Математический анализ модели транспортных потоков на автостраде и управления ее состоянием (1103701)
Текст из файла
Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиНа правах рукописиДорогуш Елена ГеннадьевнаМатематический анализмодели транспортных потоков на автострадеи управления ее состоянием01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системыи оптимальное управлениеАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква2014Работа выполнена на кафедре системного анализа факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В.
Ломоносова.Научный руководитель —Куржанский Александр Борисовичдоктор физико-математических наук, академик РАН,заведующий кафедрой системного анализафакультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.Официальные оппоненты —Овсянников Дмитрий Александровичдоктор физико-математических наук, профессор,заведующий кафедрой теории систем управленияэлектрофизической аппаратурой факультетаприкладной математики — процессов управленияСанкт-Петербургского государственного университета,Гасников Александр Владимировичкандидат физико-математических наук, доцент,заместитель декана по младшим курсамфакультета управления и прикладной математикиМосковского физико-технического института.Ведущая организация —Институт математики и механики им.
Н. Н. КрасовскогоУральского отделения Российской академии наук.Защита состоится2014 года в 15:30 на заседании диссертацион-ного совета Д 501.001.43 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М. В.
Ломоносова,2-й учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова по адресу: 119192, Москва, Ломоносовский проспект, д. 27.Автореферат разослан2014 г.Ученый секретарь диссертационного советадоктор физико-математических наук, профессорЕ. В. ЗахаровОбщая характеристика работыАктуальность темы.
Данная работа посвящена исследованию математических моделей транспортных потоков на автостраде и задаче управлениясостоянием автострады с платными полосами.Можно выделить несколько подходов к математическому моделированию транспортных потоков. В микроскопических моделях задается закондвижения каждого автомобиля, в зависимости от его текущего положения,скорости движения, характеристик движения соседних автомобилей и других факторов. Микроскопические модели, в свою очередь, можно разделитьна непрерывные по пространству и по времени модели (например, [9; 10; 21;27]), и на дискретные по пространству и по времени модели, так называемыеклеточные автоматы (например, [19]).
В макроскопических моделях транспортный поток рассматривается как поток жидкости с особыми свойствами.Уравнения макроскопической модели устанавливают зависимость между потоком, плотностью, скоростью движения, возможно, ускорением и так далее.Макроскопические модели также могут быть непрерывными или дискретными. В непрерывных моделях изменение состояния участка дороги без ответвлений и перекрестков описывается, как правило, дифференциальнымиуравнениями в частных производных. Так, в статье [34] исследуется модельтранспортного потока, при некоторых значениях параметров имеющая видсистемы уравнений в частных производных второго порядка.
В книге [24] дается обзор существующих макроскопических моделей транспортных потоковна дороге без перекрестков и строится макроскопическая модель транспортных потоков в сети. Как показано в статьях [9; 10; 21] и в книге [29], некоторыемакроскопические модели являются, в некотором смысле, следствиями микроскопических моделей.
Также можно изучать транспортные потоки с точкизрения теории экономического равновесия. При этом решается задача поискаравновесного распределения потоков в сети исходя из равенства времени в3пути на используемых маршрутах (например, [4; 20; 23]). В книге [29] даетсяобзор детерминированных и стохастических моделей из каждой категории.Настоящая работа посвящена изучению дискретной макроскопическоймодели потоков в транспортной сети.
Эта модель довольно легко калибруетсяпо измерениям, как это описано в работах [3; 33]. Кроме того, дискретнаямодель удобна для компьютерных симуляций.Изучаемая в работе дискретная модель транспортных потоков основанана непрерывной гидродинамической модели [17; 18; 25]. В гидродинамическоймодели изменение состояния участка дороги без ответвлений и перекрестковподчиняется закону сохранения числа автомобилей ∂ρ/∂t + ∂f /∂x = 0. Здесьρ = ρ(t, x) — плотность потока в точке x в момент t, то есть число автомобилей на единицу длины, f = f (t, x) — поток в точке x в момент t, то есть числоавтомобилей, проезжающих через заданное сечение дороги x в единицу времени. Также предполагается, что существует функциональная зависимостьмежду потоком f и плотностью ρ: f = f (ρ).
График функции f (ρ) называется фундаментальной диаграммой. По-видимому, впервые о существованиифундаментальной диаграммы заявлено в статье [11]. В гидродинамике функция f (ρ) выпуклая, в моделировании транспортных потоков функция f (ρ)обычно считается вогнутой. Таким образом, изменение состояния автомагистрали описывается квазилинейным уравнением в частных производных относительно ρ(t, x)∂ρ ∂f (ρ)+= 0.∂t∂x(1)В отличие от линейных уравнений в частных производных первого порядка,уравнение (1) может иметь разрывные решения даже при гладких начальныхданных.
