Математический анализ модели транспортных потоков на автостраде и управления ее состоянием (1103701), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вопрос об устойчивости произвольного равновесия сводится к исследованию устойчивости двухлинейных динамических систем, в некоторых случаях применяется теоремаФробениуса — Перрона. При обосновании алгоритма управления состояниемавтострады с помощью платных полос неоднократно используется монотонность динамической системы, описывающей изменение состояния автострады.Апробация работы.
Результаты работы докладывались на научном семинаре «Прикладные задачи системного анализа» под руководством академикаА. Б. Куржанского на кафедре системного анализа ВМК МГУ, на конференции «Ломоносов-2011» (Москва, 2011), на семинаре «Современные тенденции в теории управления динамическими системами» (Киев, октябрь 2012),на конференции «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация» (Минск, октябрь 2013), на VII Московской международной кон7ференции по исследованию операций (ORM 2013) (Москва, октябрь 2013),на конференции «Тихоновские чтения» (Москва, октябрь 2013) и на семинаре«Математическое моделирование транспортных потоков» под руководствомА. В.
Гасникова и Ю. Е. Нестерова в Независимом Московском университете.Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, списоккоторых приведен в конце автореферата. Из них 2 работы [36; 37] опубликованы в журналах из перечня ВАК.Идея исследований принадлежит научному руководителю автора, академику А. Б. Куржанскому. Автором получены доказательства теорем и подготовлены к публикации результаты исследований.Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трехглав, заключения и списка литературы, включающего 49 наименований. Общий объем диссертации составляет 90 страниц.Содержание работыВо введении раскрывается актуальность работы, изложены цели работы и основные результаты.В первой главе диссертации изложена общая математическая модельпотоков в транспортной сети и исследуемые модели транспортных потоковна незамкнутой и кольцевой автостраде. Предлагается способ вычисленияпропускной способности и уровня загруженности незамкнутой и кольцевойавтострады.В § 1.1 излагается динамическая модель транспортных потоков в сети.
Транспортная сеть представлена ориентированным графом G = (V, E),где V — множество вершин или узлов графа, E — множество ребер графа(которые также будем называть соединениями), то есть упорядоченных пар8вершин e = (u, v), u, v ∈ V . Ребра графа соответствуют участкам дорог безпересечений с другими дорогами, без примыкания других дорог и без ответвлений. Вершины графа соответствуют перекресткам, местам слияния иразветвления дорог и разбивают длинные ребра на более короткие. Выделяются вершины без входящих ребер — источники, и вершины без исходящихребер — стоки. Ребра, инцидентные источникам, называются въездами, аребра, инцидентные стокам — съездами или выездами.Используемая математическая модель транспортной сети дискретна какпо времени, так и по пространству.Каждое ребро e характеризуется своей пропускной способностью Fe , тоесть максимальным числом автомобилей, въезжающих в это ребро или выезжающих из него, за один шаг по времени; максимальным числом автомобилей на нем Ne , скоростью свободного движения, то есть максимальной разрешенной скоростью ve и скоростью распространения затора we .
Пропускныеспособности ребер нормализованы относительно шага по времени, а скорости свободного движения и роста затора нормализованы относительно длиныребра и шага по времени.Состояние системы на шаге t есть число автомобилей на каждом ребре ne (t) (это число не обязательно целое), 0 ≤ ne (t) ≤ Ne .
Для входных ребер,то есть для въездов, величины Ne и we не определены, и на этих ребрах могутскапливаться очереди неограниченной длины, то есть, единственное ограничение на ne (t) для входных ребер — неотрицательность.Суммарный входящий поток на шаге t для любого ребра, кроме въездов,ограничен величиной fes (t) = min{Fe , we (Ne −ne (t))}. Суммарный исходящийпоток для любого ребра ограничен величиной fed (t) = min{Fe , ve ne (t)}, причем для съездов исходящий поток на шаге t в точности равен fed (t).Для внутренних вершин, то есть вершин, не являющихся источникамиили стоками, потоки fij (t) из каждого входящего ребра i в каждое исходящееребро j определяется правилом, называемым моделью узла.
Модель узла, ис9пользуемая в диссертации, изложена в п. 1.1.1. Ясно, что, зная лишь максимальные исходящие потоки fid (t) для входящих ребер i и максимальные входящие потоки fjs для исходящих ребер j, однозначно определить потоки fij (t)в нетривиальных случаях невозможно. Поэтому в используемой нами модели узла для каждой вершины определяются дополнительные параметры.
