Математический анализ модели транспортных потоков на автостраде и управления ее состоянием (1103701), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В модели кольцевой автострады положение равновесия ne является неустойчивым, если и только если одно из чисел γ(A− ), γ(A+ ) строго больше единицы. Положение равновесия ne является асимптотическиустойчивым, если γ(A± ) < 1 и все элементы главных диагоналей матриц A± строго меньше единицы.В частности, для равновесия f = 0, r = 0, n = N неравенство γ ≤ 1является критерием устойчивости, а неравенство γ < 1 — критерием асимптотической устойчивости.В главе 3 предлагается математическая модель автострады с выделенными полосами и алгоритм управления состоянием автострады посредствомизменения стоимости въезда в платные полосы. При разработке алгоритмауправления существенно используются результаты первых двух глав, касающиеся пропускной способности автострады и структуры множества равновесий.Математическая модель автострады с выделенными полосами, представленная в § 3.1, получается из модели незамкнутой автострады путемразделения каждой основной ячейки автострады на две: первая ячейка содержит все платные полосы исходной ячейки, вторая — бесплатные полосы.
Вкаждом узле, таким образом, может быть до трех входящих соединений (двеосновные ячейки выше по течению и въезд) и до трех исходящих соединений(две основные ячейки ниже по течению и съезд). Величины, относящиеся кплатным полосам, обозначаются верхним индексом 1, а величины, относящиеся к бесплатным полосам — верхним индексом 2.Стоимость въезда в платные полосы влияет на коэффициенты расщепления потоков со въездов. Изменяя стоимость въезда в платные полосы,алгоритм стремится поддерживать платные полосы в состоянии свободного движения, используя при этом пропускную способность платных полосполностью.
Условие максимального использования пропускной способности19платных полос важно потому, что без него могут быстрее расти очереди навъездах, и даже водители, готовые заплатить за въезд в платные полосы,вынуждены ждать своей очереди перед въездом на автостраду.Предполагается, что на каждом шаге известно текущее состояние системы, но нет никакой информации о входных потоках на следующих шагах.В п.
3.2.2 разбираются два условия, обеспечивающих максимальное использования пропускной способности платных полос: условие миимизациискорости роста очереди перед въездом ri (t) → max и условие максимизацииf12входящего потока для основных ячеек автострады βi−1(fi−1(t) + fi−1(t)) ++ ri (t) → min.В п. 3.2.3 строится координиированное управление коэффициентамирасщепления потоков со въездов. Для этого вычисляется максимальный контролируемый уровень концентраций (определен в главе 1) и соответствующие1,∗1,∗f1ему потоки f 1,∗ : fK+1= FK+1, fi1,∗ = min{Fi1,d , fi+1/βi+1}, i = K, . . . , 1. Далееопределяются максимальные равновесные потоки для платных полос f 1,e ,как если бы пропускные способности существующих въездов были достаточно большими.
Поясним это. Пусть i1 < i2 < · · · < iM — индексы участков,перед которыми есть въезды. Обозначим iM +1 = K + 2. Максимальные равновесные потоки для выделенных полос f 1,e определяются следующим об1,eразом: fi1,e= fi1,∗, fi1,e = βif fi−1, i = im + 1, . . . , im+1 − 1. Предлагаемыйmmалгоритм управления стремится поддерживать суммарное число автомобиPim+1 −1 1,eлей между соседними въездами на уровне, не превышающем i=ini , гдеmn1,e= fi1,e /(βif vi ).
Кроме того, алгоритм стремится обеспечить, чтобы сумiмарный входящий поток для ячеек со въездом не превосходил максимальногоравновесного потока. Если где-то возникает затор на платных полосах, целевые уровни суммарного числа автомобилей между въездами для участковвверх по течению могут быть уменьшены.В § 3.3 приводится обоснование предложенного алгоритма. Доказываются следующие утверждения. Речь идет только о платных полосах, поэтому20верние индексы 1 опущены.Теорема. Пусть n(t) ≤ ne и для всех ячеек со въездами im , m = 1, .
. . , M ,выполнено неравенство rim (t) ≤ fiem /βifm − fidm −1 (t). Тогда n(t + 1) ≤ ne .Теорема. Пусть f e — равновесный поток, но не обязательно максимальный равновесный поток. Пусть на каждом шаге t выполнены неравенстваim+1 −1Xim+1 −1ni (t) ≤i=imXneii=imдля каждой пары соседних въездов (im , im+1 ), иfim −1 (t) + rim (t) ≤ fiem /βifm ,fism (t) ≥ fiem −1для каждой ячейки со въездом im .Тогда для любого ε > 0 найдется момент времени T = T (ε), начинаяс которого будут выполняться неравенства ni (T + ∆t) ≤ nei + ε для всех iи для всех ∆t = 0, 1, 2, . .
