Диссертация (1103862), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ниже мы покажем, что s1 s2 = 1, а тогда, вводяположительную величину rpond > 0, можно записать:⎧⎪rpond⎪⎪⎪⎨ e , при s1 > s2s1 = ⎪⎪⎪⎪⎩ e−rpond , при s1 < s2 .Следовательно Spond = S[rpond ], то есть является матрицей сжатия квантовогосостояния с показателем rpond вдоль “синусной” квадратуры. Нетрудно показать:(︁)︁ 1 [︁]︁ 1 [︁]︁cosh 2rpond = Tr TT† = Tr T† T .22Величины s1,2 , являющиеся сингулярными собственными числами TR , в127случае 2 × 2-матрицы могут быть найдены аналитически:[︃(︃[︁]︁2[︀ * ]︀ 2[︀ * ]︀2s1,2 = |̃︀z0 |2 + |̃︀z1 |2 + |̃︀z2 |2 + |̃︀z3 |2 ± 2 (Re ̃︀z0̃︀z1 ) + Re ̃︀z0̃︀z2 + Re ̃︀z0̃︀z*3 +[︁]︁2[︀ * ]︀2[︀ * ]︀2+ Im ̃︀z1̃︀z2 + Im ̃︀z2̃︀z*3 + Im ̃︀z3̃︀z1)︃1/2 ]︃1/2. (А.2)Здесь ̃︀zi — вообще говоря, комплексные коэффициенты разложения матрицы TRпо матрицам Паули σi :⎤⎡⎢⎢⎢1 0⎥⎥⎥def⎥⎥⎥ ,I = ⎢⎢⎢⎢⎣⎥0 1⎦TR = ̃︀z0 I + ̃︀z1 σ1 + ̃︀z2 σ2 + ̃︀z3 σ3 ,⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎢⎢1 0 ⎥⎥⎥⎢⎢⎢0 −i⎥⎥⎥⎢⎢⎢0 1⎥⎥⎥def⎥⎥⎥ .⎢⎢⎥⎥⎥ , σ def⎢⎢⎥⎥⎥ , σ defσ1 = ⎢⎢⎢⎢⎣3 = ⎢2 = ⎢⎥⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦0 −1⎦i 01 0Определить ̃︀zi можно из общих представлений о структуре матрицы T, обозна-ченных в начале Приложения.
Коэффициент ̃︀z3 = 0 всегда оказывается равнымнулю, так как диагональные элементы T равны между собой. Кроме того, из(А.1) и вещественности TR следует, что ̃︀z0 = z0 = TR11 = TR22 ∈ R, а также:TR12 + TR21̃︀z1 = z1 = −,2TR12 − TR21̃︀z2 = i · z2 = i ·,2Тогда выражение (А.2) упрощаются и принимают вид:⃒⃒⃒⃒√︁⃒s1,2 = ⃒⃒ | z1 | ± z20 + z22 ⃒⃒⃒ ,rpond −rpond⃒⃒⃒222 ⃒⃒⃒= z1 − z0 − z2 =z1 , z2 ∈ R.⃒⃒⃒⃒ det TR ⃒⃒ = 1. Нарушениеоткуда следует, что s1 s2 = e e⃒⃒условия ⃒⃒ det TR ⃒⃒ = 1 будет свидетельствовать о наличии в системе оптическихпотерь.Получим выражения для углов upond и vpond , определяющих, соответственно,левые и правые сингулярные векторы матрицы TR : первые являются собственными векторами TT† и составляют матрицу R[upond ], а вторые — собственнымивекторами T† T и образуют R[vpond ].
Из равенства диагональных элементов мат(︁)︁ (︁)︁рицы TR и рассмотрения TR12 − TR21 / TR11 + TR22 следует, что:vpond + upond = −arctanz2+ πn ,z0vpond − upond =128π+ πn ,2при n ∈ N .(︁)︁Рассмотрение суммы TR12 + TR21 дает: sinh rpond · sin vpond − upond = z1 . Посколькуrpond > 0, то, учитывая симметрию гауссова состояния, углы поворота которого[︂ π π )︂можно ограничить интервалом upond , vpond ∈ − , , в итоге получаем:2 21z2ππupond = − arctan − sgn [z1 ] ,vpond = upond + sgn [z1 ] ,2z042√︁[︂]︂rpond = ln | z1 | ± z20 + z22 .(А.3)Для систем без оптической отстройки матрица TR имеет вполне определенную форму, записываемую с помощью оптомеханического фактора Кимбла > 0. В этом случае для углов поворота и величины сжатия имеем:⎡⎤⎢⎢⎢ 1 0⎥⎥⎥⎥⎥⎥TR = ⎢⎢⎢⎢⎣⎥− 1⎦⇒ π1upond = arccot − ,22 2rpond1vpond = arccot ,22= arcsinh ,2что полностью соответствует выражениям (31) из работы [26]: upond = −φKLMTV −θKLMTV , vpond = φKLMTV .В заключение отметим, что сингулярное разложение матрицы TR инвариантно относительно согласованной перестановке матриц R[upond ], R[vpond ] и элементов s1,2 в S (эквивалентно смене знака rpond ).А.2.