Вопервых, задана матрица коэффициентов расщепления Bv (t) = {βij (t)}j=1,...,ni=1,...,m ,где m — число входящих ребер вершины v, n — число исходящих ребер верPшины v. Все элементы матрицы Bv (t) неотрицательны, nj=1 βij (t) = 1 длявсех i, и потоки fij (t) должны быть пропорциональны коэффициентам расщепления βij (t): fij1 (t)/βij1 (t) = fij2 (t)/βij2 (t) для всех i. Кроме того, для всехвходящих ребер заданы неотрицательные коэффициенты приоритета pi , которые влияют на величины потоков fij (t), только если максимальные входящие потоки для исходящих ребер невелики, а именно, если хотя бы дляPmsdодного j выполнено неравенствоi=1 βij (t)fi (t) > fj (t).
Используемая вдиссертации модель узла взята из работы [1] и расширена на случай не только строго положительных, но и, с некоторыми оговорками, неотрицательныхкоэффициентов приоритета.В § 1.2 представлены модели незамкнутой и кольцевой автострады. Автомагистраль состоит из K основных последовательно соединенных ячеек,в каждом узле может быть въезд и съезд. Через ni (t) мы обозначаем числоавтомобилей в i-й основной ячейке на шаге t, qi (t) обозначает число автомобилей перед въездом в i-ю основную ячейку на шаге t. Ni — максимальное числоавтомобилей в i-й основной ячейке.
Съезды в начальный момент считаютсясвободными. Показано, что при таком предположении максимальный входящий поток для каждого съезда всегда равен пропускной способности съезда,поэтому состояние съездов можно не рассматривать. Fi есть пропускная способность i-й основной ячейки, Ri — пропускная способность въезда перед i-йосновной ячейкой, Si — пропускная способность съезда в конце i-й основнойячейки. Для основных ячеек и въездов заданы скорости свободного движе10ния vi и vir , только для основных ячеек заданы скорости роста затора wi . Всевеличины нормированы относительно длин ячеек и шага по времени. Дляосновных ячеек заданы коэффициенты расщепления потоков в следующуюосновную ячейку βif и на съезд βis , βif + βis = 1. Если съезда в конце i-й основной ячейки нет, то βis = 0.
Предполагается, что для всех основных ячеек iвыполнено неравенствоF i Fi+≤ Ni .vi wiДля въездов и основных ячеек автострады на каждом шаге t определяются максимальные исходящие потоки rid (t) = min{vir qi (t), Ri }, fid (t) == min{βif vi ni (t), Fid }, гдеFid=Fi ,βis = 0,β f min{Fi , Si /β s }, β s > 0.iiiДля основных ячеек также определяются максимальные входящие потокиfis (t) = min{Fi , wi (Ni − ni (t))}. Кроме того, в каждом узле определены коэффициенты приоритета pri для потока со въезда и pfi−1 для потока из предыдущей основной ячейки.
Без ограничения общности можно считать, что коэффициенты приоритета нормированы: pri + pfi−1 = 1. Потоки с i-го въезда в i-юосновную ячейку ri (t) и из (i − 1)-й основной ячейки в i-ю fi−1 (t) определяются по следующему правилу, являющемуся частным случаем общей моделиузла.dd1. Если fi−1(t) + rid (t) ≤ fis (t), то fi−1 (t) = fi−1(t), ri (t) = rid (t).2. В противном случае учитываются коэффициенты приоритета.ddd(a) Если fi−1(t) ≤ pfi−1 fis (t), то fi−1 (t) = fi−1(t), ri (t) = fis (t) − fi−1(t).(b) Если rid (t) ≤ pri fis (t), то ri (t) = rid (t), fi−1 (t) = fis (t) − rid (t).(c) Иначе fi−1 (t) = pfi−1 fis (t), ri (t) = pri fis (t).11Число автомобилей в основных ячейках и на въездах изменяется по следующим законам:ni (t + 1) = ni (t) + fi−1 (t) + ri (t) − fi (t)/βif ,qi (t + 1) = qi (t) + di (t) − ri (t).Входной поток di (t) задан.В модели незамкнутой автострады появляются еще две ячейки: нулевая,являющаяся въездом, для нее задан входной поток f−1 (t), и (K + 1)-я, являющаяся съездом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
