Диссертация (1103743), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Так как уравнение относительно Ω являетсяуравнением 5-ого порядка, и решить его алгебраически не представляется возможным дажепри нулевой отстройке ∆ω , предположим, что Ω|∆ω =0 = 0. Учитывая, что Ω̃ = δ0 Ω + ωL0 иωl0 = ωr − ∆ω δ0 получим стабильность, выраженную через безразмерные координаты:S=F∆ω (∆ω ,Ω̃) ∂Ω∂Ω ∂∆ω∂ Ω̃∂ Ω̃= δ0+ 1 = δ0+1=1−=1+∂ωL0∂ωL0∂∆ω ∂ωL0∂∆ωFΩ (∆ω , Ω̃) ∆ω =0,Ω̃=0(5.23)Вычисляя производные F (∆ω , Ω) получим стабильность:β 2 + δc (δc + 2) + 1 2 ++2βT δc cos(φ) β 2 κ + δc (κδc + 2κ + 2) + κ + 2 −−2βT δc αi sin(φ) β 2 κ + δc (κδc + 2κ + 2) + κ + 2 = = 1− 4βT δc (δc + δ0 ) (gG0 cos(φ) − hωl0 sin(φ)) / gG0 β 2 + (δc + δ0 ) 2 2 ++2βT δc cos(φ) τd β 2 + (δc + δ0 ) 2 + 2 (δc + δ0 ) −− 2βhT δc ωl0 sin(φ) τd β 2 + (δc + δ0 ) 2 + 2 (δc + δ0 ) S = 1+ 4βT δc (δc + 1) (αi sin(φ) − αr cos(φ)) / αr(5.24)При оптимальной связи δ0 = δcSopt = 1 −=1+8βT (αi sin(φ) − αr cos(φ)) =22βT ((β 2 + 4) κ + 4) αi sin(φ) − αr (β 2 + 4) + 2βT ((β 2 + 4) κ + 4) cos(φ)8δ02gG0 (β 2 +4δ02 )2βT (hωl0 sin(φ)−gG0 cos(φ))(5.25)− 2δ0 ((β 2 + 4δ02 ) τd + 4δ0 )Как легко заметить из графика (5.5), полученное выражение для стабильности качественносовпадает с выражением, полученным численным решением системы уравнений (5.19).
Приэтом стабильность увеличивается c увеличением добротности резонатора Qres (5.6).5.2.7Полоса затягиванияДля того, чтобы при отсутствии обратной связи Ω̃ стремилась к нулю, сделаем еще однопреобразование:αr − G+ Ω̄,Ω = αi 1 −αr91(5.26)S+1Рис. 5.5: Зависимость стабильности от φ при κ = δ0 /(3 109 ), G0 = 4 1010 c−1 , δ˜l = 3.9 1010 рад/c,δ˜c = δ0 , g = 10−2 м/В, h = 10−8 м/В, β̃ = 106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c, ωl0 = 3.14 1015 рад/c. Точки— численно полученные значения, тонкие линии — рассчитанные по формуле.S 10.40.3̀0 =̀c =2*108̀0 =̀c =1*1080.2̀0 =̀c =0.5*1080.1̀d ̀ r-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5log0.0QresРис. 5.6: Зависимость стабильности от κ при G0 = 4 1010 c−1 , δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δ˜c = δ0 ,g = 10−2 м/В, h = 10−8 м/В, β̃ = 106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c, ωl0 = 3.14 1015 рад/c, φ = 092∆ωΩРис. 5.7: Зависимость отстройки от генерируемой частоты при параметрах G0 = 4 1010 c−1 ,δl = 3.9 1010 рад/c, δ˜c = δ0 , g/h = 106 м/В, β̃ = 106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c, δ0 = 107 рад/c,ωl0 = 3.14 1015 рад/c.
