Диссертация (1103678), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Для решения вариационного уравнения применен метод конечныхэлементов (МКЭ). В качестве конечных элементов предлагалась осесимметричнаятонкостенная оболочка. По результатам расчета формоизменения эритроцита построена зависимость объема от давления. На этапе осмотического набуханияэритроцита до состояния сферы увеличение объема сопровождается изменениемформы практически без увеличения площади поверхности, поэтому параметр αбыл приравнен 0. При этом вычисление формоизменения и объема эритроцитавыполнены с учетом упругости при сдвиге и изгибе.

Однако в случае большихдеформаций и перемещений вследствие малости изгибной жесткости предложенный метод является численно неустойчивым. Это показано в работах, в которыхмеханическая модель эритроцита была использована при моделировании эритроцита в виде тонкой оболочки, движущейся в потоке крови, с учетом упругостиоболочки при сдвиге и изгибе.Эритроциты составляют более 99 % твердых частиц в крови и заполняют40−45 % крови по объему (гематокрит). При этом плазма крови является несжимаемой ньютоновской жидкостью с вязкостью около 1,2 сП при 37 ° C [39], тогда24как у раствора гемоглобина, заполняющего оболочку эритроцита вязкость выше− 6−7 сП [40].

Поверхностная вязкость мембраны эритроцита около 10-3 дин⋅с cм-1[41,42].Основные исследования направлены на выяснение зависимости кажущейсявязкости крови, поступающей в сосуды, от их диаметра, скорости сдвига потокакрови, гематокрита, деформируемости клеток, агрегации клеток и взаимодействия клеток со стенкой. При патологических состояниях системы кровообращенияпроисходят нарушения реологических свойств крови. В работе [43] экспериментально изучены реологические свойства крови при сосудистых заболеваниях головного мозга.Течение крови имеет ряд особенностей. В крупных кровеносных сосудах(более 300 микрон) кровь ведет себя как ньютоновская вязкая несжимаемая жидкость. Для сосудов диаметром менее 300 микрон необходимо учитывать реологические свойства крови. В сдвиговом потоке, податливые эритроциты под действием напряжения сдвига деформируются - изменяют форму и с увеличением скорости сдвига выстраиваются по направлению потока [44−47].

При низких скоростях сдвига, деформация клеток уменьшается, и за счет макромолекул, таких, какфибриноген [45] может происходить агрегация клеток.В сосудах, диаметр которых приближается к диаметру недеформированныхэритроцитов, клетки занимают большую часть трубки, и средняя скорость клеткиприближается к средней скорости жидкости. Кровоток в сосудах диаметромбольше, чем примерно 22 мкм позволяет рассматривать кровь как однороднуюжидкость с кажущейся вязкостью для пуазейлевского течения, которая определяется скоростью сдвига потока и гематокритом. При скорости сдвига потока болеечем приблизительно 1000 с-1, кажущаяся вязкость не зависит от скорости сдвига,так что для потока крови в крупных сосудах (диаметр > 0,5 мм) при постоянномгематокрите, кровь может рассматриваться как единая жидкость постоянной вязкости.

Механическая модель оболочки эритроцита используется при моделировании потока крови в мелких сосудах и капиллярах, диаметр которых менее 22 мкм.Диаметр недеформированных эритроцитов примерно равен или больше диамет-25ра капилляра, равного 4−10 мкм. Клетки обычно перемещаются в одном ряду имогут перекрывать почти весь просвет, оставляя лишь тонкий слой плазмы междуклеткой и стенкой сосуда. Степень деформации эритроцита из ненапряженнойформы - двояковогнутого дискоцита зависит от приложенного градиента давления.

Мембрана эритроцитов - вязкоупругий материал. При стационарных условиях, упругие свойства мембраны преобладают над ее вязкими свойствами. В этомслучае эритроциты имеют постоянную площадь поверхности и объем, свойствапотока и форма клеток являются квазистационарными. Плотности жидкостивнутри эритроцитов и плазмы почти равны, поэтому капиллярный поток рассматривается как суспензия частиц нейтральной плавучести.Так как число Рейнольдса в капиллярах составляет около 0,01 или меньше,в моделях капиллярных потоков нужно рассматривать только потоки с низкимичислами Рейнольдса.

