Диссертация (1103743), страница 15
Текст из файла (страница 15)
После резонатора обычно устанавливается четвертьволновая пластина, с последующим поляризационным делителем, с которого излучение попадает на детекторы. Разностьинтенсивностей на детекторах позволяет определить отстройку частоты лазера и резонатора [178].Этот метод активно применяется в экспериментах по оптомеханике в РШГ для достиже83ния большей чувствительности детектирования механических колебаний, так как позволяетне использовать активную стабилизацию, добавляющую технические шумы, и разделить пополяризациям излучение для генерации сигнала ошибки лазера и сигнал, несущий информацию [179].Также этот метод используется для подстройки частоты лазера на частоту резонатора приизготовлении модуляторов на РШГ [180]. При этом также модулируемый сигнал и сигналошибки будут разделены по поляризациям.5.1.4Стабилизация лазера микрорезонатором с МШГСтабилизация лазерных диодов с помощью оптических микрорезонаторов носит важный прикладной характер для задач спектроскопии, телекоммуникации, фотоники.
Размер полностью собранного устройства может быть достаточно малым, вплоть до нескольких нескольких кубических сантиметров, причем стабильность полученной системы - достаточно высокой [181].Работы в данном направлении ведутся, в основном, в экспериментальной области. Однимиз пионеров является компания OEWaves: ими разрабатываются и продаются стабилизированные резонатором с МШГ лазерные диоды на чипе с хорошими характеристиками.На сегодняшний день не существует простой и четко разработанной аналитический теориизатягивания лазера резонатором с МШГ, предсказывающей одновременно такие основныепараметры затягивания, как ширину полосы затягивания и стабильность затянутого лазера. Одна из наиболее актуальных работ, в которой теоретически проанализирована системауравнений лазера и резонатора с МШГ, была сделана в 2003 году Величанским В.
Л. [182]. Вданной работе рассматривалась система из 4-х уравнений: уравнение медленно меняющейсяамплитуды (ММА) для моды лазера, два уравнения ММА для прямой и обратной мод резонатора, связанных друг с другом за счет рассеяния излучения из моды, распространяющейсяв прямом направлении, в моду с противоположным направлением распространения.
В работебыли аналитически получены результаты для стабильности частоты затянутого лазера, ноаналитически ширина полосы затягивания не рассматривалась.Основным отличием настоящей работы является попытка описать систему более просто,используя меньшее количество параметров лазера, но при этом сохранив основные особенности системы. За счет более простого описания можно получить аналитическое выражениедля ширины полосы затягивания, которое в дальнейшем необходимо как для фундаментальных исследований, так и для прикладных проблем.
В частности, ширина полосы затягиванияважна при выборе параметров схемы для генерации оптических солитонов в резонаторах снормальной дисперсий групповой скорости [183].Для того, чтобы описать воздействие обратной волны в резонаторе на лазер используется84ранее полученное в работе [184] выражение для отраженной волны, зависящее только отпараметров падающего на резонатор излучения, параметров резонатора и коэффициентасвязи прямой и обратной моды.5.25.2.1Расчет параметров стабилизацииОбратное рассеяние и отражение от резонатора с МШГРассеяние в обратную моду определяется многими факторами, в частности, оно может бытьвызвано рэлеевским рассеянием, шероховатостями поверхности [184], наличием диэлектрических тел вблизи поверхности резонатора [185]. Количественно коэффициент связи можетбыть получен из [184]:βjkω0=β= 22nZ∗dv e~j δǫ e~k /Z2|e~j | dv(5.1)где e~j и e~k — моды, распространяющиеся в противоположном направлении, δǫ — вариациядиэлектрического показателя.В случае рэлеевского рассеяния δǫ легко находится из термодинамики, для шероховатостей оно определяется усредненным размером шероховатости на поверхности.В случае диэлектрических тел с ним взаимодействует вытекающее из резонатора поле.Кроме того, в работе [185] экспериментально было обнаружено, что при поднесении остриярезонансная кривая превращается в дублет.
Этот эффект связан с тем, что с увеличениемрассеяния поглощение энергии обратной волной тоже увеличивается. Этот эффект являетсяаналогией эффекта Парселла для связанных мод резонатора.В работе [186] численно исследовалась связь при наличии обратной волны, и было показано, что ее наличие изменяет условия максимальной связи. Нагружение при этом должнобыть не критическим, а немного меньшим.5.2.2Полная система уравнений для стабилизацииДля стабилизации диодного лазера с помощью резонатора с МШГ используется стандартнаясхема (5.1): лазер, РШГ и элемент связи с ним.
