Диссертация (1103862), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Рис. 4.1-а) :âLEp̂ + îSIp̂ − îSIb̂RE − b̂LNRNRERNLNLE= √ , â = √ , â = b̂ , â = b̂ , ôSI =,√222(Г.2)где p̂ — квантовая составляющая поля накачки, а îSI и ôSI поля, соответственно,входящие и покидающие темный порт интерферометра. Решая эти уравнениясовместно с (Г.1) и учитывая [Tarm , M] = 0, имеем:ôSI = TSI îSI +ThSI h,2TSI = Tb.a.arm − M Tarm ,[︁]︁b.a.
−1Tarmгде при M = I +√ThSI = 2 (I − M Tarm ) Tharm .(Г.3)(Г.4)При условии малых оптических потерь, выражения (Г.4) принимают вид:⎤⎡⎡ ⎤√︃⎥⎢⎢⎢10⎥⎥⎥4 RETM SI ⎢⎢⎢⎢⎢0⎥⎥⎥⎥⎥2iβSI ⎢iβSIh⎥⎢TSI = eTSI = e⎥⎥ ,⎢⎢⎣ √⎢ ⎥,(1 + RITM )h2SQL ⎢⎣1⎥⎦− RETM SI 1⎦πJ tot /4SI = 4 armsin2 βarm ,гдеβSI = 2 βarm + ,2а в одномодовом приближении и полном пренебрежении оптическим потерями:ΩπβSI = 2 arctan+ ,γarm 2SI = (︁4γarm J tot2γarm+Ω2)︁2 .Отметим, что из решения уравнений (Г.2) совместно с соотношением полейαβmeas αββ xна входе и выходе плеча b̂αβ = Tmeasarm â + Narm n̂ + (−1) Tarm x̂arm , не учитываю-щим обратного влияния, следует выражение функция отклика на смещение:√ iβx√22 e arm Tarm(︀meas; xmeas )︀ xx(−iΩ · x̂SI (Ω)) .x̂SI = TSI x̂SI = 2 I − Tarm Tarm x̂SI ≃ √︁TSI22γITM + ΩОно отчетливо демонстрирует, что интерферометр Саньяка наиболее чувствителен именно к скорости разностной механической моды vSI (Ω) = −iΩ · xSI (Ω).
В140частности, постоянное смещение xSI (Ω = 0) не будет детектироваться вовсе. Приэтом сила обратного влияния имеет вид:SIF̂b.a.=SI; flF̂b.a.= h̄(︁)︁x Tσ1 TSI îSI ,(Г.5)Г.1.2. С рециркуляцией сигналаДобавим к интерферометру Саньяка зеркало рециркуляции сигнала с амплитудным показателем отражения ρSR так, чтобы образующийся резонатор реω p lSRциркуляции сигнала (SRC) обеспечивал набег фазы φSR =при однократcном прохождении луча вдоль lSR (длина SRC). Аналогично случаю рециркуляции сигнала в интерферометре Майкельсона (см.
Раздел 1.5.4), наличие зеркала рециркуляции сигнала будет сказываться лишь на разностных оптической имеханической модах. Будем через î′SR и ô′SR обозначать поля, соответственно,входящие и выходящие из системы непосредственно у зеркала рециркуляции(см Рис. 1.7). Для полного соответствия матричных выражений с формулами изработы [52] точку наблюдения необходимо сместить от зеркала рециркуляции′′аналогично случаю интерферометра Майкельсона: îSR = P−1α îSR и ôSR = Pα ôSR ,где набег фазы αSR определяется выражением (1.47).Система уравнений для квадратур полей аналогична (1.46). Первые двауравнения имеют вид:[︁]︁ôSR = Pα −ρSR Pα îSR + τSR PSR ôSI ,[︁]︁îSI = PSR ρSR PSR ôSI + τSR Pα îSR ,(Г.6)а третьим является уравнение преобразования полей для интерферометра Саньяка без рециркуляции.
