулировки основных утверждений и их доказательства полностьюаналогичны евклидовому случаю.Приложения4.1133Экстремальные параметрические сети на многообразииКривая () на многообразии называется квазиправильной, если ()либо регулярна, либо точечна. Параметрическая сеть Γ (в смысле определения из раздела 2 настоящей главы) на многообразии называетсяквазиправильной, если все ее ребра квазиправильные кривые.Деформация Γ , ∈ [0, 0 ], квазиправильной сети Γ0 называется допустимой, если∙ для каждого ребра сети Γ деформация (, ) является гладкой;∙ для регулярного ребра при любом > 0 ребро регулярно;∙ для точечного (вырожденного) ребра либо при любом > 0 ребро регулярно, либо при любом > 0 ребро точечно.Оказывается [29], что для любой допустимой деформации Γ , ∈[0, 0 ], квзиправильной сети Γ = Γ0 функция ℓ(Γ ) дифференцируемапри = 0.Определение.
Квазиправильная (параметрическая) сеть Γ называетсяэкстремальной для функционала длины ℓ, если для любой допустимойдеформации Γ , ∈ [0, 0 ], сети Γ = Γ0 выполняется неравенство⃒ ⃒⃒ℓ(Γ ) ≥ 0. ⃒=0Далее нам понадобится критерий экстремальности сети Γ на многообразиях. Определение характеристической системы локальной структурысети Γ, используемой в этом критерии, полностью аналогично случаюнормированного пространства (R , ) с гладкой на R ∖{0} нормой .Утверждение 3.9 (А.
О. Иванов, А. А. Тужилин, [29])Квазиправильная параметрическая сеть Γ на римановом многообразии , dim = , является экстремальной тогда и только тогда, когдавыполняются следующие два условия∙ все ребра сети Γ — геодезические;Приложения134∙ характеристическая система локальной структуры сети Γ обладает решением, у которого модуль каждой -мерной компоненты, не превосходит 1.Из этого утверждения мы видим, что любая экстремальная сеть Γ является геодезической сетью, т.е. сетью, у которой каждое ребро являетсягеодезической кривой.Пусть теперь Γ — геодезическая сеть на римановом многообразии .Предположим, что параметризующий граф сети Γ является деревом.Обозначим через Γ̃ приведенную сеть для сети Γ.
Рассмотрим подвижную вершину сети Γ̃ и ее компоненту вырождения . Сформулируемтеперь критерий экстремальности сети Γ.Утверждение 3.10 Для того, чтобы Γ была экстремальной параметрической сетью необходимо и достаточно, чтобы для каждой подвижной вершины приведенной сети Γ̃ выполнялось следующее условие: длякаждой ветки дерева , не содержащей граничной вершины дерева∑︀, имеет место | | ≤ 1; если к тому же — чисто подвижная∑︀ ∈вершина, то = 0.∈Доказательство этого утверждения полностью аналогично доказательству соответствующего утверждения 3.3 для нормированного пространства (R , ) с гладкой на R ∖{0} нормой .4.2Локально минимальные сети на многообразиикак регулярные экстремальные параметрическиесетиКритерии 3.10 и 3.4 экстремальности сети и локальной минимальности сети также как и в евклидовом случае позволяют интерпретироватьлокально минимальные сети на римановом многообразии как регулярные экстремальные параметрические сети с бинарной топологией.Напомним, что регулярной сетью мы называли сеть без вырожденныхграничных ребер, тип которой является геометрическим деревом.
Болееточно имеет место следующая лемма.Приложения135Лемма 3.20 Пусть сеть Γ′ получена регуляризацией локально минимальной сети Γ, затягивающей данную границу ⊂ . Тогда для сетиΓ′ выполнены следующие три условия.1. Γ′ затягивает границу .2. Параметризующий граф ′ сети Γ′ является бинарным деревом.3. Γ′ является регулярной экстремальной параметрической сетьютипа ′ .Обратно, пусть для сети Γ′ выполнены условия 1)–3), тогда ее приведенная сеть Γ(≡ Γ̃′ ) является локально минимальной сетью, затягивающей границу .4.3Геодезические деформации сетей на многообразииГеодезическую ненулевой длины : [, ] → называется нормальнойгеодезической, если она параметризована с точностью до умножения наконстанту натуральным параметром.Определение.
Пусть : [, ] → — нормальная геодезическая. Пустькривые 1 : [0, 1] → и 2 : [0, 1] → — геодезические, причем 1 (0) =() и 2 (0) = (). Определим -вариацию геодезической вдольгеодезических 1 , 2 :(1) : [, ] × [0, 1] → ;(2) (, 0) = ();(3) кривая (, ) (соответственно (, )) для ∈ [0, 1] задает нормальную геодезическую 1 (соответственно 2 ), если длина геодезической1 (2 ) не равна нулю, или является отображением в точку, если 1 (2 )есть отображение в точку;(4) для любого кривая (, ), где ∈ [, ], задает нормальнуюгеодезическую (или кривую, которая является отображением в точку),соединяющую точки (, ) и (, ) и удовлетворяющую следующемуусловию: : [, ] × [0, ] → — гомотопия кривой : [, ] → .Деформация Γ , ∈ [0, 1] сети Γ0 в сеть Γ1 называется геодезическойдеформацией или g-деформацией, если ее ограничение на каждой реброявляется g-вариацией этого ребра.Приложения136Утверждение 3.11 (М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
