Диссертация (1103743), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для аппроксимации формы такихрезонаторов можно использовать сфероид [30], являющийся, с одной стороны, хорошим приближением для описания формы резонаторов в области, в которой распространяется свет,а, с другой стороны, позволяющий получить хорошую точность при расчете собственныхчастот [130].4.2Связь с несферическим резонатором с помощью призмы4.2.1Распределение поля снаружи резонатораДля того, чтобы связаться с резонатором через призму, излучение должно быть сфокусировано на внутренней поверхности призмы под углом, большем полного внутреннего отражения,а резонатор должен быть поднесен к точке фокусировки на расстояние порядка λ/2π, где λ- длина волны [15]. Аналогично предыдущей работе [15], выбираются сферическая системакоординат в центре резонатора и декартова система координат с центром в точке фокусировки излучения (4.1).
Так как для сфероидальной геометрии уравнение Гельмгольца не можетz′zΘθρφx′yΦxy′Рис. 4.1: Сферическая система координат с началом в центре резонатора и декартова с началом в точке фокусировки излучениябыть решено явно, используются приближения (2.99) для распределения поля в резонаторе. Для фундаментальной моды резонатора распределение поля на поверхности резонатора68может быть записано в виде:Ell = cll e−θ̃2/2 imφe(4.2)а для мод высокого порядка с l − m ≫ 1Elm = clm cosih√ √π2 l − mθ̃ + (l − m) eimφ ,2(4.3)гдеsm2 b̃21− ,2ã24s b2∗− ∆ρ ,ã = a + P r , b̃ = ãap1/r∗ = k n2r − 1, ∆ρ ≈ 1.05am−2/3 ,θ̃ =π−θ4(4.4)где y и z - координаты снаружи от сфероида и cll и clm - нормировочные константы.
Влияние выпадающего из резонатора поля при расчете эффективных геометрических параметровсфероида не учитывалось, так как оно имеет порядок малости O(m−2/3 ) по сравнению с исходными параметрами сфероида и, таким образом, полагается, что ã ≈ a и b̃ ≈ b.Отметим, что выражения для распределения поля несферического резонатора были впервые получены в работе [164], опубликованной раньше, чем [165], на которую ссылаются в [166].Эквивалентность распределений [164] и [165] легко показать простым преобразованием координат. Метод, описанный в последней, использует ортогональную систему координат вкоторой производные коэффициентов Ламе малы и ими можно пренебречь, что позволяет упростить уравнение Гельмгольца и записать решение радиальной части через функцииЭйри, а угловой через функции Гаусс-Эрмитта, в то время как в работе [164] используетсяметод приближение для радиальной части через цилиндрические функции Бесселя.
Поскольку функции Бесселя высокого порядка можно аппроксимировать через функции Эйри, обаподхода асимптотически идентичны. Поскольку для исследования связи играют роль толькоугловые распределения и рассматриваются моды очень высокого порядка, отличия в аппроксимациях роли не играет. Простое координатное преобразование показывает, что выражениядля амплитуды поля идентичны. Предполагая, что сфероидальные координаты ζ и η соответствуют координатам u — расстоянию от рассматриваемой точки до поверхности, и θr —произведению локальной кривизны на полярный угол, угловая и радиальная часть распре-69деления поля представляются какEΘ (θ, φ) = e−θ22/(2θm)Hp (θ/θm )eimφu−δER (u) = Aium(4.5)где θm , δ и um определяют параметры распределения поля в резонаторе.
Легко также показать, что угловое распределение для фундаментальных мод и мод высокого порядка можетбыть получено из (4.5) при p = 0 и p ≫ 1 соответственно.Поле снаружи от резонатора спадает экспоненциально с характерным расстоянием затухания r [15]. Так как радиусы кривизны различны в плоскостях xz и xy, то затухание поляснаружи от резонатора можно выразить как e−z2/(2az r ∗ )−y 2 /(2ay r ∗ ), где az и ay радиусы кри-визны поверхности резонатора в горизонтальной и меридиональной плоскостях. В случаеосесимметричного сфероидального резонатора радиус кривизны в экваториальной плоскости az = a. В меридиональной плоскости зависимость кривизны от угла θ не учитывается ирадиус полагается равным радиусу кривизны при θ = 0, что аналогично условию z = 0:ay = 3 ′2 2 p1 + a 1 − z 2 /b2′′ p a 1 − z 2 /b2 z=0= q1−abz2b22(a2 z 2 + b4 − b2 z 2 )qa2 z 2b4 −b2 z 2+ 1=b2(4.6)az=0Перемножая выражения для поля снаружи от резонатора (4.2), (4.3) с полученным выражением для спадания поля с расстоянием можно получить распределение поля на поверхностипризмы.Для того, чтобы перейти от распределения поля на поверхности призмы к распределению поля внутри нее, используется интеграл Френеля.