Оно может быть представлено как в форме, не учиxmeas2тывающей обратное влияния ôSI = Tmeas= −(Tmeasarm ) , такSI îSI + TSI x̂SI , где TSIи в окончательном виде (Г.3). Решение системы уравнений до учета обратноговлияния будет иметь вид:[︁]︁measmeas xôSR = Pα τ2SR PSR MmeasTP−ρISRSR Pα îSR + τSR Pα PSR MSR TSI x̂SI ,SRSI[︁]︁meas measxîSI = τSR PSR ρSR PSR MSR TSI PSR + I Pα îSR + ρSR P2SR MmeasSR TSI x̂SI ,[︁(︀ meas )︀2 ]︁−1measгде MSR = I + ρSR Tarm PSR.141(Г.7)Вычисление силы обратного влияния (Г.5) с использованием выражениядля îSI из (Г.7) показывает, что добавление рециркуляции сигнала с φSR , 0, π/2вызывает возникновение оптической жесткости:(︁)︁x T 2xKSI (Ω) = −h̄ ρSR σ1 TSIPSR MmeasSR TSI ≃4 m J tot γITM ρSR Ω2 sin(2φSR ),≃2(γITM − iΩ)4 + 2 ρSR (γITM+ Ω2 )2 cos(2φSR ) + ρ2SR (γITM + iΩ)4где конечное выражение получено в узкополосном и одномодовом приближениях.
Вводя четыре новые переменные (из которых независимы только две) [52]√±2 ρSR cos φSR1 − ρSRν1,2 = γITM, 1,2 = γITM, (Г.8)√√1 + ρSR ± 2 ρSR sin φSR1 + ρSR ± 2 ρSR sin φSRдля оптической жесткости получим [52]:m J tot Ω2 (ν1 + ν2 )KSI (Ω) =,1 (Ω) 2 (Ω)(︀)︀2.1,2 (Ω) = 1,2 − iΩ 2 + ν1,2На средних и высоких частотах она оказывает очень слабое воздействие на меха−1ническую восприимчивость, которая принимает вид: χ−1SI SR (Ω) = χSI (Ω) + KSI (Ω).⃒⃒При Ω ≪ ⃒⃒ ν ⃒⃒ , проявляется слабый эффект отрицательной оптической инер1,2ции:1,2m J tot (ν1 + ν2 ) 2)︁ (︁)︁Ω .KSI (Ω) ≈ −mopt Ω = (︁22221 + ν1 2 + ν22SIв случае реШумовая составляющая полной силы обратного влияния F̂b.a.циркуляции сигнала имеет вид:)︁(︁)︁(︁SI; flmeasx TF̂b.a.= h̄ τSR σ1 TSIPSR ρSR PSR MmeasTP+IPα îSR ,SRSRSIчто совместно с уравнением движения механической моды (4.1) позволяет записать окончательный вид преобразования квантовых квадратур в интерферометреСаньяка с рециркуляцией сигнала и без учета оптических потерь:b.a.ôSR = TSI SR îSR + ThSI SR h, где TSI SR = TmeasSI SR + TSI SR .FhДля отклика на внешнее воздействие справедливо: TSISRG SI = TSI SR h.
Здесь:[︁]︁(︁)︁Tmeas2meas measb.a.xxTSI SR = Pα τSR PSR MSR TSI PSR − ρSR I Pα , TSI SR = h̄ χSI SR TSI SR σ1 TSI SR ,ThSI SRmLΩ2 FmLΩ2x=−TSI SR = −χSI SR TSISR ,22142xmeas xгде TSISR = τSR Pα PSR MSR TSI .С учетом обозначений (Г.8) и в узкополосном, одномодовом приближениях этиматрицы принимаю вид, представленный в работе [52]:⎤⎡√︂arm⎥⎥⎢⎢()+2mJ(−iΩ)(−iΩ)−ννiΩ ⎢⎢⎢ 11221 2⎥2⎥⎥⎥ ,xTSI SR = −⎢⎢⎣⎥⎦h̄1 2−iΩ(ν1 + ν2 )(︁)︁ (︁)︁(︁)︁⎤⎡2222222 22 2⎥⎢t=Ω+−νΩ+−ν+2ν+ν⎥⎢t−t11 ⎢⎢⎢ 12⎥1 2 ,11222 1⎥⎥ ,⎥Tmeas=⎢SI SR1 2 ⎢⎣t2 t1 ⎥⎦t2 = −2Ω2 (1 + 2 ) (ν1 + ν2 ) .Отсюда следует, что TmeasсоSI SR осуществляет операцию поворота квантового√︁22+ 1,2.стояния, а система в целом имеет два оптических резонанса ∆1,2 = ν1,2При этом полная механическая восприимчивость χSI SR , в отличии от восприимчивости измерителя смещения, не приобретает механических полюсов.Рассмотрим связь положения оптических полюсов с особенностями спек-тральной плотности квантового шума системы.
