Диссертация (1104411), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это соответствует снижению концентрации электролита иуменьшению размеров элементов преобразующей ячейки. Кроме того,существуетграничноечислоRa,прикоторомшумыконвекцииувеличиваются от 3 до 10 раз в результате изменения Ra менее чем на 10%.Однако, Ra не может быть слишком малым поскольку, это означает слишкоммаленькие размеры ячейки и слишком низкую концентрацию электролита,что приводит к высокому гидродинамическому сопротивлению сенсора(высокий гидродинамический тепловой шум [52]) и соответственно к низкойчувствительности преобразующего элемента.Одним из видов шумов в электролитических системах являетсяклассическийдробовой шум, связанный с дискретностью переносимогозаряда в результате единичного акта окислительно-восстановительнойреакции.
Он описывается фундаментальной теоремой Шоттки [62] ипроявляется в условиях сильного отклонения от положения равновесия.Дробовой шум электрохимической ячейки, изученный в ряде работ [58, 63,64, 65], задаётся следующим выражением:va f =2qI,K2(1.2.11)где I - равновесный ток, протекающий через ячейку, K – коэффициентпреобразования, q - абсолютное значение заряда проходящего через границураздела электрод-электролит в единичном акте химической реакции наэлектроде.Обычно дробовой шум не вносит существенного вклада в общий шумЭП, однако необходимо всегда иметь в виду этот механизм шума приразработкеновыхконфигурацийЭПисохранятькоэффициент42преобразования достаточно высоким для заданной величины равновесноготока, чтобы избежать влияния дробового шума.1.2.4.
Методы представления шумовых процессов в электрохимическомпреобразователе1.2.4.1 Быстрое преобразование ФурьеС развитием современных компьютерных систем получила широкоераспространение цифровая обработка сигналов (Digital Signal Processing). КметодамDSPотносятсяспектральныйанализнаосновебыстрогопреобразования Фурье (Fast Fourier Transform), а так же использованиеприближающих функций локализованных одновременно и в частотной и вовременной областях, метод известный как вейвлет – анализ.FFT – это метод вычисления дискретного преобразования Фурье (DFT)[66] временной последовательности дискретных объемов данных. Такиевременные последовательности появляются, например, когда методамицифрового анализа изучают незатухающую волну.
FFT использует тот факт,что при дискретном преобразовании Фурье огромное количество вычисленийповторяются благодаря периодичности ядра DFT – e-i2пkn/N [67]. Дискретноепреобразование Фурье:N −1X (k ) = ∑ x ( n)e − i 2π kn / N(1.2.12)n=0Обозначим Wnk= e-i2пkn/N, тогда (1.2.12) перепишетсяN −1X (k ) = ∑ x( n)W nk(1.2.13)n =0Теперь W(n+qN)(k+rN)=Wnk для любых q и r, благодаря периодичности ядра.Разобьем DFT на 2-е составляющие [67]:X (k ) =N /2 −1∑n=0x (2n)WN2 nk +N /2 −1∑n=0x (2n + 1)WN(2 n +1) k ,(1.2.14)43где N число элементов последовательности, обозначим четные элементыряда x(n) как xev , а нечетные как xod и перепишем (1.2.14)X (k ) =N /2 −1∑n =0nkN /2xevW+WkN /2N /2 −1∑n=0xodWNnk/2(1.2.15)Теперь у нас есть два выражения в форме DFTX ( k ) = X ev ( n) + WNk / 2 X od ( n)(1.2.16)Обратим внимание, что для подсчета дискретного преобразования ФурьеX(k) нужно подсчитать четные и не четные DFT содержащие в 2-а разаменьшее число итераций N/2.
Используется периодичность четных инечетных DFT (1.2.17).X ev (k ) = X ev ( k −NN) ; для≤ k ≤ N −122(1.2.17)Количество операций необходимых для вычисления DFT оценивается попорядку N2. Слишком большое число для подсчетов в реальном времени, в товремя для FFT количество итераций оценивается числом Nlog2N.