СКП системы пробных телРассмотрим теперь систему пробных тел m j , образующих механическуюмоду x̂µ с приведенной массой µ. Если x̂ j — смещение j-тела, то в общем видеможно записать (выбор направления осей x j может быть произвольным):N∑︁x̂ j (Ω)x̂µ (Ω) =,αjj=1129где α j — вообще говоря, любые вещественные числа. Тогда уравнение движениядля приведенной моды принимает вид:χµ; 0 (Ω) x̂µ (Ω) = F̂µ (Ω) ,гдеχµ; 0 (Ω) =N∑︁χ j; 0 (Ω)j=1α2j∑︁ χ j; 0 (Ω)F̂ j (Ω)1F̂µ (Ω) =.χµ; 0 (Ω) j=1αjN,(А.4)Здесь χµ; 0 (Ω) — механическая восприимчивость системы без учета оптическойжесткости:χµ; 0 (Ω) = −1µ Ω2⎛ N⎜⎜⎜∑︁ 1µ = ⎜⎜⎜⎝α2 mj=1jj⎞−1⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ,⎠F̂ j — суммарная сила, действующая на j-ое тело, а F̂µ — действующая на всюприведенную моду.
Каждое тело рассматривается свободным, то есть его меха2ническая восприимчивость χ−1j; 0 = −m j Ω .Будем предполагать, что на пробные тела не действует никаких других сил,кроме силы обратного влияния:flF̂b.a.; j (Ω) = F̂b.a.;j (Ω) + K j (Ω) x j (Ω) ,где K j — оптическая жесткость, приобретаемая j-м телом, а также приливнойсилы [см. (1.4)]:G j (Ω) = χ−1j; 0 (Ω) ·L j h(Ω),2(А.5)где L j — расстояние от точки наблюдения до j-ого пробного тела. Тогда, длятого, чтобы все индивидуальные оптические жесткости K j складывались в Kµдля моды x̂µ , а выражение для приведенной силы обратного влияния имело вид:flF̂b.a.; µ (Ω) = F̂b.a.;µ (Ω) + Kµ (Ω) xµ (Ω) ,необходимо выполнение следующего соотношения для любых i, j:α j χ j; 0 (Ω) K j (Ω)=.αiχi; 0 (Ω) Ki (Ω)Отсюда следует, что для рассматриваемых нами систем с m j = mi и Ki = K j ,будет справедливо α j = αi = α.
Правильность такого выбора механической130моды подтверждается сохранением традиционной формы неравенства Шредингера-Робертсона (1.56) для приведенных x̂µ и F̂b.a.; µ .Таким образом, для СКП измерения силы и вариации метрики в общемслучае имеем:⃒⃒⃒⃒−1⃒⃒⃒χ(Ω)8 α h̄ ⃒ µ⃒⃒ ,⃒= (︁∑︀)︁2 ⃒ −2Nχ(Ω)⃒⃒µ; 0L2h2SQL; sysj=1приKµ =jN∑︁χ−1µ; 02αLj ,j=1где выражение для Kµ получено как результат подстановки (А.5) в (А.4). Длясистемы без оптической жесткости справедливо:2fSQL;sys⎞−1⎛ N⎜⎜⎜∑︁ 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ Ω2 ,= 2 α2 h̄ ⎜⎜⎜⎝mj⎠j=1131h2SQL; sys =8h̄∑︀Nj=1 1/m j(︁∑︀)︁2Ω2 Nj=1 L j.(А.6)Приложение БДетектор Майкельсона с двойной накачкойВ двухлучевой схеме детектора обе накачки считаются оптически независимыми и связанными лишь через пондеромоторное взаимодействие с общейдля них механической модой интерферометра. Для каждой из накачек, нумеруемых индексами i, j = {1, 2}, справедливо преобразование квантовых квадратуртипа (1.42):(Б.1)measxôi = TmeasMI; i îi + NMI; i n̂i + TMI; i x̂,где, как в (1.23), смещение x̂ = x̂b.a.
+ xG составляется сигнальной частью xG , вызываемой гравитационной приливной силой, и компонентой x̂b.a. , обусловленнойдействием сил обратного влияния со стороны обеих накачек. Так как механическая мода x̂ является общей для обеих накачек, то x̂b.a. = x̂b.a.; 1 + x̂b.a.; 2 создаетсяflдвумя независимыми силами F̂b.a.;i вида (1.35).Таким образом, по “правилу масштабирования” двум оптическим модамможно сопоставить два эффективных резонатора Фабри–Перо, образованныходними и теми же зеркалами, но обладающих индивидуальными ширинамиMIполос γ1,2 , оптическими отстройками δ1,2 и приведенными мощностями J1,2.Полная приведенная мощность, циркулирующая в обоих плечах [см.