Синяя кривая — численный расчет, красная - аппроксимация с помощью(5.27)где Ω̄ будет искомой смещенной частотой генерации. Вид решений легко проследить из графика (5.7) (по оси x генерируемая частота, по оси y расстройка). Будем искать решениеуравнения F (Ω̄, ∆ω ) в виде ∆ω = −Ω̄ + ζ/Ω̄α . Так как уравнение имеет четвертый порядокпо ∆ω и пятый порядок по Ω, для нахождения α достаточно перебрать делители числа 4.Среди рассмотренных вариантов вид решенияζ∆ω = γ + √ − Ω̄Ω̄(5.27)дает наилучший результат.
Подставляя его в таком виде в F (Ωs , ∆ω ) можно получить рядпо Ω̄:F (Ωs , ∆ω ) =αr 2βζ 2 T δc αi α3r cos φ −Gκαiαr− α4r ζ 4 − 2βζ 2 T δc sin φ −ΩsGκαiαrpp+ O(1/ Ωs ) + O( Ωs ) + ...Так как затягивание наблюдается при малых Ω̄, обнулим старший коэффициент при Ω−1s ,играющий решающую роли в области Ω̄ → 0, получим:s√GκαiGκαiζ = ± 2 βT δc sin φ −+ βT δc αi /αr cos φ −αrαr93(5.28)и, подставляя в уравнение для ∆ω , можно получить полуширину линии затягивания:s GκαiGκαi+ αi /αr cos φ −=βT δc sin φ −αrαrvuhτd ωl0 (δl −G0 )hτd ωl0 (δl −G0 )u+φ+hωcos+φgGsinβTδl00c3tgG0gG0= 3 22/3δ03 gG0∆lock = 3 22/33(5.29)Так как в выражении присутствует квадратный корень, оно действительно не при любыхзначениях подкоренного выражения.
К сожалению, полученные выражения для ширины по-∆lockφРис. 5.8: Синяя — численно полученная ширина полосы затягивания, красная — с помощьюполученной формулы в зависимости от φ: G0 = 4 1010 c−1 , δl = 3.9 1010 рад/c, δ˜c = δ0 , g =10−2 м/В, h = 10−8 м/В, β̃ = 106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c, ωl0 = 3.14 1015 рад/c, φ = 0, δ0 =107 рад/cлосы не корректно зависят от набега фазы в свободном пространстве (5.8) и позволяют лишькачественно оценивать величину полосы затягивания.5.2.8УстойчивостьДля проверки устойчивости решений предположим, что A = A0 + αeλτ , где A0 стационарноерешение уравнения (5.19), α бесконечно малое приращение амплитуды, λ показывает динамику изменения возмущения.
Подставив амплитуду в (5.19) и сократив на αeλt , получим94уравнение для действительной части λ, определяющей устойчивость:λ = 2A20 (αr cos(κΩ + φ) − αi sin(κΩ + φ))(5.30)Для того, чтобы решение было устойчивым, λ должна быть меньше нуля.В рассмотренной модели стабилизированного лазера устойчивость решения зависит, впервую очередь, от набега фаз τd между лазером и резонатором.
Параметры лазера αr и αiфиксированы для данного лазера, набег же фаз легко варьируется в эксперименте. В зависимости от набега фаз существуют области, где решение безусловно устойчиво или безусловнонеустойчиво.Для проверки наличия устойчивых решений с затягиванием и стабилизацией построимграфики этих величин в зависимости от набега фаз при различных значениях ai . Так как величины стабильности, ширины полосы затягивания и λ имеют разный порядок, на графиках(5.9), (5.10), (5.11) по оси ординат они отложены в относительных единицах.ЀЀЀ. ЀЀ.ЀЀЀ.Рис.
5.9: Рассчитанные величины в относительных единицах от набега фаз при G0 =4 1010 c−1 , δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δ˜c = δ0 , g = 10−2 м/В, h = 10−7 м/В, β̃ = 106 рад/c, T̃ =1012 рад/c, ωl0 = 3.14 1015 рад/c, φ = 0Таким образом видно, что при различных параметрах нелинейности среды лазера существуют устойчивые области с стабилизацией и затягиванием (5.9), (5.10), (5.11).5.3ЗаключениеВ рассмотренной модели, несмотря на ее простоту, реализуются все необходимые особенности: и наличие стабилизации и затягивания частоты лазера на моду резонатора.