. , где nei = fie /(βif vi ).В условиях этой теоремы неравенствоim+1 −1im+1 −1XXni (t) ≤i=imneii=imможно заменить на условиеim+1 −1lim supt→+∞Xim+1 −1ni (t) ≤i=imXnei .i=imВ заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.Основные результаты работы1. Предложены понятия пропускной способности и уровня загруженностиавтострады для дискретной модели кольцевой и незамкнутой автострады. Получен способ вычисления пропускной способности кольцевой инезамкнутой автострады.212.
Описано множество положений равновесия в моделях незамкнутой икольцевой автострады. Доказано, что в модели незамкнутой автострады все равновесия являются устойчивыми. Получен критерий устойчивости равновесий в модели кольцевой автострады.3. Предложен алгоритм управления состоянием незамкнутой автострадыс помощью выделенных платных полос. Цель управления — поддерживать выделенные полосы в состоянии свободного движения, при условиимаксимального использования их пропускной способности.Автор благодарит своего научного руководителя академика АлександраБорисовича Куржанского за постановку задачи и постоянное внимание к работе, Александра Александровича Куржанского (PhD) за плодотворные обсуждения, доцента А.
В. Гасникова за ценные замечания и В. Д. Ширяева запомощь в вычитке диссертации и автореферата.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 12-0100261-а и 13-01-90419-Укр_ф_а) и программы «Государственная поддержкаведущих научных школ» (грант НШ-2239.2012.1).22Список литературы1.A generic class of first order node models for dynamic macroscopic simulation of trafficflows / C. M. Tampère [et al.] // Transportation Research Part B: Methodological.
—2011. — Vol. 45, no. 1. — Pp. 289–309.2.Arnott R., Small K. The Economics Of Traffic Congestion // American Scientist. —1994. — Vol. 82, no. 5. — Pp. 446–455.3.Automatic Calibration of the Fundamental Diagram and Empirical Observations on Capacity / G. Dervisoglu [et al.] // 8th Annual Transportation Research Board Meeting. —2009.4.Beckmann M., McGuire C. B., Winsten C. B. Studies in the economics of transportation.
— Yale University Press, 1956.5.Behavior of the cell transmission model and effectiveness of ramp metering / G. Gomes[et al.] // Transportation Research Part C: Emerging Technologies. — 2008. — Vol. 16,no. 4. — Pp. 485–513.6.Daganzo C.
F. The cell transmission model: a dynamic representation of highway trafficconsistent with the hydrodynamic theory // Transportation Research Part B: Methodological. — 1994. — Vol. 28, no. 4. — Pp. 269–287.7.Daganzo C. F. The cell transmission model, part II: Network traffic // Transportation Research Part B: Methodological. — 1995. — Vol. 29, no. 2.
— Pp. 79–93.8.de Palma A., Lindsey R. Traffic congestion pricing methodologies and technologies //Transportation Research Part C: Emerging Technologies. — 2011. — Vol. 19, no. 6. —Pp. 1377–1399.9.Gazis D. C., Herman R., Potts R. B. Car-Following Theory of Steady-State TrafficFlow // Operations Research. — 1959. — Vol. 7, issue 4. — Pp. 499–505.10.Gazis D. C., Herman R., Rothery R. W. Nonlinear Follow-the-Leader Models of TrafficFlow // Operations Research.
— 1961. — Vol. 9, issue 4. — Pp. 545–567.11.Greenshields B. D. A study of traffic capacity // Proceedings of the Fourteenth AnnualMeeting of the Highway Research Board. Vol. 14. — 1935. — Pp. 448–477. — (HighwayResearch Board Proceedings).2312.Hearn D. W., Ramana M. V. Solving congestion toll pricing models // Equilibrium andAdvanced Transportation Modeling / ed. by P.
Marcotte, S. Nguyen. — 1998. — Pp. 109–124.13.Jin W. L., Zhang H. M. On the distribution schemes for determining flows through amerge // Transportation Research Part B: Methodological. — 2003. — No. 6. — Pp. 521–540.14.Kurzhanskiy A. A. Modeling and Software Tools for Freeway Operational Planning:Ph.D. thesis / Kurzhanskiy Alex A. — EECS Department, University of California,Berkeley, 2007.15.Lax P. D. Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory ofShock Waves. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1973.16.LeVeque R. J. Numerical Methods for Conservation Laws. — Birkhäuser, 1992.17.Lighthill M. J., Whitham G. B. On Kinematic Waves.
I. Flood Movement in LongRivers // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. — 1955. — Vol. 229, no. 1178. — Pp. 281–316.18.Lighthill M. J., Whitham G. B. On Kinematic Waves. II. A Theory of Traffic Flow on LongCrowded Roads // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematicaland Physical Sciences.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
