Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В. Пронин, [15]) Любые две параметрические сети Γ0 и Γ1 одинакового типа можно соединить g-деформациейΓ , ∈ [0, 1]. При этом функция ℓ() = ℓ(Γ ) является непрерывной выпуклой функцией на отрезке [0, 1].4.4Геодезические сети на многообразии как параметрические сети в метрическом пространствеДалее пусть — односвязное полное риманово многообразие неположительной секционной кривизны.Напомним, что любое риманово многообразие можно превратитьв метрическое пространство, определив расстояние (, ) между двумяточками , ∈ как точную нижнюю грань кусочно-гладких кривых,соединяющих эти точки. Согласно теореме Хопфа-Ринова, см.
например [10], для полного многообразия любые две его точки , можно соединить геодезической, реализующей расстояние (, ). Напомнимтакже теорему существования и единственности геодезических для полных многообразий неположительной секционной кривизны, см. например [3].Утверждение 3.12 ([3]) Пусть — полное риманово многообразие.Тогда для любых точек , ∈ , для любого гомотопического классапутей из в существует геодезическая : [0, 1] → из этого класса(т.е. (0) = , (1) = ). Если секционная кривизна неположительна, то такая геодезическая единственна.Поэтому на многообразии любую геодезическую сеть можно однозначно задать лишь положениями ее вершин. Таким образом, любаягеодезическая сеть Γ на многообразии может рассматриваться как параметрическая сеть в метрическом пространстве (, ) в смысле определения параметрической сети в общем метрическом пространстве (см.параграф 1.1 главы 1). И обратно, любая параметрическая сеть Γ в метрическом пространстве (, ) может рассматриваться как геодезическаясеть на многообразии .Приложения4.5137Минимальные параметрические сети на многообразии Очевидно, что любая минимальная параметрическая сеть на многообразии является геодезической сетью.
Поэтому сеть Γ является минимальной параметрической сетью на многообразии тогда и толькотогда, когда она является минимальной параметрической сетью в метрическом пространстве (, ). Ясно, что минимальная параметрическаясеть на многообразии является экстремальной сетью. Следовательно,имеет место леммаЛемма 3.21 Любая минимальная параметрическая сеть Γ в метрическом пространстве (, ) является экстремальной параметрическойсетью на многообразии .Лемма 3.22 В любом в классе [, ] всех параметрических сетей типа(, ) на полном римановом многообразии существует минимальнаяпараметрическая сеть.Доказательство.
Обозначим через = { }=1 границу, которую затягивает граф , : → . Пусть у параметризующего графа имеется подвижных вершин. Обозначим через ℎ максимум попарныхрасстояний между граничными точками, т.е. ℎ = max ( , ). Рассмот ,рим множество = ∪ ℎ ( ) ⊂ , где ℎ ( ) — замкнутый шаррадиуса ℎ с центром в точке .Покажем, что имеет место равенство inf× ℓ(Γ) = inf× ℓ(Γ). В саΓ∈Γ∈мом деле, для любой сети Γ ∈ × ∖ × выполняется ℓ(Γ) > ℎ; с другой стороны, существует сеть Γ′ ∈ × (можно, например, все подвижные сети Γ′ расположить в какой-нибудь граничной точке ), такая чтоℓ(Γ′ ) ≤ ℎ.Но × — компактное подмножество в × и функция ℓ непрерывна на × , следовательно существует сеть Γ0 , для которой ℓ(Γ0 ) =inf× ℓ(Γ).
Согласно определению, сеть Γ0 является минимальной параΓ∈метрической сетью в классе [, ]. Лемма 3.23 Пусть [, ] — класс параметрических сетей в метрическом пространстве , где — дерево. Невырожденная минимальнаяПриложения138параметрическая сеть Γ ∈ [, ] будет единственной минимальной параметрической сетью в классе [, ], если и только если Γ не содержитслабо фиктивных вершин.Доказательство. Предположим, что существует еще одна минимальная параметрическая сеть Γ′ в классе [, ], отличная от Γ. Тогда, в силуутверждения 3.11, две минимальные параметрические сети Γ и Γ′ , рассматриваемые как геодезические сети, можно соединить g-деформациейΓ , ∈ [0, 1], Γ0 = Γ, Γ1 = Γ′ .