(1.44)]:)︁(︁J tot = 2 J1MI + J2MI . Несмотря на различные γITM; 1,2 , оптические потери в этихэффективных резонаторах одинаковы γETM = γETM; 1,2 .Благодаря наличию отстроек δ1,2 , каждый из лучей оказывает свой независимый вклад в полную механическую восприимчивость (3.1). Тогда уравнениедвижения механической моды принимает следующий вид:x̂(Ω) = χdual (Ω)[︁flF̂b.a.;1 (Ω)+flF̂b.a.;2 (Ω)]︁+ G(Ω) ,(Б.2)Решая систему уравнений, составленную двумя выражениями (Б.1) и уравнением движения (Б.2) при учете вида силы обратного влияния (1.35), можно пока132зать, что для преобразование квантовых справедливо:ôi = TMI; i îi + TMI; i j î j + NMI; i n̂i + NMI; i j n̂ j + ThMI; i h ,(Б.3)где выражения для TMI; i , NMI; i и ThMI; i повторяют (1.33). Для TMI; i j и NMI; i j , описывающих пондеромоторное влияния одной накачки на другую, в общем случае(0)xсправедливо TMI; i j î j + NMI; i j n̂ j = χdual TMI;i F̂ b.a.; j , а при учете узкополосного и(0)одномодового приближений для выражения сил F̂b.a.;j , имеем:√︂)︁T(︁)︁TγETM x (︁xxxTσ1 TMI; j .TMI; i j = h̄ χdual TMI; i σ1 TMI; j , NMI; i j = h̄ χdualγITM; j MI; ixФункция отклика на смещение TMI;i определена в Разделе 1.5.3.Для простого детектора с двойной оптической накачкой и независимымигомодинными измерениями обоих лучей преобразование квантовых квадратуримеет вид:ôplain; i =√ηd ôi +√︀1 − ηd n̂d; i ,îi = îplain; i ,(Б.4)где входные моды îi находятся в вакуумных состояниях |0îi ⟩.
При инжекциисжатых состояний с помощью генератора, обладающего квантовой эффективностью ηsqz , справедливо:ôsqz; i√︀√= ηd ôi + 1 − ηd n̂d; i ,îi =√√︁ηsqz Si îsqz; i + 1 − ηsqz n̂ s; i ,что в частном случае ηsqz = 1 и Si = I дает (Б.4). По этой причине ниже ограничимся явной матричной записью спектральных плотностей квантового шуматолько для второго, более сложного случая.Так как все шумы n̂i , n̂d; i , n̂ s; i и флуктуации на входе всего детектора являются независимыми, их перекрестные корреляции равны нулю. Тогда для односторонних спектральных плотностей фототоков каждой из накачек S̃︀ih и ихhперекрестной спектральной плотности S̃︀12из (1.21) имеем:[︃⃦⃦2⃦⃦2⃦⃦2S̃︀ih = ηsqz ⃦⃦ HTi TMI; i Si ⃦⃦ + ηsqz ⃦⃦ HTi TMI; i j S j ⃦⃦ + (1 − ηsqz ) ⃦⃦ HTi TMI; i ⃦⃦ +]︃⃦⃦ T⃦⃦2 ⃦⃦ T⃦⃦2 ⃦⃦ T⃦⃦2 ⃒⃒ T h ⃒⃒2+ (1 − ηsqz ) ⃦ Hi TMI; i j ⃦ + ⃦ Hi NMI; i ⃦ + ⃦ Hi NMI; i j ⃦ / ⃒ Hi TMI; i ⃒ , (Б.5)133[︃(︁)︁†(︁)︁†hS̃︀12= ηsqz HT1 TMI; 1 S1 HT2 TMI; 21 S1 + ηsqz HT1 TMI; 12 S2 HT2 TMI; 2 S2 +(︁)︁†(︁)︁†+ (1 − ηsqz )HT1 TMI; 1 HT2 TMI; 21 + (1 − ηsqz )HT1 TMI; 12 HT2 TMI; 2 +(︁)︁†(︁)︁† ]︃ [︃(︁)︁† ]︃TTTTT hh+ H1 TMI; 1 H2 TMI; 21 + H1 NMI; 12 H2 TMI; 2 / H1 TMI; 1 TMI; 2 H2 .Подобно ксилофонным конфигурациям, фототоки îHD; i , соответствующиеразличным лучам, складываются с оптимальными весовыми коэффициентамиα j при дополнительном условии нормировки α1 (Ω) + α2 (Ω) = 1 [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