Распределение поля умножается наei(ky y+kz z) и интегрируется по плоскости призмы, к которой поднесен резонатор. Так какобласть, к которой проникающее в призму из резонатора поле не мало, значительно меньше размеров призмы, то интегрирование можно производить в бесконечных пределах.
Дляфундаментальных мод:Ell (ky , kz ) =Z+∞−∞2cl,l e− 2zb̃2r− 21 r rm2b̃2˜a2r− 14ei(ky y+kz z) dydz =2b2 kz(m−aky )2+ab2 m2 − 1 +a24a2πabres = cl,lq22a r b am−27014+a(4.7)а для мод высокого порядкаZ+∞cm,l ei(ky y+kz z) dydz×−∞s2√y2 +z 2imy14mπ− z + (l − m) =× e− 2ar − a cos l − m 42ã2 b̃2b̃4!rpl−m14×π(l − m) + ibkz r 4b2 m2 − a2= 2πbrcm,l cos2a3Em,l (ky , kz ) =×e−√(2 +(l−m)r a3 ky(2 +m24b2 m2 −a2 −2a2 ky m+a b2 kz))2a2(4.8)Представляя косинус комплексного аргумента в виде:cos!rp1l−m4=π(l − m) + ibkz r 4b2 m2 − a22a3qq√41 bkz r √4b2 m2 −a2 l−m−bk r 4 4b2 m2 −a2 l−ma3a3=e±e z2(4.9)Предполагая, что k˜y = ky /k и k˜z = kz /k, результат интегрирования можно представить ввиде:E(kz , ky ) ∝ e−(k̃z −k̃z0 )222∆k̃z−(k̃y −k̃y0 )222∆k̃y.После интегрирования могут быть найдены величины k̃y0 , k̃z0 , которые определяют оптимальные углы падения излучения на внутреннюю границу призмы, а также характерныеширины диапазонов оптимальных углов ∆k̃z , ∆k̃y в плоскостях xz и xy соответственно.
Дляp = 0:(4.10)k̃z0 = sin Θ = 0∆k̃z222= ∆Θ cos Φ ==mnr ab + lrqb2 m21a2 − 4rb2 n2p k 2+a=pn2r − 1(4.11)nrm≈np kanp(4.12)n2p b2 2nr a2 lk̃y0 = sin Φ =pnr n2r − 11222∆k̃y = ∆Φ cos Φ = 2 2 ≈,np k arn2p l71(4.13)и для p ≫ 1:r√44b2 m2 − a2 l − mk̃z0 = sin Θ cos Φ = ±≈bnp kapr√a nr m(l − m)≈± 2b npla∆kz2 = ∆Θ2 cos2 Φ cos2 Θ = 2 2 2 ≈np k b rp2 n2a r nr − 1≈ 2bn2p lmmnrk̃y0 = sin Φ cos Θ =≈aknplnppnr n2r − 112222.∆ky = ∆Φ cos Φ cos Θ = 2 2 ≈np k arn2p l(4.14)(4.15)(4.16)(4.17)Как легко может быть замечено, новый параметр b определяет характеристики поля впризме. Одно из важнейших соотношений np > nr , следующее из условия полного внутреннего отражения на грани призмы и ограничивающее выбор возможных материалов призмыи резонатора, можно получить из (4.12) и (4.16).
Это условие не изменяется существенно сизменением b/a из-за характера зависимости собственной частоты от сплюснутости [30]. Основное отличие от случая идеальной сферы в распределении поля в вертикальной плоскости.Для фундаментальных мод характерная ширина распределения поля в призме зависит отсплюснутости. При увеличении сплюснутости резонатора характерная ширина распределения увеличивается из-за уменьшения ширины поля, проникающего из резонатора в призму.Для случая мод высокого порядка с p ≫ 1 зависимость характерной ширины в зависимостиот сплюснутости аналогична и в основном определяется углом прецессии, зависящим в своюочередь от m/l [15].4.2.2Оптимизация величины связиПредполагая, что падающий на грань призмы пучок Гаусов и углы в призме подобраны оптимальным образом, можно получить сплюснутость резонатора, необходимую для наибольшейсвязи.