Все аналитически полученные величины согласуются с численными значениями.95ЀЀЀ. ЀЀ.ЀЀЀ.Рис. 5.10:4 1010 c−1 ,1012 рад/c,Рассчитанные величины в относительных единицах от набега фаз при G0 =δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δ˜c = δ0 , g = 10−2 м/В, h = 10−8 м/В, β̃ = 106 рад/c, T̃ =ωl0 = 3.14 1015 рад/c, φ = 0ЀЀЀ. ЀЀ.ЀЀЀ.Рис.
5.11: Рассчитанные величины в относительных единицах от набега фаз при G0 =4 1010 c−1 , δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δ˜c = δ0 , g = 10−2 м/В, h = 10−9 м/В, β̃ = 106 , T̃ = 1012 рад/c,ωl0 = 3.14 1015 рад/c, φ = 096Эти результаты опубликованы в [A6].97Глава 6Основные результаты работы1. Для собственных частот сфероидов, тороидов и квартик с модами шепчущей галереи спомощью метода Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера был получено уточнение разложениясобственных частот по азимутальному индексу моды, позволяющее получить увеличение точности приближения около порядка, а также получены выражения для дисперсии групповой скорости продольных и поперечных мод, согласующиеся с численнымирасчетами.
Было показано, что для собственных частот фундаментальных мод можнополучить равномерную аппроксимацию ошибки, улучшающую точность еще на порядок. Для сфероида было получено выражение для распределения оптического полявнутри и снаружи резонатора.2. С помощью приближенного решения характеристического уравнения и примененияадиабатического инварианта удалось получить аналитические выражения для сдвиговсобственных частот TM и TE мод шепчущей галереи при наличии тонкого слоя диэлектрика на поверхности сферического резонатора. Приближения совпали с результатами,полученными ранее ранее с помощью приближенного решения уравнения Гельмгольца,подтвердив их корректность.
Получены выражения для добротности резонатора приналичии поглощения в тонком слое.3. Для связи сфероидальных резонаторов с призмой получены угловые спектры распространения света в призме и показано, что они отличаются от случая сферы из-за характера распределения поля в резонаторе. Для случая сфероида было получено выражениедля оптимального сжатия резонатора и показано, что подбор правильной формы можетувеличить величину связи на несколько процентов. Было показано, что с увеличениемсжатия резонатора добротность нагружения падает. Было получено приближение длявеличины добротности потерь в материале призмы с поглощением.984. Для упрощенной модели стабилизации лазера с нелинейностью среды, пропорциональной интенсивности излучения, резонатором с модами шепчущей галереи, при наличиив нем рэлеевского рассеяния, была показана возможность стабилизации и затягивания.Показано, что в такой модели существуют устойчивые режимы с затягиванием частоты лазера на резонатор, что соответствует экспериментальным данным.
Аналитическиевыражения для стабильности и полосы затягивания, полученные для данной модели,согласуются с численными расчетами.99Литература[1] М. Л. Городецкий, Ю. А. Демченко, Д. Ф. Зайцев, В. Н. Крутиков, Ю. М. Золотаревский,and В. Л. Лясковский. Высокодобротные оптические микрорезонаторы с модами типашепчущей галереи и их применение в прецизионных измерениях. Метрология, (12):22–40, 2014.[2] V. S. Ilchenko V. B. Braginsky, M. L.
Gorodetsky. Quality-factor and nonlinear properties ofoptical whispering-gallery modes. Physics Letters A, 137(7-8):393–397, 1989.[3] P. Del’Haye, T. Herr, E. Gavartin, M.L. Gorodetsky, R. Holzwarth, and T.J. Kippenberg.Octave spanning tunable frequency comb from a microresonator. Physical Review Letters,107:063901, 2011.[4] J.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