Времявычислений и количество итераций многократно уменьшаются. Благодарясвоей эффективности, FFT одинаково применяется как для спектральногоанализа сигналов в реальном времени, так и анализа их записей [68].FFT применяется в основном для создания моделей статистическихошибокпоэкспериментальнымданным.Ноалгоритмможетмодернизироваться для подсчета автокорреляционной функции одномернойдействительной последовательности данных, или кросс-корреляции исвертки двух одномерных действительных последовательностей.ТакжеFFT используется для подсчета спектральной плотности мощности (PowerSpectral Density) одномерного действительного сигнала.
Значительнаяэффективность FFT, относительно традиционных методов анализа, а такжевозможность непосредственного получения модели статистических ошибок,говорит о том, что FFT является исключительно полезным инструментоманализа данных.441.2.4.2 Вариационные методыДругойклассметодованализавременныхпоследовательностейзаключается в ряде вариационных методов, специально разработанных длястохастического моделирования.
Главным отличием является вариационнаяобработка сигнала весовыми функциями, функциями окон, и т.д., Обработкасигнала включена надлежащим образом в алгоритмы для достиженияопределенного требуемого результата улучшения характеристик модели [69].Наиболее распространенный – это метод Аллановской вариации [70]. Дляподсчёта Аллановской функции, запись сигнала разбивается на различноеколичество частей характеризующихся одинаковым временем усреднения T,вариациядлякаждогоконкретноговремениусредненияопределяется формулой:σ 2 (T ) =где σ(T)12(Ω(T )k +1 − Ω(T )ki ) ,∑2 ⋅ (n − 1)(1.2.18)- функция Аллана, Ω(T ) - усреднённое значение записанногосигнала сенсора на k – й части разбиения, n – количество частей, а1Ω k (T ) =T1Ω k +1 (T ) =Ttk +T∫Ω(T )dt(1.2.19)tktk +1 +T∫Ω(T )dt(1.2.20)tk +1и tk+1=tk+TВыражение (1.2.18) представляет оценку величины квадрата вариацииАллана, качество же оценки объективно будет зависеть от числа разбиенийнанезависимыеучастки,характеризующиесяодинаковымвремени усреднения.После вычислений, в двойном логарифмическом масштабе строитсязависимость функции Аллана от времени усреднения.45Существует универсальное соответствие квадрата функции Аллана испектральной плотностью мощности случайного процесса:∞sin 4 (π fT )σ (T ) = 4∫ df ⋅ SΩ ( f ) ⋅,(π fT ) 202(1.2.21)S Ω ( f ) - спектральная плотность мощности произвольного процесса Ω(T ) .Уравнение(1.2.21)устанавливает,чтоАллановскаявариацияпропорциональна общей мощности случайного процесса, пропущенной черезфильтр с передаточной функцией sin4(x)/(x)2.
Это уравнение будетиспользоваться для вычисления функции Аллана по известному PSD шума.Спектральнуюплотностьмощностилюбогофизическогослучайного2процесса можно подставить в интеграл и определить σ (T ) как функции2времени разбиения (длинны участка записи). Поскольку σ (T )этоизмеримая величина, её зависимость от T, построенная в двойномлогарифмическом масштабе, демонстрирует непосредственно различныетипы хаотических процессов, вносящих вклад в показания сенсоров(измерительныхустройств).СоответствующаяАллановскаяфункциястохастического процесса может быть вычислена единственным образом изPSD, однако, обратной зависимости для подсчета самой спектральнойплотности мощности не существует [71]. Поэтому, вычисление PSD являетсяболее универсальным методом анализа шума устройств.
