Математический анализ модели транспортных потоков на автостраде и управления ее состоянием (1103701), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В модели кольцевой автострады последняя, K-я ячейка,соединена с первой.В § 1.3 предлагаются определения и способы вычисления пропускнойспособности и уровня загруженности автострады.В п. 1.3.1 вводится понятие контролируемого уровня концентраций, используемое в дальнейшем.В п. 1.3.2 речь идет о пропускной способности автострады.

Задача опропускной способности возникает в результате решения задачи о минимизации функционала общего времени в путиT (τ, ϑ) =ϑ XKXqi (t) +t=τ i=1ϑ K+1XXni (t),t=τ i=0в модели незамкнутой автострады, иT (τ, ϑ) =ϑ XKX(qi (t) + ni (t)),t=τ i=1в модели кольцевой автострады, за счет ограничения потоков со въездов rи f0 .

Пусть входные потоки d и f−1 постоянны. Обозначим r̄i = min{di , Ri },f¯0 = min{f−1 , F0 }. Задачи о пропускной способности имеют следующий вид:12в модели незамкнутой автострады0 ≤ fi ≤ Fid ,f 0 ≤ fi /βi − fi−1 ≤ r̄i ,0 ≤ f0 ≤ f¯0 ,KXβisf + fK+1 → max;f ii=1 βiв модели кольцевой автострады0 ≤ fi ≤ Fid ,0 ≤ fi /βif − fi−1 ≤ r̄i ,KXβisf → max .f iβi=1 ii = 1, . . . , K + 1,i = 1, . . . , K + 1,(2)i = 1, . . . , K,i = 1, . . . , K,(3)Пропускной способностью автострады называется решение задач (2) или (3)при больших входных потоках, а именно di ≥ Ri , f−1 ≥ F0 .В модели незамкнутой автострады задача (2) и, в частности, задача опропускной способности автострады решается явно.

Сначала определяютсямаксимальные потоки f¯i . Максимальные входные потоки r̄ и f¯0 уже определены; f¯i = min{βif (f¯i−1 + r̄i ), Fid }, i = 1, . . . , K + 1. После этого определяются∗∗максимальные равновесные потоки f ∗ : fK+1= f¯K+1 , fi−1= min{fi∗ /βif , f¯i−1 }.Пропускная способность незамкнутой автострады естьKXβsi ∗f (F0 , R)f iβi=1 i∗+ fK+1(F0 , R).В модели кольцевой автострады вычисляются величины()K−1Y111dddFi∗ = min Fid , Fi+1,F,...,F.i+2i+K−1ffffβi+1βi+1 βi+2k=1 βi+kЗдесь и далее, если речь идет о модели кольцевой автострады, индексы i, j,такие, что i ≡ j (mod K), соответствуют одной и той же ячейке.

Вводятсяфункции f¯i (·): f¯0 (fK ) = fK , f¯i (fK ) = min{βif (f¯i−1 (fK ) + r̄i ), Fid }. i = 1, . . . , K.13Утверждение. Если f¯K (FK∗ ) ≥ FK∗ , то вектор f ∗ (FK∗ ) является решениемзадачи (3).Утверждение. Если f¯K (FK∗ ) < FK∗ , то на отрезке [0, FK∗ ] существует единственный корень fK∗ уравнения f¯K (fK ) = fK , и максимум в задаче (3) достигается на векторе f ∗ (fK∗ ).В п. 1.3.3 предлагается определение уровня загруженности автострады. Для этого выбирается некоторый контролируемый уровень концентраций n∗ , например, соответствующий решению задачи о пропускной способности.

Уровнем загруженности автострады предлагается считать наименьшеечисло шагов по времени, необходимое для приведения вектора плотностей nсистемы во множество n ≤ n∗ за счет ограничения потоков со въездов r(rid (t) = min{vir qi (t), Ri , ui (t)}), а также f0 , в модели незамкнутой автострады (f0d (t) = min{v0 n0 (t), F0 , u0 (t)}). Таким образом,c(t) = c(n(t)) = min min{∆t ≥ 0 : n(t + ∆t) ≤ n∗ }.u(·)Показано, что существует максимальный уровень загруженности незамкнутой автострады, в то время как уровень загруженности кольцевой автострадыможет быть неограниченно большим.В главе 2 описывается множество равновесий в модели незамкнутойи кольцевой автострады при постоянных входных потоках d, а также f−1 , вмодели незамкнутой автострады, и исследуется устойчивость всех положенийравновесия.Под равновесием понимается такое состояние системы, в котором не меняются число автомобилей в каждой основной ячейке ni и все потоки совъездов и между ячейками f , r.