Стабилизация диодного лазера с помощьюРШГ описывается системой четырех уравнений, учитывающей множество эффектов, в частности, динамику инверсной населенности среды лазера:85Рис. 5.1: Схема эксперимента по стабилизации лазераdà + i(Ω̃ − ωl (ni )) + δl − G(ni ) à = = K1 Arm (t − τd /2) exp (iωτd /2) ,dt 2à 1dni+ ni = J − G(ni ),dtτs8πη Ω̃dArm + i(Ω̃ − ωrm ) + δ0 + δc Arm = iβArp ,dtdArp + i(Ω̃ − ωrp ) + δ0 + δc Arp = iβArm + K2 Ã(t − τd /2) exp (iωτd /2) ,dt(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)где τs — время релаксации инверсной населенности, J — плотность тока накачки, η — КПДлазера, ni — инверсия населенности, Ã, Arp и Arm — амплитуда моды лазера, амплитудамоды резонатора, распространяющаяся в прямом направлении, и амплитуда обратной моды,K1 и K2 — коэффициенты связи полей в лазере и в резонаторе, τd время прохождения отлазера к резонатору и обратно, ωrm и ωrp — собственные частоты мод, распространяющихсяв прямом и обратном направлениях, δ0 и δl собственное затухание моды резонатора и затухание, связанное со связью.
Предположим, что добротности мод, распространяющихся впрямом направлении и в обратном одинаковы.Несмотря на упрощенное рассмотрение динамики лазерной генерации в системе (5.2),(5.3),(5.4),(5.5),она не является тривиальной и достаточно ресурсоемкая для численного анализа ее динамики.5.2.3Отражение от резонатораЗадача нахождения амплитуды и фазы отраженной от РШГ волны была рассмотрена ранеев [184]. Комплексная амплитуда отраженного излучения как функция частоты и падающей86амплитуды поля может быть получена как:Br = −Ãi2δc β(δ0 + δc )2 + β 2 − ∆ω 2 + i2∆ω(δ0 + δc )(5.6)где ∆ω = Ω − ωr .
В зависимости от коэффициента связи мод β вид зависимости может бытьразличным: зависимость от ∆ω может иметь как один, так и два максимума (5.2).0.8=̀0 =̀c0.6̀=2̀0 =2̀c̀=3̀0 =3̀c0.4̀=4̀0 =4̀c0.2-10̀=6̀0 =6̀c-5510Рис. 5.2: Зависимость амплитуды отраженного поля от частотыПри описании системы для стабилизации лазера использование отражения в таком видепозволяет существенно упростить систему, считая пришедшее от РШГ поле обратно в лазеризвестным.5.2.4Уравнение медленно меняющейся амплитуды для лазераДля более простого описания системы сведем систему уравнений (5.2),(5.3),(5.4),(5.5) к одному единственному уравнению. При этом пренебрежем:1. Сложной зависимостью показателя преломления и усиления среды лазера, предполагаяих зависящими только от интенсивности поля. Это означает, что происходящие в сределазера процессы считаем бесконечно быстрыми.2. Отличием амплитуды лазера в момент времени t и t + τd , что не существенно прирассмотрении стационарного случаяРассмотрим укороченное уравнение амплитуды без стабилизации.dà + i∆ωl (Ã) + δl − G(Ã) à = 0dt(5.7)G(Ã) = G0 (1 − g Ã2 )(5.8)ωl (Ã) = ωl0 (1 − hÃ2 )(5.9)∆ωl (Ã) = Ω̃ − ωl (Ã)(5.10)87где à — амплитуда поля, g и h — коэффициент нелинейности усиления среды и нелинейности частоты в зависимости от амплитуды поля, G0 и ωl0 коэффициент усиления среды исобственная частота холодного лазера, Ω̃ — генерируемая частота и δl — потери в резонаторелазера.
При этом стационарным решением будут:δl 1= 1−G0 ghδlΩ̃s = ωl0 1 −1−gG0Ã2s(5.11)(5.12)Добавим в уравнение (5.12) выражение для отраженного от резонатора с МШГ поля (5.6):dà + i∆ωl (Ã) + δl − G(Ã) à = iT̃ Br e−iΩ̃τd ,dt(5.13)Рассматривая стационарный случай получим 2 уравнения, для действительной и мнимойчасти, и перенося набег фаз в левую часть уравнения, получим:∆ωl (Ã) cos(Ω̃τd ) + (δl − G(Ã)) sin(Ω̃τd ) = −2T̃ δ˜c β̃2∆ω(δ0 + δ˜c )((δ0 + δc)2+β̃ 2− ∆ω 2 )2 + 4∆ω 2 (δ0 + δ˜c )2(5.14)−∆ωl (Ã) sin(−Ω̃τd ) + (δl − G(Ã)) cos(Ω̃τd ) = 2T̃ δ˜c β(δ0 + δc )2 + β̃ 2 − ∆ω 2((δ0 + δc )2 + β̃ 2 − ∆ω 2 )2 + 4∆ω 2 (δ0 + δ˜c )2(5.15)5.2.5Выбор безразмерных переменныхДля дальнейших вычислений обезразмерим уравнения.