Из уравнения(1.2.21) очевидно, что ширина фильтра зависит от времени разбиения T. Этоозначает, что различные виды случайных процессов могут быть изученыпосредством установки ширины фильтра, т.е. варьированием T. Такимобразом,методАллановскойвариации,обеспечиваетсредствадляидентификации и численной оценки вклада различных механизмов шумовприсутствующих в данных, получаемых от сенсора.Рассмотрим теперь представление различных составляющих шумовогопроцесса посредством Аллановской вариации. Подробное обсуждение этоговопроса содержится в [71, 72].46Начнем с обсуждения шумов квантования, проявляющихся припредставлении аналогового сигнала в цифровом виде.
Шумы квантованиявозникают, посредством наличия малых отличий между фактическимиамплитудами выбранных точек и точек, полученных с разрешением АЦП.Спектральная плотность мощности для такого вида шума по [73]записывается в следующем виде:SΩ ( f ) ≈ (2π f ) 2 Tz Qz2 ,при условии,f p1,2TzTz(1.2.22)- рассматриваемый интервал записи, Qz-коэффициент шума квантования. Тогда, в соответствии с формулой (1.2.21)получим:σ (T ) = Qz3T(1.2.23)В свою очередь, полученное выражение означает, что шум квантованиябудет представлен на графике зависимости Аллановской функции отвремени, в двойном логарифмическом масштабе, прямой линией с наклономравным – 1.
Амплитуда этого шума может быть вычислена как значениелинии наклона при T=√3.Следует отметить, что существуют различные другие механизмы шума,например фликкер шум или белый шум, выраженные в единицах угла,приводящие к аналогичной зависимости функции Аллана от времениразбиения. А также следует отметить, что шумы квантования имеют малоевремя корреляции, или довольно широкую частотную полосу. Шум сширокой полосой можно обычно отфильтровать, поскольку интерес обычнопредставляют узкополосные сигналы сенсоров скорости.Высокочастотный шум, имеющий время корреляции существенноменьшее исследуемого отрезка записи сигналаможет составлять шумназываемый шумом произвольного ухода угла (для измерителей угловойскорости, Angle Random Walk) или шумом произвольного ухода скорости(для измерителей углового ускорения, Velocity Random Walk). Тем не менее,47большинство источников такого вида шума может быть устраненосоответствующиммоделированием[69].Видышума,обозначенныепосредством ARW (или VRW), характеризуются спектром белого шума навыходе измерителя.
В отсутствии соответствующего учета, этот вид шумаможет вносить наибольшие погрешности в показания измерительныхустройств [74].В соответствии с вышесказанным и исходя из общепринятых стандартов[69], спектральная плотность мощности этих шумов выражается:SΩ ( f ) = Q 2 ,(1.2.24)где Q – коэффициент произвольного дрейфа угла (скорости), соответственно:σ (T ) =QT(1.2.25)Таким образом, наклондвойномлогарифмическомкривой вариации Аллана для этих шумов вмасштабепринимаетзначение1/2,асоответствующее значение Q можно найти непосредственно из графика призначении времени усреднения равном 1.Происхождение шума, обычно фигурирующего в техническом описаниилюбого инерциального измерителя под названием стабильность нулевогосмещения (Bias Instability), обычно обусловлено электроникой, или другимикомпонентамисенсораподверженнымислучайнымколебаниям[72].Благодаря своей низкочастотной природе, на записи сигнала этот вид шумапроявляется виде случайных изменений величины нулевого смещениясигнала.Поведение спектральной плотности мощности обусловленнойвоздействием этого типа шума в соответствии с [69] выражается как:⎧B2 1, f f f0⎪S Ω ⎨ 2π f⎪0, f p f0⎩(1.2.26)где B - это коэффициент нестабильности, а f0 - частота среза.Соответствующие выражения для Аллановской функции:48⎧0, T pp 1 f 0⎩0.664 B, T ff 1 f 0σ (T ) → ⎨(1.2.27)Таким образом, функция Аллана в двойном логарифмическом масштабедолжна предстать кривой состоящей из участка с положительным наклономравным 1 и участка с нулевым наклоном.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