При этом, в равновесии число автомобилейперед въездом qi либо не изменяется, если ri = di , либо растет с постояннойскоростью di − ri , если di > ri .В § 2.1 показано, что потоки между основными ячейками f зависятот потоков со въездов линейно, f = f (r) в модели кольцевой автострады,14f = f (f0 , r) в модели незамкнутой автострады, и получены явные формулыдля этих зависимостей. Вводятся понятие допустимого, строго допустимогои недопустимого входного потока. Входной поток называется допустимым,если (1) в модели кольцевой автострады: для всех i = 1, . . .

, K, справедливо неравенство fi (r̄) ≤ Fid , (2) в модели незамкнутой автострады: для всехi = 1, . . . , K +1, справедливо неравенство fi (f¯0 , r̄) ≤ Fid . Здесь, как и прежде,f¯0 = min{f−1 , F0 }, r̄i = min{di , Ri }. Входной поток является строго допустимым, если для всех i указанные неравенства выполнены строго.Понятно, что для недопустимого входного потока в любом положенииравновесия по крайней мере на одном въезде будет расти очередь.В § 2.3–§ 2.4 исследуется структура множеств всех равновесных потоков и концентраций.Теорема. В модели незамкнутой автострады равновесные потоки f и rединственны и определяются по следующему правилу.Вычисляются максимальные потоки между ячейками f¯i , i = 1, . .

. , K,а также максимальный исходящий поток из последней ячейки f¯K+1 :f¯i = min{βif (f¯i−1 + r̄i ), Fid },i = 1, . . . , K + 1.Равновесный исходящий поток из (K + 1)-й ячейки равен максимальному своему значению: fK+1 = f¯K+1 . Пусть уже определено равновесноезначение потока fi для некоторого i ∈ {1, . . .

, K + 1}. Тогда потоки fi−1 , riопределяются по следующему правилу.1. Если f¯i−1 ≤ pfi−1 fi /βif , то fi−1 = f¯i−1 , ri = fi /βif − f¯i−1 .2. Если r̄i ≤ pri fi /βif , то ri = r̄i , fi−1 = fi /βif − r̄i .3. Если же f¯i−1 > pfi−1 fi /βif и r̄i > pri fi /βif , то fi−1 = pfi−1 fi /βif ,ri = pri fi /βif .15При этом, если входной поток является допустимым, то r = r̄, f0 = f¯0 ,f = f (f¯0 , r̄).Обозначим nui = nui (f, r) = fi /(βif vi ), nci = nci (f, r) = Ni − (ri + fi−1 )/wi ,введем множества индексов U и C: U = {i : fi /pfi < ri+1 /pfi+1 , fi < Fid },C = {i : ri < r̄i , fi−1 + ri < Fis } в модели кольцевой автострады, а в моделинезамкнутой автострадыC = {i : ri < r̄i , fi−1 + ri < Fis } ∪ {1, если f0 < f¯0 , f0 + r1 < F1s }.Для индексов i ∈ U в положении равновесия выполнено равенство ni = nui , адля i ∈ C выполнено равенство ni = nci .Рассматривается множество «узких» участковI = {i ≤ K : fi = Fid или fi + ri+1 = Fi+1 }.Пусть I = {i1 , .

. . , iM }, где M — число элементов множества I, индексы i1 , . . . , iM упорядочены по возрастанию. Рассмотрим множества участковмежду соседними узкими участками Sm = {i : im−1 < i ≤ im }, где в моделинезамкнутой автострады i0 = 0, SM +1 = {iM + 1, . . . , K + 1}, а в моделикольцевой автострады S1 = {iM + 1, . . . , K, 1, .