В зависимости от толщины зазора между клетками и стенкой сосуда, для описания потока плазмы применяются или полные уравненияСтокса, или теория смазки.Для изучения проблем биологической жидкости хорошо подходят конечноэлементные методы, потому что биологические явления часто описываются нелинейными уравнениями, имеют подвижные границы, и границы с нерегулярнойгеометрией.

В зависимости от диаметра сосуда применение конечно-элементныхметодов к проблемам кровотока требуетразличных формулировок. В болеекрупных сосудах кровь можно рассматривать как несжимаемую ньютоновскуюжидкость. Однако из-за высоких значений числа Рейнольдса, должны быть решены полные уравнения Стокса.

В капиллярах ускорение движения жидкости является незначительным, в этом случае должна быть принята во внимание дискретная природа крови, содержащей клетки.Число Рейнольдса в капиллярном кровотоке составляет менее 0.01, поэтомув уравнениях движения, описывающих поток плазмы и движение клеток, можнопренебречь инерционными членами. Как известно плазма - несжимаемая, ньютоновская жидкость и, таким образом уравнения движения могут быть сведены куравнению Стокса: ∇р + µ∇ 2v = 0 и уравнению неразрывности: ∇⋅v = 0, где v −26вектор скорости, р – давление. Если предположить, что клетки обладают нейтральной плавучестью и что не существует ни гравитационных, ни инерционныхсил, то требуется, чтобы в уравнениях движения клетки результирующая сила ирезультирующий момент для каждой клетки крови были нулевыми.

Кроме того,деформация каждой клетки должна быть совместима с напряжениями и скоростью плазмы вокруг нее.Натяжения, возникающие в оболочке эритроцита внутри потока крови, находятся в равновесии с усилиями от воздействия жидкости на оболочку. Уравнения равновесия тонкой упругой оболочки и уравнения Стокса для плазмы выполняются одновременно. Уравнения движения и соответствующие граничныеусловия определяют поле скоростей и давлений, оказывающих воздействие на упругую оболочку. Большие деформации, которые претерпевает упругая оболочка,ограничены условиями постоянства площади поверхности и объема внутри замкнутой оболочки.В первом приближении кровоток в капиллярах является установившимсяосесимметричным течением. Для расчета таких задач хорошее приближение даеттеория смазки.

В теории смазки, при малых числах Рейнольдса уравнения движения жидкости упрощаются, поскольку силы инерции в потоке жидкости пренебрежимо малы, и толщина заполненного жидкостью зазора между поверхностьюклетки и стенкой сосуда мала, по сравнению с длиной зазора. В этом случаедифференциальные уравнения движения жидкости в смазочном слое упрощаются до набора обыкновенных дифференциальных уравнений. Рядом исследователей, начиная с работы Бретертона [48], теория смазочного слоя была использована для анализа задачи кровотока в узких капиллярах. Бретертон применял теориюсмазочного слоя для изучения движения пузырьков в трубках, и Лайтхилл [49]использовал теорию смазки в расчете движения жидкости и предположил, чтоэритроциты - упругие частицы и в смазочном слое их деформации пропорциональны местному давлению жидкости (плазмы).В работе Барнарда и др.

[50] эритроцит представлен в виде тонкого гибкогокруглого листа, который в потоке деформируется в полую форму в виде "напер-27стка" с изотропными натяжениями, действующими в листе. На самом деле, клетки имеют конечную толщину и гораздо меньшую вогнутость на тыльной стороне,чем предполагает эта модель. Затем, был использован тот же анализ, но клеткабыла представлена в виде объекта с выпуклым, пулеобразным профилем с изотропными натяжениями, действующими в передней части мембраны [51]. Дальнейшее развитие модель получила в работах [52−57], где для описания деформирования мембраны использованы более реалистичные представления механикиэритроцитов для осесимметричного случая. Соотношения упругости вычислялипо формулам для главных натяжений - (1.2), изгибающих моментов – (1.4). Приэтом кратности удлинений равны λ1 = 1/λ2 = ds/ds0 = r0/r − в силу неизменностиплощади поверхности.