Для измерительно шума и шумаобратного влияния при фазовом измерении справедливо [см. (1.19)]:hS meashS b.a.t12 + t224h̄| χSI SR |−2 1= 2 2 4·,· ·2mJ2arm 2 (1 + 2 )(ν1 + ν2 )2 Ω4m LΩ(︁)︁2 2222(−νν−Ω)+Ω(+)+(ν+ν)1 21 212124h̄1= 2 2 4 · 2mJ2arm · ·2m LΩ(1 + 2 )−1 | 1 2 |2 Ω−2Полагая значительное удаление резонансов друг от друга ∆1 ≪ ∆2 , легко видеть,что в области Ω ∼ ∆1 нули первого порядка спектральных плотностей:√︁measΩz; 1 ≃ ν12 + 12 ,Ωz;b.a.1 ≃ 0.При этом в области старшего резонанса Ω ∼ ∆2 :√︁√︁2ν1 ν2measb.a.22Ωz; 2 ≃ ν22 + 22 + √︁Ωz; 2 ≃ ν2 + 2 ,.22ν2 + 2Г.2. Интерферометр Саньяка с потерямиПомимо очевидных оптических потерь в плечах, которые в соответствиис ФДТ вызывают добавление в систему вакуумного шума n̂αβ , применение поляризационной оптики сопряжено с утечками одной поляризации в другую.
В143√рассматриваемой конфигурации интерферометра Саньяка это означает, что η p√часть p-поляризации будет проходить сквозь PBS, а η s часть s-поляризации,наоборот, отражаться. Соотношения полей на делителе пучка будут иметь вид:p̂ p,s + î p,s ˆ Rp̂ p,s − î p,sL̃︀, ̃︀, ô p,saˆ p,s =a p,s =√√22ˆRˆL̃︀b p,s − ̃︀b p,s=,√2ˆгде ̃︀aˆ — лучи, направляющиеся от BS к PBS, а ̃︀b – противоположные им.
Тогда:αβââαβ√︀αβ̄√ ˆ ᾱ+ η s̃︀as ,1 − η s b̂√︁α√aˆ p + η p b̂αβ̄ ,= 1 − η p̃︀=√︁√ ˆα1 − η p b̂αβ + η p̃︀a p,ᾱ√ˆ ᾱ √︀̃︀b s = 1 − η s̃︀aˆ s + η s b̂αβ ,ˆα̃︀bp =для {αβ} = {RE}, {LN};для {αβ} = {LE}, {RN}.Анализ утечек поляризационного делителя пучка проводился в работе [37], однако рассматриваемая в ней схема не обладала рециркуляцией сигнала, а физическая модель содержала ряд упрощений, которые ограничивали ее применимостьна высоких частотах Ω τarm ∼ 1 и при сильной отстройке SRC.Если через R, P обозначать любую из поляризаций p или s, а под P̄ пони-мать противоположную P поляризацию, то соотношения квантовых неопределенностей на входе и выходе интерферометра Саньяка без рециркуляции сигналабудут иметь вид:PPPP̄PPPP̄ôSI, P = TSIîSR, P + TSIîSR, P̄ + NSIn̂P + NSIn̂P̄ + ThSI h,где, с учетом обозначений ζ p =(Г.9)√︀√︀√√η p, ζs = 1 − ηs, ξ p = 1 − η p, ξs = ηs:]︁[︁pssp2PP−ζMTTSI= TSI= ξ p ξ s Ml MSI Tarm ,= ξP2 Ml Tb.a.TSIP̄ SI arm − ζP I,arm[︁]︁[︁]︁PP̄b.a.PP,N=ξMN−ζMTNNSI= ξP Ml MSI,P Narm − ζP̄ Tarm Nb.a.P lP̄ SI arm arm ,armarmSI√[︀]︀h, PTSI = − 2ξP Ml I − ζP̄ Tarm Tarm ,)︁[︁]︁−1(︁PMSI= I − ζP Tb.a.Ml = I − ζ s ζ p MSI T2arm , MSI = I − ζ s + ζ p Tb.a.arm ,arm ,√√а n̂ p = (n̂RE − n̂LN )/ 2, n̂ s = (n̂LE − n̂RN )/ 2 — эквивалентные источника шума.144Здесь учитывались следующие соотношения:b.a.b.a.