. . , i1 }. Вычислим индексыim−1 ,im + 1,U ∩ Sm = ∅,C ∩ Sm = ∅,ucim =im =max(U ∩ Sm ), U ∩ Sm 6= ∅,min(C ∩ Sm ), C ∩ Sm 6= ∅.Для равновесных векторов n компоненты с индексами из разных множеств Sm определяются независимо.Множество равновесных векторов n, соответствующих заданным потокам f , r будем обозначать как E = E(f, r).Теорема. В модели незамкнутой автострады множество E(f, r) предстаNM +1вимо в виде декартова произведения E =m=1 Em , где множество EM +1состоит из единственного вектора, EM +1 = {(nuiM , . .

. , nuK )}, а остальные16множества Em , m = 1, . . . , M , состоят из единственного вектора,Em = (nuim−1 +1 , . . . , nuium , ncicm , . . . , ncim ),если icm − ium = 1, или, если icm − ium > 1, представляются в виде объединенияicm −1Em =[hEm,h=ium +1гдеhEm= {(nim−1 +1 , . . . , nim ) : ni = nui , i < h,nuh ≤ nh ≤ nch ,ni = nci , i > h}.В модели кольцевой автострады равновесные потоки не единственны.Множество равновесных потоков можно условно разделить на две части.В первой части выполнено хотя бы одно из условий (1) r = r̄, или (2) fi = Fidдля некоторого i. Для первой части множество E равновесных n определяетсяследующим образом.Теорема.

Множество E в модели кольцевой автострады имеет следующийвид.Опишем сначала случай I = ∅. Здесь E = {nu }, если U 6= ∅, E = {nc },если C 6= ∅, и E = nu , nc , если U = C = ∅.NMЕсли же I =6 ∅, то E =m=1 Em , множества Em , как и в моделинезамкнутой автострады, состоят из единственного вектора,E = (nuim−1 +1 , . . . , nuium , ncicm , . .

. , ncim ),или же представимы в видеicm −1Em =[hEm,h=ium +1где, как и в модели незамкнутой автострады,hEm= {(nuim−1 +1 , . . . , nuh−1 , nh , nch+1 , . . . , ncim ), nuh ≤ nh ≤ nch }.17Во второй части множества равновесий модели кольцевой автострадыдля всех равновесных потоков n = nc (f, r). Второй части, в частности, принадлежит равновесие f = 0, r = 0, n = N . Принадлежат ли второй частимножества равновесий еще какие-либо точки, зависит от величиныγ=KY1fi=1 βi×Ypfi−1 .i : r̄i >0Так, если γ > 1, то, кроме нулевых потоков и максимальной плотности, других равновесий во второй части нет.

Если γ < 1, то вторая часть можетсодержать еще одну точку. Если же γ = 1, то вторая часть множества равновесий содержит целый отрезок или полуинтервал равновесных потоков исоответствующих им концентраций nc . Точка f = 0, r = 0 является концомэтого отрезка или полуинтервала.В § 2.5 исследуется устойчивость всех положений равновесия. Поскольку длина очереди не входит в определение равновесия и может меняться,дополнительно требуется, чтобы в начальный момент времени выполнялосьравенство rid (0) = r̄i .Теорема.

В модели незамкнутой автострады все равновесия устойчивы.Для любого положения равновесия ne вектор n(t + 1) зависит от n(t)линейно в областях {n ≥ ne } ∩ {kn − ne k < ε}, {n ≤ ne } ∩ {kn − ne k < ε} длянекоторого малого ε > 0. Точнее, n(t + 1) − ne = A+ (n(t) − ne ), если n ≥ ne ,kn − ne k < ε, и n(t + 1) − ne = A− (n(t) − ne ), если n ≤ ne , kn − ne k < ε, гдеA− , A+ — матрицы с неотрицательными компонентами.Все элементы матриц A± для произвольного равновесия выписаны явно.Для матрицы A ∈ RK×K определим функционалKYKY1.γ(A) =ai,i+1 ×wii=1i=1Напомним, что wi — скорость роста затора в ячейке i.18Теорема.

Характеристики

Список файлов диссертации