Выберем безразмерные координатыследующим образом:A=τ = δ0 tΩ̃ − ωl0δ0G0 − δ˜lδ0ωl0 hgδ0ωr − ωl0δ0δ˜cδ0β̃δ0T̃δ0G0δ0= Ω,=G= αi ,= ∆ω88√gÃ= δc=β= T,= αrи с учетом сделанных переобозначений перепишем отстройку и правую часть уравнения(5.13):Ω̃ − ωl0ωr − ωl0−δ0δ0∆ω = Ω̃ − ωr = δ0!= Ω − ∆ω(5.16)T̃√i2δ˜c β̃T̃ −iτi gBr e−iτ = −iÃe=222˜˜δ0(δ0 + δc ) + β̃ − ∆ω + i2∆ω(δ0 + δc ) δ02(δ˜c /δ0 )(β̃/δ0 )Ãe−iτ T̃ /δ0=2˜˜l0l0 2) + i2(Ω − ωr −ω(1 + δδ0c )(1 + δδ0c )2 + β̃δ2 − (Ω − ωr −ωδ0δ00=(1 + δc)2+β22δc βT e−iτ A− (Ω − ∆ω )2 + i2(Ω − ∆ω )(1 + δc )Ω̃τd = τd δ0 Ω + ωl0 τd = κΩ + φ = τd ωr Q−1r Ω+φ(5.17)(5.18)где τ — набег фазы при проходе от лазера к резонатору и обратно.
В безразмерном видеуравнение для амплитуды моды можно представить в виде:2δc βT e−i(κΩ+φ)dA2A=0+ iΩ − G + (iαi + αr )A −dτ(1 + δc )2 + β 2 − (Ω − ∆ω )2 + i2(Ω − ∆ω )(1 + δc )(5.19)В стационарном случае (5.13) и его действительная и мнимая часть будут выглядеть:iΩ − G + (iαi + αr )A2 −2δc βT e−i(κΩ+φ))=0(1 + δc )2 + β 2 − (Ω − ∆ω )2 + i2(Ω − ∆ω )(1 + δc )(5.20)(Ω + ai A2 ) cos(κΩ + φ) + (−G + ar A2 ) sin(κΩ + φ)−−2T δc β(−2(Ω − ∆ω )(1 + δc ))=0[(1 + δc )2 + β 2 − (Ω − ∆ω )2 ]2 + 4(Ω − ∆ω )2 (1 + δc )2(5.21)(−G + ar A2 ) cos(κΩ + φ) + (−Ω − ai A2 ) sin(κΩ + φ)−−2T δc β((1 + δc )2 + β 2 − (Ω − ∆ω )2 )=0[(1 + δc )2 + β 2 − (Ω − ∆ω )2 ]2 + 4(Ω − ∆ω )2 (1 + δc )2(5.22)Из полученной системы уравнений легко выражается амплитуда A от частоты Ω(A=)2βT δc β 2 +(δc +1)2 −(Ω−∆ω )22(β +(δc +1)2 −(Ω−∆ω )2 )2 +4(δc +1)2 (Ω−∆ω )2+ G cos(κΩ + φ) + Ω sin(κΩ + φ)αr cos(κΩ + φ) − αi sin(κΩ + φ)что позволяет получить уравнение F (∆ω , Ω) относительно частоты Ω.
Данное уравнение плохо поддается точному аналитическому анализу ввиду того, что Ω входит в него в пятойстепени, а ∆ω — в четверной.Характерный вид решений уравнения можно увидеть на графиках (5.4), (5.3).89̀100̀ =- 0.16̀50̀ =- 0.05̀̀ =- 0.01̀- 100- 5050100̀̀ =0 0̀̀ =0 ̀- 50- 100Рис. 5.3: Зависимость генерируемой Ω частоты от отстройки с затягиванием ∆ω от φ приκ = δ0 /(3 109 ), G0 = 4 1010 c−1 , δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δ˜c = δ0 , g = 10−2 м/В, h = 10−8 м/В,β̃ = 106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c, ωl0 = 3.14 1015 рад/c̀100̀ =0.18̀50̀ =0.5̀̀ =̀- 100̀̀- 5050100̀ =1.4̀̀ =1 ̀- 50- 100Рис. 5.4: Зависимость генерируемой Ω частоты от отстройки без затягивания ∆ω от φ приκ = δ0 /(3 109 ), G0 = 4 1010 c−1 , δ˜l = 3.9 1010 рад/c, δ˜c = δ0 , g = 10−2 м/В, h = 10−8 м/В,β̃ = 106 рад/c, T̃ = 1012 рад/c, ωl0 = 3.14 1015 рад/c905.2.6СтабильностьСтабильностью будем называть отношение изменения генерируемой стабилизированным лазером частоты к изменению разницы собственных частот резонатора лазера и резонатора сМШГ, то есть производную Ω̃ по ∆ω при ∆ω = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
