Диссертация (1103862), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(3.6)]:(︀)︀îHD (Ω) = α(Ω)îHD; 1 + 1 − α(Ω) îHD; 2 ,(Б.6)где α ≡ α1 , а îHD;i ∝ HTi ôi . Тогда итоговая спектральная плотность в нормировкена любой сигнал может быть записана следующем виде [см. также (1.16)]:[︁]︁⃒⃒2⃒⃒2(︀)︀ S̃︀ (Ω; α) = ⃒⃒ α(Ω) ⃒⃒ S̃︀1 (Ω) + ⃒⃒ 1 − α(Ω) ⃒⃒ S̃︀2 (Ω) + 2 Re α* (Ω) 1 − α(Ω) S̃︀12(Ω) .Первый этап оптимизации заключается в выборе фильтрующей функции α(Ω)путем аналитической минимизации S̃︀ (Ω; α) для каждой частоты Ω. Для этогодостаточно решить систему уравнений ∂S̃︀ /∂Re [α] = ∂S̃︀ /∂Im [α] = 0:)︁*(︁̃︀̃︀S 2 (Ω) − S 12 (Ω)[︁]︁ .αopt (Ω) =S̃︀1 (Ω) + S̃︀2 (Ω) − 2 Re S̃︀12(Ω)Анализируя вторые производные S̃︀ (Ω; α), можно показать, что для любой Ω выполняется достаточное условие минимума. Тогда спектральная плотность квантового шума принимает вид:⃒⃒̃︀ (Ω) S̃︀ (Ω) − ⃒⃒ S̃︀ (Ω) ⃒⃒2S1212[︁]︁ .S̃︀ (Ω) =̃︀̃︀̃︀S 1 (Ω) + S 2 (Ω) − 2 Re S 12 (Ω)134Приложение ВДетектор Майкельсона с парными накачкамиВ.1.
Многолучевой измеритель смещенияПусть с помощью N независимых лучей осуществляется измерение разностной механической моды x̂ интерферометра Майкельсона/Фабри–Перо. Каждая из накачек создает собственную оптическую жесткость KMI; j (Ω), котораямодифицирует механическую восприимчивость системы χ−1mult (Ω) подобно (Б.3).Выходной сигнал каждого канала, приведенный к силе, действующей на x̂, в∑︀Nспектральном представлении имеет вид: oFj (Ω) = G + χ−1x̂+meas;ji=1 F̂ b.a.; i .multОбобщая описанный для двухлучевой схемы подход к сложению фототоков отразличных фотодетекторов с весовыми коэффициентами α j (Ω), удовлетворяю∑︀щими условию нормировки Nj=1 α j (Ω) = 1 для любой частоты, получим (будемопускать у функций явное указание аргумента Ω для краткости):Fo (Ω) =N∑︁α j oFj= G + F̂sum ,где F̂sum (Ω) =j=1N [︁∑︁j=1]︁x̂+F̂α j χ−1b.a.; j .mult meas; jТогда спектральная плотность полного квантового шума имеет вид (1.55):N {︂⃒}︂∑︁[︁]︁⃒⃒2⃒−1−1⃒ α j χmult ⃒ S xx; j + 2 Re α j χmult S xF; j + S FF; j ,S (Ω; α j ) =Fj=1При минимизации на каждой частоте Ω по параметрам α j получим:α j (Ω) =S effxx[︁]︁* )︁1 (︁ effS xx + χMult S eff−SxF; jxF(В.1)S xx; j[︁]︁−1effeff(В.2)S F (Ω) = | χmult |−2 S eff+2ReχSxxmult xF + S FF , где⃒⃒⃒⃒2 ⎤ ⃒⃒⃒⎡ N⎤⎡N ⎢Neff ⃒⃒2∑︁∑︁⎢⎢⎢∑︁⎥⎥⎥⎥⃒⃒⃒SS⎢⎥S xF; jxF;j⎢⎥xF−1effeffeff⎢⎢⎢S FF; j −⎥⎥⎥ += ⎢⎢⎢⎣ S xx; j ⎥⎥⎥⎦ , S FF =,S=SxxxF⎣S xx; j ⎦S xx; jS effj=1xxj=1135j=1— спектральные плотности измерительно шума и шума обратного влияния, удовлетворяющие неравенству Шредингера-Робертсона (1.56):⃒⃒⃒⃒2 ⎤⎡N ⎢∑︁⃒⃒⃒S⎢⎥⎥⎥ h̄2xF; j ⃒ ⎥2⎢⃒⃒effeffeff eff⎢⎢⎢⎣S FF; j −⎥⎥⎦ ≥ ,S xx S FF − ⃒ S xF ⃒ = S xxS4xx;jj=1что позволяет говорить о новом, эффективном измерителе.