Возможна и такая ситуация, что классическое решение задачи Коши для этого уравнения существует лишь до определенного момента времени.Поэтому рассматривается слабое решение уравнения (1) (см., к примеру, [16;24]). Проблема в том, что слабое решение не единственно, и для нахожде4ния единственного физически осмысленного решения нужны дополнительные условия, а именно энтропийные условия [15; 16; 30; 35].Для расчетов гидродинамической модели можно применить численнуюсхему, предложенную в статье [31]. Для устойчивости этой численной схемыи сходимости разностных решений к слабому решению исходного уравнениядолжно выполняться условие Куранта — Фридрихса — Леви [32].В статье [6] была предложена дискретная динамическая модель автомагистрали CTM (the cell transmission model, клеточная передаточная модель).Модель CTM совпадает с представленным методом численного решения задачи Коши для уравнения (1) с фундаментальной диаграммой в форме трапеции f (ρ) = min{vρ, f max , w(ρmax −ρ)}.
В статье [7] дискретная модель быларасширена на слияния и разветвления дорог.Другой важный компонент любой модели транспортных потоков в сети — модель узла сети, то есть правило вычисления потоков в узле по состоянию прилегающих ребер. Различные модели узла предлагались в работах [1;7; 13; 22; 24].Необходимость платных дорог в условиях перегрузки транспортной сети, как отмечено в статье [2], подчеркивается экономистами уже довольнодавно. Дело в том, что в условиях перегрузки каждый дополнительный участник дорожного движения увеличивает задержки в пути для других участников дорожного движения. Такая ситуация обуславливает неоптимальное поведение всех участников дорожного движения в целом. Оптимальное в смысле суммарных затрат всех участников поведение стимулируется, как указанов обзоре [8], так называемым налогом А.
С. Пигу: каждый участник дорожного движения платит за свой проезд по каждому ребру транспортной сети сумму, эквивалентную увеличению суммарных задержек всех остальныхучастников дорожного движения в результате его поездки. Такой подход неучитывает, однако, некоторые моменты. Во-первых, цена времени для разных водителей может различаться, и при этом не ясно, как определять плату5за проезд по конкретному ребру транспортной сети. Во-вторых, состояниетранспортной сети постоянно меняется, а вместе с ним должны меняться истоимости проезда по ребрам.В зависимости от выбранной модели транспортной сети модели и алгоритмы вычисления платы за проезд могут быть разными.
Так, в работе [12]разрабатывается теория платных дорог в рамках модели экономического равновесия. Стоимость времени для всех агентов считается одинаковой, платаза проезд по каждому ребру устанавливается такая, чтобы любое равновесное по Нэшу — Вардропу распределение в системе с платными ребрами былов то же время оптимальным (в смысле системного оптимума, то есть минимизации суммарного времени в пути) в системе без платы за проезд поребрам. В статье [26] используется динамическая модель транспортной сети,и предлагается устанавливать стоимость проезда по платным ребрам сети ивыделенным полосам автомагистрали динамически, в зависимости от текущих и желаемых условий (точнее, плотностей). В статье [28] рассматривается динамическая модель автомагистрали, близкая к модели, исследуемойв данной работе, и предлагается следующий способ управления состояниемавтострады.
При слишком большом входном потоке ограничиваются потокисо въездов. При этом, конечно, образуются очереди перед въездами. В то жевремя, есть возможность въехать на автомагистраль, минуя очередь передвъездом, но за плату, которая зависит от въезда, и от того, через какой съездводитель покинет автомагистраль.В работе [8] дан обзор существующих методов и технологий платныхдорог и платных полос.Цель работы.
Целью данной работы является изучение свойств математической модели автострады, в том числе кольцевой автострады, и разработкаалгоритма управления состоянием незамкнутой автострады с выделеннымиплатными полосами путем изменения стоимости въезда в платные полосы.6Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Исследование равновесных состояний в математической модели автомагистрали обобщает результаты работ [5; 14] на случай произвольных коэффициентов приоритета в модели незамкнутой автострады и на модель кольцевой автострады.Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит в основном теоретический характер. Исследование множеств положений равновесия — первый шаг к пониманию законов развития динамической системы, описывающей изменение состояния автострады. Результаты, касающиеся управлениясостоянием автострады с помощью платы за въезд на выделенные полосы,могут быть применены на практике, если будут реализованы бесконтактныевысокоскоростные системы оплаты въезда в платные полосы.Методы исследования. Для выяснения структуры множества равновесий используются факты и приемы из работ [5; 14].
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