Предположим, что падающий на призму луч имеет в направлениях y и z ширины gyи gz соответственно, причем отношение gy /gz зависит от угла падения излучения в призме.Для того, чтобы оптимизировать величину связи, максимизируем нормированный интегралIn перекрытия на поверхности призмы [167] между полем резонатора, проникающим в призму и полем излучения:In = qRRdsEl (y, z)Er (y, z)qR.ds|El (y, z)|2ds|Er (y, z)|272Для фундаментальной моды интеграл может быть посчитан:In =s√nkan2r −1a2 nr+ g12y√πas 2π√mnr b/a+nka√n2r −1a2 nr (b/a))2nr b/ar√4nka mnr n2r −1b/a+nka(n2r −1)+ g12z√ gy gz(4.18)и результат продифференцируем по b/a для поиска экстремума. Так как выражение длякорня производной In слишком громоздкое, разложим его в ряд по m:q pnka+ggz m 2a 4 n2r − 1 mnzbr=a2a2(4.19)Для того, чтобы убедиться, что найденный экстремум является максимумом, возьмем вторуюпроизводную (4.18) в точке экстремума.
Очевидно, что выражение для второй производнойменьше нуля:qnka2 216πgnry8π 2 gy2nrd Inq=−pd(b/a)2gz21nka 4 n2r − 1agz m2что означает, что точка является максимумом.Для эффективного возбуждения мод с p ≫ l требуется Гаусов входной пучок, распространяющийся под углом к оси xz, и не рассматривается в настоящей работе. Оптимальныепараметры не зависят одновременно и от gy и от gz , так как сплюснутость резонатора существенно изменяет распределение поля лишь в вертикальной плоскости (4.2).
Как можновидеть из (4.3), зависимость связи от сплюснутости резонатора слабая. Для типичных экспериментальных значений величина интеграла перекрытия изменяется лишь на 10% приизменении сплюснутости в 3 раза.Полученный результат для оптимальной сплюснутости резонатора отличается от аналогичного, полученного в работе [168], в которой предполагалось, что оптимальная связьдостигается при равенстве отношений характерных ширин пучка в направлениях осей z иy для лазера и для резонатора на грани призмы. Предложенный в настоящей работе методявляется методологически более корректным, так как при решении уравнений связанныхмод [167] для коэффициентов связи появляются именно интегралы перекрытия, которые имаксимизируются в настоящей работе.4.2.3Добротность нагруженияНаличие элемента связи (призмы) приводит к тому, что энергия из резонатора будет излучаться через него.
Потери энергии на излучение через призму можно характеризовать73nka = 300001000nka = 10000nka = 3000nka = 300100b/a1010.10.011E-41E-30.01w/aРис. 4.2: Оптимальная сплюснутость nr = 1.4740.11.0n ka=30000rn ka=10000rn ka=3000r0.8n ka=300rIcs0.60.40.20.00.010.1110b/aРис. 4.3: Интеграл перекрытия для фундаментальных мод a = 100µm, nr = 1.4, gz = 1µm,gy = 2µm75обратной величиной, которую мы будем называть добротностью нагружения. Сплюснутостьрезонатора также влияет на добротность нагружения. Найти её можно как отношение внутренней энергии резонатора E к энергии P , уходящей через призму:Q=ωEPДля того, чтобы найти энергию, уходящую из резонатора в призму, находящуюся на расстоянии d, интегрируется плотность энергии, выходящей из резонатора, причем аналогичнопредыдущим выкладкам, поверхность призмы считается бесконечной:ǫ0 ǫp cP = √2 ǫpZ∞−∞ǫ0 n2p c 1=2 (2π)2∞ZZǫ 0 np c ∞ ∞|E| dydz =|E|2 dydz =2−∞−∞ −∞Z ∞Z ∞|E(ky , kz )|2 dky dkz =Z−∞2−∞4π 3 abrc2l,l=q √12 2222 r 4b m − a + a(4.20)Энергию поля получим из выражения (2.101).
Таким образом, добротность нагружения дляфундаментальных мод:n2Q= rnp2πa n2r − 1λ ! 324πde√n2r −1λsπaπp+n2r − 1 bnrАналогично для мод с p ≫ l энергия, уходящая в призму:P =′2 2π 3 bJmcl,m n2p ǫ0 e−2dk√n2r −13/2k (n2r − 1)1 2 2′2 2πa bcl,m Jmnr ǫ 02r√ 2 2 a 2dk0 √n2 −1rmeQ = 2 πa kbE=n2r − 1m !3/2Полученные выражения совпадают с добротностью для сферы [15] и изменяются со сплюснутостью, что связано с изменением формы области на поверхности призмы, в которую эффективно проникает поле из резонатора. Добротность нагружения, так же как и в случае сферы,экспоненциально зависит от расстояния между резонатором и призмой (4.4), что позволяетлегко добиваться оптимального нагружения выбором необходимого расстояния d.766Q101050.010.11b/aРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