Для спектральныхплотностей, относящихся к каждой из используемых накачек с независимымвходным сжатием, в приближении малости потерь в плечах по сравнению спотерями фотодетектора можно записать (см. [32]):[︃]︃h̄/(4mJ MI1 − ηdj γ j)−22 2r2 −2rS xx; j = 2 2Qc e + Q s e +|χmult | , (В.3)ηd∆ j sin (φLO; j − ϕ j ) + Ω2 sin2 φLO; jS FF; jгде]︁h̄mJ MIh̄Qc Pc e2r + Q s P s e−2rj γ j [︁2 2r2 −2r, S xF; j =,= ⃒ ⃒2 | Pc | e + | P s | e*⃒⃒ ⃒⃒2∆sin(φ−ϕ)−iΩsinφjLO;jjLO;jjjPc ≡ ∆ j cos(λ j + ϕ j ) + iΩ cos λ j ,P s ≡ −∆ j sin(λ j + ϕ j ) − iΩ sin λ j ,Qc ≡ ∆2j cos(2ϕ j + λ j − φLO; j ) + Ω2 cos(λ j − φLO; j ) ,Q s ≡ −∆2j sin(2ϕ j + λ j − φLO; j ) − Ω2 sin(λ j − φLO; j ) .В случае безусловного выполнения неравенства (3.9) для какого-либо луча,когда:φLO; j = ϕ j ,(В.4)асимптотика спектральной плотности измерительного шума будет иметь вид:h̄ ∆3j · R00h̄ Ω2 · R11S xx; j (Ω → 0) =, S xx; j (Ω → ∞) =22 cos ϕ sin2 ϕ4mJ MIΩ4mJ MIjjjj ∆ j cos ϕ j sin ϕ j(︁)︁(︁)︁j2 rjabRab ≡ e cos λ j + (−1) ϕ j cos λ j + (−1) ϕ j +(В.5)(︁)︁(︁)︁−2 r jab+esin λ j + (−1) ϕ j sin λ j + (−1) ϕ j .При этом минимум спектральной плотности измерительного шума(︂ √︁)︂jjj⎡ j ⎤1/4h̄ ∆ j ·R00 R11 + R10⎢⎢⎢ R00 ⎥⎥⎥⎢⎢⎣⎥⎥ ,S xx (Ωm.m.; j ) =,Ω=∆m.m.;jjj ⎦2MI 22mJ j Ω cos ϕ j sin ϕ jR11136(В.6)достигается на частоте Ωm.m.; j , пропорциональной оптическому резонансу системы ∆ j , где (R00 /R11 )1/4 , 1 только за счет сжатия входящих квантовых состояний.В.2.
Полуаналитическая оптимизацияВ.2.1. Одна пара лучейПроведем полуаналитическую оптимизацию пары лучей, удовлетворяющихусловию (3.10). Поскольку их совместный квантовый шум на низких частотахможет достичь, но не превзойти СКП (см. Раздел 3.2.1), положим: S F (Ω → 0) =2fSQL/2. В силу выражений (3.11) при достижении СКП (см. Раздел 1.6.1) бу-2дет справедливо: S xx; j (Ω → 0) = 2 S effxx (Ω → 0) = h̄/(mΩ ). Согласно (В.5) это)︁(︁j 1/3, где j = 1, 2. Тогда для высоких частот:означает: ∆ j = 4 J j cos ϕ j sin2 ϕ j /R00S F (Ω → ∞) ≈ | χ(Ω) |−2 S effxx (Ω) =6h̄mΩF 1/3j ,4/32m(4J j )Fj ≡)︁j 3R11cos4 ϕ j sin8 ϕ jjR00(︁(В.7)Значения ϕ = ϕ1 = −ϕ2 и λ = λ1 = −λ2 , соответствующие минимуму функции F =F1,2 при некоторых характерных величинах сжатия, приведены в Таблице В.1.Следует отметить, что во всех случаях λ ≈ π/2 + ϕ.
Это означает, что F ∝ e−2r , аS F (Ω → ∞) ∝ (θ er )−4/3 .Таблица В.1. Значения ϕ, λ и соответствующие им ∆ = ∆1,2 , минимизирующие функцию F.e2r∆/Ωm.m.1.0 (0 дБ)1.002.0 (3 дБ)0.753.0 (6 дБ)ϕ [rad]√− arccos(1/ 3)λ [rad]–-1.020.510.54-1.040.5210.0 (10 дБ)0.34-1.050.52> 10.0e−r / sin 2ϕ-1.05π/2 + ϕ137В.2.2. Ксилофонная конфигурацияРассмотрим пару лучей, оптимизированных в соответствии с предыдущимразделом, как низкочастотную составляющую ксилофонного детектора. При выборе параметров для высокочастотной пары (HF) лучей шумом обратного влияния можно пренебречь.