b.a.b.a. b.a.b.a. b.a.Tb.a.arm Tarm = Narm Narm = Tarm Narm = Narm Tarm = 0,MSI,p MSI,s = MSI,s MSI,p = MSI ,[︁]︁ [︁]︁ [︁]︁**Tarm , Tb.a.=M,T=M,Narmarm = 0,armSISIb.a.b.a.M*SI Tarm= Tarm,b.a.M*SI Nb.a.arm = Narm ,M*SI Tarm = Tarm ,ps, MSI.где матрица M*SI — любая из MSI , MSIДля описания интерферометра с рециркуляцией сигнала необходимо найтирешение системы уравнений (Г.6) и (Г.9). Оно имеет следующий вид:h, PPPPPP̄PPPP̄ôSR= TSISR îSR, P + TSI SR îSR, P̄ + NSI SR n̂P + NSI SR n̂P̄ + TSI SR h,где)︁)︁(︁(︁PP̄PPPP̄2PP2PC−ρI,T=1−ρTSI=1−ρSRSRSI SRSR PSR C ,SRSR√︁[︁]︁PRPP̄P̄RPR2̃︀̃︀NSI SR = 1 − ρSR PSR MP MP NSI + ρSR T PSR MP̄ NSI ,√︁]︁[︁PPP̄̃︀ P MP tSI,tSI SR = 1 − ρ2SR PSR M+ ρSR̃︀TPP̄ PSR MP̄ tSI[︁]︁̃︀ P ̃︀CPR = MTPR + ρSR̃︀TPP̄ PSR̃︀TP̄R , ̃︀TPR = MP TPR PSR ,[︁[︁]︁−1]︁−1̃︀ P = I − ρSR̃︀MTPP̄ PSR̃︀TP̄P PSR , MP = I − ρSR̃︀TPP P2SR ,(Г.10)Тогда выражение односторонней спектральной плотности квантового шума (1.21)при измерении p-поляризации, учитывающее неидеальную квантовую эффективность ηd фотодетектора (подробнее в Разделе 1.7.1), принимает вид:⃦⃦⃦⃦2 ⃦⃦⃦⃦2 ⃦⃦⃦⃦2 ⃦⃦⃦⃦2T ppT psT ppT ps⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦ + d2HT+HT+HN+HNSISRSISRSISRSISRhS̃︀ (Ω) =.⃒⃒⃒⃒2h,p⃒⃒ HT T⃒SI SR ⃒Г.3.
Детектор с входным сжатиемПоскольку основным вопросом Главы 4 является исследование детектора Саньяка с частотно-зависимой инжекцией сжатых состояний, то необходимополучить соответствующие выражение для спектральной плотности квантовогошума. Следуя Разделу 1.7.2, для случая частотно-независимой инжекции сжатых145состояний p-поляризованной моды в (Г.10) необходимо осуществить замену:îSR, p√−→ ηsqz S îSR, p +√︁1 − ηsqz n̂ s ,где ηsqz — квантовая эффективность генератора сжатых состояний.
Для схемыс частотно-зависимым сжатием, достигаемым за счет применения одного фильтрующего резонатора, замена будет следующей:îSR, p√−→ ηsqz TFC S îSR, p +√︁1 − ηsqz TFC n̂ s + NFC n̂ f .Напомним, что дополнительные шумы n̂ s , n̂ f независимы и находятся в вакуумных состояния, а выражения для матриц TFC и NFC приведены в Разделе 1.7.3.Тогда выражение спектральной плотности квантового шума при частотно-независимом сжатии принимает вид:[︃⃦⃦⃦2⃦⃦ T pp ⃦⃦2 ⃦⃦ T ps ⃦⃦2pp⃦⃦ H TSI SR ⃦ + ⃦ H TSI SR ⃦ +S (Ω) = ηsqz ⃦⃦ HT TSIS+(1−η)sqzSR]︃ ⧸︁ ⃒⃦⃦ T pp ⃦⃦2 ⃦⃦ T ps ⃦⃦2⃒⃒ T p; h ⃒⃒⃒22+ ⃦ H NSI SR ⃦ + ⃦ H NSI SR ⃦ + d ⃒ H TSI SR ⃒ ,̃︀hа в случае предварительной фильтрации:[︃⃦⃦⃦2⃦⃦ T pp⃦⃦2 ⃦⃦ T pp⃦⃦2pp⃦ +⃦⃦⃦⃦S̃︀h (Ω) = ηsqz ⃦⃦ HT TSITS+(1−η)HTT+HTNsqzSR FCSI SR FCSI SR FC]︃ ⧸︁ ⃒⃦⃦ T ps ⃦⃦2 ⃦⃦ T pp ⃦⃦2 ⃦⃦ T ps ⃦⃦2⃒⃒ T p; h ⃒⃒⃒22+ ⃦ H TSI SR ⃦ + ⃦ H NSI SR ⃦ + ⃦ H NSI SR ⃦ + d ⃒ H TSI SR ⃒ .146Приложение ДТаблицы результатов к Главе 4Таблица Д.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