Поскольку функция ℓ() = ℓ(Γ ) выпукла ипринимает в крайних точках отрезка [0, 1] свое наименьшее значение, то,следовательно, ℓ() постоянна на отрезке [0, 1]. Таким образом, все сетиΓ являются минимальными параметрическими сетями в классе [, ].Далее доказательство продолжается по той же схеме, что и доказательство аналогичного утверждения 3.5 из [8] для евклидового случая.4.6Типичные границы на многообразии Отсюда и далее до конца настоящего раздела все типы рассматриваемыхсетей будут предполагаться геометрическими деревьями с некоторой границей ⊂ .Рассмотрим минимальную параметрическую сеть Γ, у которой1. каждая -мерная компонента , решения характеристической системы локальной структуры сети Γ по модулю строго меньше 1;2.
приведенная сеть Γ̃ сети Γ (напомним, что сеть Γ̃ невырождена) несодержит слабо фиктивных чисто подвижных вершин.Объединим эти два условия в одно и назовем условием единственности для минимальной параметрической сети Γ. Множество границ из × , для которых существует минимальная параметрическая сеть Γ[],обладающая условием единственности, мы обозначим через B .Следующая лемма оправдывает название, данное вышеприведенномуусловию.Лемма 3.24 Минимальная параметрическая сеть Γ[], затягивающая границу из B , является единственной экстремальной параметрической сетью в классе [] всех параметрических сетей типа ,затягивающих .Приложения139Доказательство.
Будем рассуждать от противного. Предположим, чтосуществует еще одна экстремальная параметрическая сеть Γ′ в классе[], отличная от Γ. Покажем сначала, что сеть Γ′ , также как и Γ, являетсяминимальной параметрической сетью в классе []. В самом деле, в силуутверждения 3.11, две параметрические сети Γ′ и Γ можно соединить g′деформацией Γ , ∈ [0, 1], Γ0 = Γ′ , Γ1 = Γ.
Допустим, что⃒ ℓ(Γ) < ℓ(Γ ).⃒Тогда, поскольку функция ℓ() = ℓ(Γ ) выпукла, то =0 ℓ(Γ ) < 0.Следовательно, сеть Γ′ не может быть экстремальной.Мы показали, что сети Γ и Γ′ являются минимальными параметрическими сетями в классе [, ]. Таким образом, функция ℓ() принимает вкрайних точках отрезка [0, 1] свое наименьшее значение, следовательно,ℓ() постоянна на отрезке [0, 1]. Поэтому все сети Γ являются минимальными параметрическими сетями в классе [, ].Далее доказательство продолжается по той же схеме, что и доказательство аналогичной леммы 3.4 для евклидового случая. Следующие леммы 3.25, 3.26 и предложение 3.8 вместе со своими доказательствами являются точными аналогами соответствующих утверждений и доказательств для евклидового случая.Лемма 3.25 B является открытым подмножеством в множествевсех границ × .Лемма 3.26 B является всюду плотным подмножеством в множестве всех границ × .Предложение 3.8 Пусть B =⋂︀B .
Тогда множество B — всюду∈плотное открытое подмножество множества всех границ × , причем любая минимальная параметрическая сеть Γ[], затягивающаяграницу из B будет единственной минимальной параметрической сетью в своем классе [].Из леммы 2.7 и предложения 3.8 вытекает важное следствиеСледствие 3.3 Для границ из множества B функция длины сети ℓна пространстве всех регулярных сетей с данной границей являетсякомбинаторной функцией Морса.Приложения140Границу из множества B, никакие три точки которой не лежатна одной прямой, мы будем называть типичной границей или границейобщего положения на многообразии . Совокупность всех типичныхграниц мы обозначим через A.
Ясно, что A — открытое и всюду плотноеподмножество в .4.7Оценки количества локально минимальных сетейс данной границей на многообразии Теперь у нас имеется достаточный набор утверждений о минимальныхсетях на двумерном многообразии , для того, чтобы воспользоватьсятеорией Морса минимальных сетей и результатами проделанных вычислений для евклидового случая и получить оценки количества локальноминимальных сетей с данной границей на многообразии .В самом деле, из леммы 2.7 и предложения 3.8 вытекает, что дляграниц из множества A функция длины сети ℓ на пространстве всехрегулярных сетей с данной границей является комбинаторной функциейМорса.
В свою очередь, также как и для нормированного пространствас гладкой нормой, из критерия 3.10 следует (см. предложение 3.3), чтовсе экстремальные параметрические сети на многообразии являютсясетями с элементарно порожденными расщеплениями. Таким образом,мы можем использовать основную количественную теорему 2.2.С другой стороны, критерий 3.10 экстремальности, а для многообразия минимальности, параметрической сети Γ полностью совпадаетсо случаем евклидового пространства R . И поскольку в каждой точкемногообразия риманова метрика приводится с помощью некоторойзамены координат к евклидовому виду, то для многообразия остаются верными утверждения о структуре расщеплений минимальных параметрических сетей на (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