Будем стремиться получить наиболее широкополоснуюкривую измерительного шума при наперед заданной ΩHFm.m. , минимизируя произведение(︃h̄S xx; HF (Ω → 0) · S xx; HF (Ω → ∞) =4 m Jj)︃2jj∆ j R00R11(︃h̄=4 m Jjcos2 ϕ j sin4 ϕ j)︃2√︀(︁)︁2F j ΩHFm.m. .Очевидно, его минимум соответствует тем же значениям ϕ j и λ j , что приведеныв Таблице В.1. Отметим, что для такой пары лучей S F (Ω → ∞) ∝ (θ er )−1 .В.2.3. Ксилофонная компонента с узкой рабочей полосойЕсли для пары лучей потребовать выполнения условий λ j = π/2 и 0 <ϕ j − π/2 ≪ 1, то это обеспечит наиболее глубокий и узкий минимум S xx; j (Ω) воколо частоты Ω = Ωm.m.; j = ∆ j [см. (В.6)]:(︃)︂2 )︃(︂ πh̄.ν2 e2 r j + ∆2j e−2 r j− ϕjS xx; j (Ωm.m.; j + ν) ≈MI2m J j ∆ j (π/2 − ϕ j )Тогда спектральная плотность квантового шума достигает следующего значениеи при ширина ширине минимуму ∆Ωm.m.; j :S xx; j (∆ j ) ≈h̄ ∆ j e−2 r j (π/2 − ϕ j )m J MIj−2 r j,∆Ωm.m.; j = 2∆ j e138(︂ π2)︂− ϕj .Приложение ГИнтерферометр СаньякаПусть âαβ — поле на входе плеча, а b̂αβ — на выходе.
Индекс α = {R, L} опре-деляет направление луча (“правый” или “левый”), а индекс β = {N, E} обозначает плечи детектора. Поскольку в самом плече оба луча оптически независимыи взаимодействуют друг с другом через механическую степень свободы, то b̂αβбудет связано с âαβ соотношением типа (Б.3):ᾱβαβb.a. ᾱββ hb̂αβ = Tarm âαβ + Tb.a.arm n̂ + Narm n̂ + Narm n̂ + (−1) Tarm h,(Г.1)где n̂αβ — вакуумные шумы, добавляющиеся в α-моду β-плеча за счет оптических потерь.
Матрицы преобразования столбцов квадратур и функция-векторотклика на сигнал определяются выражениями (1.33), которые при учете резонансной настройки плеч Parm = eiΩτarm I, без учета узкополосного и одномодовогоприближений принимают вид, несколько отличный от (1.38)-(1.39):√︃⎤⎡ ⎤⎡J tot /4 ⎢⎥⎢⎢⎢iβarm⎥⎢⎢⎢0⎥⎥⎥⎥102Rte⎥ETMarm⎥2iβarm ⎢h⎥⎥⎥ , Tarm =⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ,⎢⎢⎢ √Tarm = T e⎦⎣1⎦⎣− RJ tot /4h1+RSQLITM1ETM arm⎡⎤⎢⎢⎢ 1 0⎥⎥⎥⎥⎥⎥ , где при малости потерь TNarm = Neiβarm ⎢⎢⎢⎢⎣ETM ≪ T ITM ≤ 1 :⎥− 1⎦(︁)︁ J tot /4√21−R1 + RITMITM f.m.J tot /4tan Ωτarm , arm=,βarm = arctan√√1 − RITM1 − 2 RITM cos 2Ωτarm + RITM⎯⎯⎷ tot⎷J /4 J tot /4J tot /4armf.m. RETM 1 + e2iΩτarm R3/21 − RETM armITMT = t = 1, N ==.tot /4 ,2−iβ+iΩτJarmarm1 + RITM e1 − RITMf.m.totJ /4Фактора связи f.m.определяется выражением (1.24), однако под мощностьюпадающего излучения необходимо понимать половину циркулирующей в плече интерферометра.
Полная же для плеча ℐarm∝ J arm подобно двухкомпонентctotJ /4ной схеме интерферометра Майкельсона создается двумя лучами. Тогда f.m.=τarm J tot /(2Ω2 ).139Г.1. Интерферометр без потерьГ.1.1. Без рециркуляции сигналаВ случае идеального поляризационного делителя пучка соотношения квадратур квантового поля на нем и обычном делителе пучка представляются следующими выражениями (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