Соотношения упругости вместе с уравнениями совместности деформаций и равновесия нелинейных тонкостенных оболочек позволяют определить деформированное состояние эритроцита.Нелинейные уравнения равновесия для осесимметричной тонкостеннойоболочки в случае больших перемещений и деформаций составлены для актуального (текущего) состояния в соответствии с теорией, разработанной Кирхгофом иА.Лявом, уточненной и внедренной многочисленными авторами (С.П.Тимошенко,В.Флюгге,Е.Рейсснер,В.В.Новожилов,В.З.Власов,А.С.Вольмир,А.Л.Гольденвейзер,Х.М.Муштари,К.З.Галимов,А.И.Лурье,В.Л.Бидерман,К.Ф.Черных, Я.Л.Синг и В.Ц.Чинь, A.B.

Кармишин, А.П. Филин, и другие).Уравнения равновесия имеют вид:1 d (Qr )− k1T1 − k2T2 + p = 0r dscos θ1 d (T1r )− T2+ k1Q + τ = 0rr ds1 d (M 1 r )cos θ− M2−Q = 0r dsr(1.5)где р − давление жидкости, τ − напряжение сдвига, изгибающий момент –М, поперечная сила – Q, мембранные и окружные натяжения – T1 и T2, соответственно (рисунок 1.6). Первое уравнение системы (1.5) − сумма проекций всех силна нормаль к поверхности оболочки, второе – на направление меридиана, третье –уравнение моментов сил относительно касательной к параллели.28Теория смазки позволяет аппроксимировать поток плазмы вокруг клетки иопределить р и τ. Так как поток стационарный, давление р зависит только отРисунок 1.6 − Расчетная схема тонкостенной оболочки [57]осевой координаты z. Осевая скорость u(ρ,z) жидкости (плазмы) в зазоре удовлетворяет уравнениям теории смазки в цилиндрических координатах (ρ,φ,z):dp µ ∂  ∂u ρ=dz ρ ∂ρ  ∂ρ ,aq 0 = ∫ u (ρ , z )rρa(1.6)dρc граничными условиями: u = 0 , ρ = r( z ) - на поверхности клетки, u = u0 , ρ = а − настенке сосуда, где − uo − равномерная осевая скорость клетки, а − радиус сосуда,µ − вязкость плазмы, qo является «утечкой» − количеством жидкости, протекающим в зазоре в расчете на единицу окружности.

Так как жидкость несжимаема, qo– постоянно. Из сиcтемы уравнений (1.6) можно определить градиент давления взависимости от r ( z ) и qo:   222u 0  a + a − r  − aq0   2r 4 ln   a dp16 µ  .= g( r ) = 2222dza −ra −ra2 + r2 +rln a()()(1.7)Напряжение сдвига, действующее на поверхность клетки:22µu0g( r ) a − r+ 2r  −τ( r ) =4 rr r ln a  r ln a ()(1.8)29Уравнения теории смазки (1.7,1.8) в сочетании с уравнениями механикитонкостенной оболочки эритроцита позволили вычислить деформацию эритроцита при движении по капилляру (рисунок 1.7).

Вычисленные формы эритроцита ипрогнозируемая кажущаяся вязкость согласуются с результатами экспериментов,проводимых в стеклянных трубках, имитирующих капилляры [57].Рисунок 1.7 − Вычисленные формы осесимметричных эритроцитов в трубке постоянногосечения А: Скорость клетки - 0,01 см / с. Численные значения обозначают диаметры трубок вмкм.

Характеристики

Список файлов диссертации